高三数学奥赛提升训练题(2)

1、高三数学奥赛提升训练题（2）1. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn， a1=1，Sn=4an+Sn 1 an 1（ n2且nN * ） .（ 1）求证：数列 an 是等比数列；（ 2）若 bn=nan，求数列 b n 的前 n 项和 Tn=b1+b2+ +bn；（ 3）若 cn=t n n(lg 3 lg t ) lg an 1 (t0) ，且数列 c n 中的每一项总小于它后面的项，求实数 t 的取值范围 . 解析 （1）Sn4anSn 1an 13a1an 1an12,n N*) ，anSnSn 1an 1( n3 a n 是以 1 为公比的等比数列 4 分311 n（ 2）由（ 1

2、）知 an(n 1， bn1)()33 Tn123n1Tn12n 1n3323n 133323n 1n3 2111n1 ( 1) n33 Tn13 323n 13n113n311n 11n3n22(3)n(3) Tn93(1)n 13n(1) n 8 分44323（ 3） cnt n n(lg 3lg t )lg an 1 t n n lg 3n lg tlg(1) n nt n lg t3由题意知cn 1cn0(n1,2,) 恒成立，即 cn1cn(n1)tn1 lg tnt n lg t(lg t )( n1)tnt n0.对任意自然数n 恒成立。 t>0, t n >0。若

3、t>1 ，则 lgt>0，且 t10( n1) tn0nt 对任意 n恒成立1tt ， t1 ， t>1 10分t112若 t=1 ， lgt=0不合题意 11 分若 0<t<1时， lgt<0，(n1)tn0ntt恒成立，1 1t解得 0t1 ，0t1 13 分t 122综上， 0<t<1 或 t>1. 14 分22. 已知函数 f ( x)x2x1 ， , 是方程 f (x)=0 的两个根 () ， f'(x) 是 f (x) 的导数；设 a11 ， an 1anf (an ) （n=1,2, ）f '(an )（1）求

4、 ,的值；（ 2）证明：对任意的正整数 n，都有 an ；>a（3）记 bnln annnana（n=1,2, ），求数列 b 的前 n 项和 S 。解析：（1） f (x)x 2x1， ,是方程 f (x)=0 的两个根 () ，15,15 ；222an11 an (2 an1)1 (2 an1)5（ 2） f '(x)2x1 ， ananan 2441an12an2an1= 151 ， a1 1 ，有基本不等式可知51(2 an 1)41a20 （当且仅当42an22a15 1 时 取 等 号）， a25 10 同， 样 a35 1 ， ， an5 12222（ n=1,2,

5、 ），（ 3） an 1an(an)( an)an(an1) ，而1 ，即1，2an 12an 1n1(an)2(an)2，又 113535，同理n 1bn 12bnnlnl2lna2an1a1b22an135Sn2(2n1)ln3523. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40 元，出厂单价定为60 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100 个时，每多订购一个， 订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51 元.（）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51 元？（）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P= f ( x) 的

6、表达式；（）当销售商一次订购500 个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价成本）解：（）设每个零件的实际出厂价恰好降为51 元时，一次订购量为 x0 个，则x01006051550 ，0.02因此，当一次订购量为550 个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51 元，（）当 0 x100时， P60，当100x 550时 ，P 60 0.02( x100) 62x50当 x 550时， P 51,60(0x100)所以 P f ( x) 62x (100x550)( x N).5051( x550)（）设销售商的一次订购量为x

7、个时，工厂获得的利润为L 元，则20 x( 0x100)L ( P 40)x2( x N ).x (10022 xx 500)50当 x=500 时， L=6000；当 x=1000 时， L=11000.因此，当销售商一次订购500 个零件时，该厂获得的利润是6000 元；如果订购 1000 个，利润是11000 元 .4. 已知函数f ( x)| 11|，(0) .xx（）当 0ab，且 f ( a)f (b)，求证 ab1；（）是否存在实数a,b(ab) 使得函数 y= f (x) 的定义域、值域都是 a， b ，若存在，则求出 a， b 的值；若不存在，请说明理由 .111, 0x1（

8、）解：f (x)|x|11 ,x1x1x故 f ( x)在 (0,1 上是减函数，而在 (1,) 上是增函数，由 0ab，且 f (a)f ( b) 得0a1b，和 11 11，即 112,abab而 21121 ，所以 ab1.abab（）不存在这样的实数a， b.假设存这样的实数a，b 使得函数 yf (x) 的定义域、值域是都是 a， b当 0<a<b<1 时，函数 f ( x)11在 (0,1 上是减函数，则f (a)b ，xf (b)a11b即 a解得 a=b 与 0<a<b<1 矛盾，故此时不存在满足条件的实数a，b.，11ab当 1<a<b 时，函数 f ( x) 11 在(1,) 上是增函数，则f (a)a ，xf (b)b1a1此时实数 a， b 为方程 x2x 1 0 的两根，但