高考数学理二轮练习【专题3】第2讲三角变换与解三角形含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5第2讲三角变换与解三角形考情解读1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin cos ±cos sin .(2)cos(±)cos cos sin sin .(3)tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3三角恒等

2、式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简(2)等式的两边同时变形为同一个式子(3)将式子变形后再证明4正弦定理2r(2r为abc外接圆的直径)变形：a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c.sin a，sin b，sin c.abcsin asin bsin c.5余弦定理a2b2c22bccos a，b2a2c22accos b，c2a2b22abcos c.推论：cos a，cos b，cos c.变形：b2c2a22bccos a，a2c2b22accos b，a2b2c22abcos c.6面积公式sabcbcsin aacsin babsin c.7

3、解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解热点一三角变换例1(1)已知sin()sin ，<<0，则cos()等于()a bc. d.(2)(20xx·课标全国)设(0，)，(0，)，且tan ，则()a3 b2c3 d2思维启迪(1)利用和角公式化简已知式子，和cos()进行比较(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系答案(1)c(2)b解析(1)sin()sin ，<<0，sin

4、 cos ，sin cos ，cos()cos cossin sincos sin .(2)由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin()(0，)，(0，)，(，)，(0，)，由sin()sin()，得，2.思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解设函

5、数f(x)cos(2x)sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)若是第二象限角，且f()0，求的值解(1)f(x)cos(2x)sin2xcos 2xcossin 2xsinsin 2x.所以f(x)的最小正周期为t，最大值为.(2)因为f()0，所以sin 0，即sin ，又是第二象限角，所以cos .所以.热点二解三角形例2在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，满足a2sin a，0.(1)求边c的大小；(2)求abc面积的最大值思维启迪(1)将0中的边化成角，然后利用和差公式求cos c，进而求c.(2)只需求ab的最大值，可利用cos c和基本不等式求解

6、解(1)0，ccos b2acos cbcos c0，sin ccos bsin bcos c2sin acos c0，sin a2sin acos c0，sin a0，cos c，c(0，)c，c·sin c.(2)cos c，a2b2ab3，3ab3，即ab1.sabcabsin c.abc的面积最大值为.思维升华三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破几种常见变形：(1)abcsin asin bsin c；(2)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c，其中r为abc外接圆的半径；(3)sin(ab

7、)sin c，cos(ab)cos c.(1)abc的三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，asin asin bbcos2aa，则等于()a. b2c. d2(2)(20xx·江西)在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，c，则abc的面积是()a3 b.c. d3答案(1)a(2)c解析(1)因为asin asin bbcos2aa，由正弦定理得sin2asin bsin bcos2asin a，即sin bsin a，即，.(2)c2(ab)26，c2a2b22ab6.c，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab6.sabcabsi

8、n c×6×.热点三正、余弦定理的实际应用例3(20xx·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径一种是从a沿直线步行到c，另一种是先从a沿索道乘缆车到b，然后从b沿直线步行到c.现有甲、乙两位游客从a处下山，甲沿ac匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从a乘缆车到b，在b处停留1 min后，再从b匀速步行到c.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路ac长为1 260 m，经测量cos a，cos c.(1)求索道ab的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在c处互相等待的

9、时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？思维启迪(1)直接求sin b，利用正弦定理求ab.(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数解(1)在abc中，因为cos a，cos c，所以sin a，sin c.从而sin bsin(ac)sin(ac)sin acos ccos asin c××.由正弦定理，得ab×sin c×1 040(m)所以索道ab的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离a处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(

10、130t)22×130t×(10050t)×200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故当t min时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得bc×sin a×500(m)乙从b出发时，甲已走了50×(281)550(m)，还需走710 m才能到达c.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内思维升华求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根

11、据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在a地侦察发现，在南偏东60°方向的b地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的c地行驶，企图抓捕正在c地捕鱼的中国渔民此时，c地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往c地救援我国渔民，能不能及时赶到？(1.41，1.73，2.45)解过点a作adbc，交bc的延长线于点d.因为cad

12、45°，ac10海里，所以acd是等腰直角三角形所以adcdac×105(海里)在rtabd中，因为dab60°，所以bdad×tan 60°5×5(海里)所以bcbdcd(55)(海里)因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达c点所用的时间t1(小时)，某国军舰到达c点所用的时间t20.4(小时)因为<0.4，所以中国海监船能及时赶到1求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些

13、常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”(3)再次观察代数式的结构特点2解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a2rsin a，sin a(其中2r为三角形外接圆的直径)，a2b2c22abcos c等，灵活根据条件求解三角形中的边与角(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于”和诱导公式可得到sin(ab)sin c，sin cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等3利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题

14、，抽象出三角形模型真题感悟1(20xx·浙江)已知r，sin 2cos ，则tan 2等于()a. b. c d答案c解析sin 2cos ，sin24sin ·cos 4cos2.用降幂公式化简得：4sin 23cos 2，tan 2.故选c.2(20xx·江苏)若abc的内角满足sin asin b2sin c，则cos c的最小值是_答案解析由sin asin b2sin c，结合正弦定理得ab2c.由余弦定理得cos c，故cos c<1，且3a22b2时取“”故cos c的最小值为.押题精练1在abc中，已知tan sin c，给出以下四个结论：1

15、；1<sin asin b；sin2acos2b1；cos2acos2bsin2c.其中一定正确的是()a b c d答案d解析依题意，tan sin c.sin c0，1cos(ab)1，cos(ab)0.0<ab<，ab，即abc是以角c为直角的直角三角形对于，由1，得tan atan b，即ab，不一定成立，故不正确；对于，ab，sin asin bsin acos asin(a)，1<sin asin b，故正确；对于，ab，sin2acos2bsin2asin2a2sin2a，其值不确定，故不正确；对于，ab，cos2acos2bcos2asin2a1sin2

16、c，故正确2在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，q(2a,1)，p(2bc，cos c)，且qp.(1)求sin a的值；(2)求三角函数式1的取值范围解(1)q(2a,1)，p(2bc，cos c)且qp，2bc2acos c，由正弦定理得2sin acos c2sin bsin c，又sin bsin(ac)sin acos ccos asin c，sin ccos asin c.sin c0，cos a，又0<a<，a，sin a.(2)原式1112cos2c2sin ccos csin 2ccos 2csin(2c)，0<c<，<2c<

17、，<sin(2c)1，1<sin(2c)，即三角函数式1的取值范围为(1，(推荐时间：60分钟)一、选择题1(20xx·浙江)为了得到函数ysin 3xcos 3x的图象，可以将函数ycos 3x的图象()a向右平移个单位 b向左平移个单位c向右平移个单位 d向左平移个单位答案c解析因为ysin 3xcos 3xsin(3x)sin3(x)，又ycos 3xsin(3x)sin3(x)，所以应由ycos 3x的图象向右平移个单位得到2已知(，)，sin()，则cos 等于()a b.c或 d答案a解析(，)(，)sin()，cos()，cos cos()cossin()s

18、in()××.3在abc中，若3，b2a2ac，则cos b的值为()a. b.c. d.答案d解析由正弦定理：3，由余弦定理：cos b×.4(20xx·陕西)设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若bcos cccos basin a，则abc的形状为()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d不确定答案b解析由bcos cccos basin a，得sin bcos csin ccos bsin2a，即sin(bc)sin2a，所以sin a1，由0<a<，得a，所以abc为直角三角形5已知tan ，sin()，其中，(0

19、，)，则sin 的值为()a. b.c. d.或答案a解析依题意得sin ，cos .注意到sin()<sin ，因此有>(否则，若，则有0<<，0<sin <sin()，这与“sin()<sin ”矛盾)，则cos()，sin sin()sin()cos cos()sin .6已知abc中，角a、b、c的对边分别是a、b、c，且tan b，·，则tan b等于()a. b.1c2 d2答案d解析由题意得，·|·|cos baccos b，即cos b，由余弦定理，得cos ba2c2b21，所以tan b2，故选d.二、

20、填空题7已知tan，且<<0，则_.答案解析由tan，得tan .又<<0，可得sin .故2sin .8在abc中，内角a、b、c的对边长分别为a、b、c，已知a2c22b，且sin acos c3cos asin c，则b_.答案4解析由sin acos c3cos asin c得：·3··，a2b2c23(b2c2a2)，a2c2，解方程组：，b4.9已知0<<<<，cos()，sin()，则cos()_.答案解析因为0<<<<，所以<<，<<.所以sin()&g

21、t;0，cos()<0.因为cos()，sin()，所以sin()，cos().所以cos()cos()()cos()cos()sin()sin()××.10如图，嵩山上原有一条笔直的山路bc，现在又新架设了一条索道ac，小李在山脚b处看索道ac，发现张角abc120°；从b处攀登400米到达d处，回头看索道ac，发现张角adc150°；从d处再攀登800米方到达c处，则索道ac的长为_米答案400解析如题图，在abd中，bd400米，abd120°.因为adc150°，所以adb30°.所以dab180°120°30°30°.由正弦定理，可得.所以，得ad400(米)在adc中，dc800米，adc150°，由余弦定理，可得ac2ad2cd22×ad×cd×cosadc(400)280022×400×800×cos 150°4002×13，解得ac400(米)故索道ac的长为400