高三数学《一题多解一题多变》试题及详解答案

1、高三一题多解一题多变题目一题多解一题多变（一）原题： f ( x) =mx2 + 8x + 4的定义域为 R，求 m 的取值范围解：由题意 mx2 + 8x +40 在 R 上恒成立m 0 且0 ，得 m4变 1： f ( x) = log 3 mx2+8x + 4 的定义域为 R，求 m 的取值范围解：由题意 mx2 + 8x +4>0在 R 上恒成立m0 且< 0 ，得 m > 4变 2： f ( x) = log 3 (mx2 + 8x + 4) 的值域为 R，求 m 的取值范围解：令 t = mx2 + 8x +4 ，则要求 t 能取到所有大于0 的实数，当 m0 时

2、， t 能取到所有大于0 的实数当 m0 时， m > 0 且0 ? 0 m 40 m4变 3： f (x) = log 3mx 2 + 8x + n的定义域为R,值域为0,2 ，求m,n的值2x + 1 解：由题意，令y=mx2 + 8x + n 1 9（）2- 8x y - n 0x 2 + 1,，得 y - m xy m 时， 0y 2 - (m n) y mn - 16 0 -1 和 9 时 y2 - (m + n) y + mn - 16 = 0 的两个根m = n = 5当 y = m 时，n - mx R ，也符合题意x = 08m = n = 5一题多解-解不等式 3 &

3、lt; 2x - 3< 5解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当 2x - 3 0 时，不等式可化为3 < 2x - 3 < 5? 3 < x < 4（ 2）当 2x - 3 < 0 时，不等式可化为 3 < -2x + 3 < 5 ? -1 < x < 0综上：解集为 x 3 < x < 4或 - 1 < x < 0 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于2x - 3> 3且 2x - 3 < 5 ? 3 < x < 4或1< x < 0综上：解集为 x 3

4、< x < 4或 - 1< x < 0 解法三：利用等价命题法原不等式等价于3 < 2x - 3 < 5或 - 5 < 2x - 3 < -3 ，即 3 < x < 4或 - 1< x < 0解集为 x 3 < x < 4或 - 1< x < 0 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为3 < x -3<5，不等式的几何意义时数轴上的点x到 3的距离大于22223 ，且小于5 ，由图得，解集为 x 3 < x < 4或 -1 < x < 0 22一题多解一题多变

5、（二）已知 sn 是等比数列的前n 想项和， s3 , s6 , s9 成等差数列，求证：a2 , a5 ,a8 成等差数列n法一：用公式 sn = a1 (1一q ) ，1一q因为 s3 , s6 , s9 成等差数列，所以 s3 + s6 =2s9 且 q 1则a1 ( 一q 3 )+a1 ( 一q 6 )= 2a1 ( 一q 9 )?3+6=9()? +3=6111qqqqqq111一q1一q1一q22所以 a2 + a5= a1q + a1 q4= a1q(2q 6 ) = 2a1q 7= 2a8所以a2 , a5 , a8 成等差数列法二用公式a1 一 anq， s3 + s6 =

6、2s9a1一 a3qa1 一 a6q2(a1 一 a9 q)sn =,+=1一 q1一 q1一 q1一 q则 a3 + a6 = 2a9 ? a2q + a5 q = 2a8 q?a2 + a5 = 2a8 ，所以 a2 , a5 , a8 成等差数列证法三：（用公式 s2n = sn (1+ q n ), s3n = sn (1+ qn + q 2 n ) ）s6 = s3 + a4 + a5 + a6 = s3 + (a1 + a2 + a3 )q3 = (1+ q 3 ) s3s9 = s3 (1+ q3 + q 6 )s3 + s6 = 2s9 ?s3 + s3 (1+ q3 ) =

7、2s3 (1+ q3 + q6 )解得 q3 = 一 1 （下略）2变题：已知 sin =4 且 是第二象限角，求 tan 5解：是第二象限角，4? cos= 一一 sin 2= 一 3, tan = 一 4sin =1535变 1： sin = 45 ，求 tan 解：sin =4 >0，所以是第一或第二象限角534若是第一象限角，则cos=, tan =35若是第二象限角，则 cos=一 4, tan = 一 453变 2：已知 sin = m(m > 0) 求 tan 解：由条件 0 < m 1 ，所以当0 < m < 1 时， 是第一或第二象限角若是第一象

8、限角时cos=一m2, tan =m1一m21若是第二象限角cos= 一一2, tan = 一m1 m一m21当 m = 1 时 tan 不存在变 3：已知 sin = m( m 1) ，求 tan 解：当 m = 1, 一1时， tan 不存在当 m = 0 时，tan = 0m当 时第一、第四象限角时，tan =1一m2m当 是第二、第三象限角时，tan = 一1一m2一题多解一题多变（三）题目：求函数 f (x) = x +1(x 0) 的值域x方法一：判别式法 -设 y = x + 1，则 x2 - yx + 1= 0 ，由 = y2 - 4 0? y 2x当 y = 2 时， x2

9、- 2 x + 1 =0? x = 1 ， 因此当 x = 1时，10) 有最小值 2，即值域为 2,+ )f ( x) = x + ( xx方法二：单调性法先判断函数f (x) = x +1的单调性(x 0)x1任取 0 x1(x1 - x2 )( x1 x2 - )x2 ，则 f ( x1 ) - f ( x2 ) =x1 x2当 0x1x2 2 时，即 f ( x1 )f ( x2 ) ，此时 f ( x) 在 (0,1 上时减函数当 2x1x2时， f (x1 )f ( x2 )f ( x) 在 (2,+ ) 上是增函数由 f ( x) 在 (0,1 上是减函数， f (x) 在 (1

10、,+ )上是增函数，知x = 1 时， f ( x) 有最小值 2，即值域为 2,+ )方法三：配方法f (x) =x +1= (x -1) 2+ 2，当x -1= 0 时， x = 1 ，此时xxxf (x) 有最小值2，即值域为 2,+ )方法四：基本不等式法f (x) = x +1 = ( x) 2 + (1) 2 2 x1= 2xxxf (x) 有最小值2，即值域为 2,+ )变题原题：若函数 f ( x) =1的定义域为 R，求实数 a 的取值ax2 + 2 x+ 1范围解：由题意得ax 2 + 2x + 10在 R 上恒成立，则要求a 0 且 = 4 - 4a 0? a 1变式一：

11、函数 f()log(2+2x +1)的定义域为 R，求实数 a 的取x =2ax值范围解：由题意得ax 2 + 2x + 10在 R 上恒成立，则要求a 0 且 = 4 - 4a 0? a 1变式二：函数f (x) =22 + 2x + 1)的值域为 R，求实数 a 的取l o g(ax值范围解：令 u =ax 2 + 2x + 1能取到所有大于0 的实数，则a = 0 时， u = zx + 1 能取到所有大于0 的实数a 0 时， a0 且= 4 - 4a 0?0a 1综上 0 a 1一题多解一题多变（四）题目：求函数 f (x) = x +1(x 0) 的值域x方法一：判别式法 -设 y

12、 = x + 1，则 x2 - yx + 1= 0 ，由 = y2 - 4 0? y 2x当 y = 2 时， x2 - 2 x + 1 =0? x = 1 ， 因此当 x = 1时，10) 有最小值 2，即值域为 2,+ )f ( x) = x + ( xx方法二：单调性法先判断函数1(x0)的单调性f (x) = x +x1任取 0 x1(x1 - x2 )( x1 x2 - )x2 ，则 f ( x1 ) - f ( x2 ) =x1 x2当0x1x2时，即( 1 )(2) ，此时f ( x)在 (0,1上时减函数2fxf x当 2x1x2时， f (x1 )f( x2 )f ( x)

13、在 (2,+ ) 上是增函数由 f ( x) 在 (0,1 上时减函数， f (x) 在 (1,+ )上是增函数，知x = 1 时， f ( x) 有最小值 2，即值域为 2,+ )方法三：配方法f (x) = x +1=( x -1)2 + 2，当x -1= 0 时， x = 1 ，此时xxxf (x) 有最小值，即值域为 2,+ )2方法四：基本不等式法f (x) = x +1 = ( x) 2 + (1) 2 2 x1= 2xxxf (x) 有最小值2，即值域为 2,+ )变题原题：若函数 f ( x) =1的定义域为 R，求实数 a 的取值ax2 + 2 x+ 1范围解：由题意得ax

14、2 + 2x + 10在 R 上恒成立，则要求a 0 且= 4 - 4a 0? a 1变式一：函数 f()log(2+2x +1)的定义域为 R，求实数 a 的取x =2ax值范围解：由题意得ax 2 + 2x + 10在 R 上恒成立，则要求a 0 且= 4 - 4a 0? a 1变式二：函数f (x) =2+ 2x + 1)的值域为 R，求实数 a 的取l o g(ax2值范围解：令 u =ax 2 + 2x + 1能取到所有大于0 的实数，则a = 0 时， u = zx + 1 能取到所有大于0 的实数a 0 时， a0 且= 4 - 4a 0?0a 1综上 0 a 1一题多解一题多变

15、（五）题目：椭圆 x 2y 21的焦点是 F1、F2 ，椭圆上一点 P 满足 PF1PF2 ，2516下面结论正确的是（）（A）P 点有两个（B）P点有四个（C）P 点不一定存在（D）P 点一定不存在解法一：以 F1 F2 为直径构圆，知：圆的半径 r c 3 4 b ，即圆与椭圆不可能有交点。故选 D解法二：由题知 ( S pF1 F2 ) max13412，而在椭圆中：F1F2 b2S PF1 F2 b2 tan16 ， 不可能成立12 16, 故选 D4解法三：由题意知当 p 点在短轴端点处F1PF2 最大，设 F1 PF2 2，31, 此时 F1 PF2为锐角，与题设矛盾。故选Dtan

16、44解法四：设 P(5con ,4sin) ，由 PF1PF2 , 知 PF1PF2PF1PF20 ，而PF1 PF2 (5con3,4 sin )(5con3,4 sin ) 25con29 16 sin 20con279无解，故选 D解法五：设PF1 F2，假设 PF1PF2 ，则| PF1 | PF2 |6con6 sin62 sin()6 2 ，而 | PF1 | PF2 |2a104即： 106 2 ，不可能。故选D解法六：con F1 PF2| PF1 |2| PF2 |236 (| PF1 |2|PF2 |2) 2| PF1 |PF2 | 36 64 2| PF1 |PF2 |

17、PF1| PF2 |2| PF1| PF2 |2|PF1 |PF2 |321321327，故| PF1 |PF2 | |PF2| 210| PF12525(2)F1 PF2 90PF1 PF2 不可能。故选 D解法七：设 P( x0 , y0 ) 由焦半径知：| PF1 | a ex053 x0 , | PF2 | a ex053 x0 , PF1PF 255| PF1 |2| PF2 |2 | F1F2|2(53x0 ) 2(53x0 ) 210218x0250 x026252555259x3而在椭圆中 | x0 | 5 而 | x0 |25 >8 ,故不符合题意，故选 D3解法八.设

18、圆方程为： x2y 29椭圆方程为： x 2y 212516两者联立解方程组得：16x 225 y 2251616x 225(9x 2 )25169x 22516259257x22579不可能故圆 x2y 29 与椭圆 x2y21无交点2516即PF1 不可能垂直 PF2故选 D一题多解 一题多变（六）一变题：课本 P110 写出数列 an 的前 5 项： a11 ,an114an-1变题：已知函数 f ( x)2x1f ( x) 的反函数为 y = g (x) ，2 ,x ，,1设2a = 1 a= g a1, 2( 1 )an = g (an -1 ) ，求数列 an 的通项公式。解：由题

19、意得， y =g( x) = 1 -1x ， an = 1-1an-122an21 (an 12) ，令 bn = an -2，则 bn 是以 1为首项， -1 为公323332比的等比数列，故 bn = 1 (- 1) n-1 ( n 1) 3 222n +1 n -1从而， an = bn + =(- )(n 1)3×2n -13二、一题多解x 2 + 2x + a已知函数 f ( x) =, x 1,+ )x（ 1）当 a = 12 时，求函数 f ( x) 的最小值； -（ 2）若对于任意 x 1,+ ), f ( x) > 0 恒成立，试求实数 a 的取值范围，解：（

20、1）当 a =1 时， f (x) = x + 2+1 2+ 2 2 ，当且仅当 x =2 时22x2取等号由 f ( x) = x +k2(k > 0) 性质可知， f ( x) 在 ,+ ) 上是增函数x2x 1,+ ) ，所以 f (x) 在1,+ ) 是增函数， f ( x) 在区间 1,+ ) 上的7最小值为 f (1) =2（ 2 ） 法一 ： 在 区 间 上 1,+ ) ， f (x) =x2 + 2x + a恒 成 立> 0x? x 2 + 2x + a > 0 恒成立设 y = x2 + 2x + a ， x 1,+ ) y = x 2 + 2x+ a =

21、(x + 1) 2 + a - 1在 1,+ )上增所以 x = 1 时， ymin = a + 3 ，于是当且仅当ymin = a + 3> 0 时，函数f ( x) > 0 恒成立，故 a > -3a法二： f ( x) = x + 2, x 1,+ )当 a 0 时，函数f ( x) 的值恒为正；当 a < 0 时，函数f ( x) 为增函数，故当x = 1 时， ymin = a + 3 ，于是当且仅当 ymin = a + 3 > 0 时，函数f ( x) > 0恒成，故 a > -32法三：在区间 1,+ ) 上，f ( x) = x +

22、2 x + a > 0 恒成立 ?x 2 + 2x + a > 0x恒成立? a > - x2 - 2x 恒成立，故a 应大于 u = - x2 - 2x ， x 1,+ ) 时的最大值-3，所以 a > -3一题多解一题多变（七）原题： :若 f ( 1) = x + 1+ x 2 (x >0) 则 f (x) =x,分析 :用倒数换元解:令 t = 1 则 x = 1 ,所以xtf (t) = 1 +1+ (1) 2 (t > 0)tt将 t 换成 x 得到 :f (t) = 1 +1+ (1 ) 2 (x > 0)xx变题 1：设 f ( x)

23、满足关系式11解： t =则 x =xtf ( x) + 2 f ( 1) = 3x, 求 f (x) 的解析式 x12 f (t ) = 31f ( ) +tt将 t 换成 x 得到 :11f ( ) + 2 f ( x) = 3xx与原式联立方程组消去f ( 1 ) 得到2xf ( x)0)x( xx变题 2：已知 af (x)f ( x)bx ，其中 a 2 1 试求 f (x) 的解析式解：用相反数换元令 tx, xt 代入到原式当中得到：af ( t ) f (t )bt将 t 换成 x 得到 :af ( x)f ( x)bx与原式联立方程组，得到：(a21) f ( x)b(a1)

24、xa 2 1b(a1 )bf (x)2xx(a1)a 1变题 3：已知 af (4x3) bf (34x)2x, a2b2 ，试求 f (x) 的解析式解：令 4x3t ，则 2x= t+32t3(1) af (t ) bf ( t )2将 (1)中 t 换 t 得到 :af (t )t 3bf (t )2与 (1) 联立方程组得到：(a2b2 ) f (t)a b t3 (a b)22a 2 b2f(t )1t32( a2( ab)b)f ( x)1x32(a2(ab)b)变题 4：已知 af (xn )f (xn )bx，其中 a 21, n为奇数，求 f ( x)解：设 xn=t , x

25、 = n t代入原式得：af (t )f (t)b n t将 t 换成 t 得到 :af ( t ) + f (t ) = bn t与上式联立方程组得到2n(a 1) f (t ) = b(a + 1)ta 2 1f (x)b( a 1) n tbn t(a2 1)a1f (x) 的解析式为： f (x)b(a1) n xbn x(a21)a1一题多解题目：设二次函数f ( x)满足且函数图象 y 轴上的f ( x 2) = f ( x 2)，截距为 1，被 x 轴截的线段长为 2 2 ，求 f ( x) 的解析式分析：设二次函数的一般形式f x = ax2 + bx + ca 0)，然后(

26、)(根据条件求出待定系数a,b,c解法一：设f (x) = ax2 + bx + c(a 0)由 f ( x 2) = f ( x 2)， 得：4a b = 0又x1 x2=2 2a b2 4ac = 8a2由题意可知c = 1 解之得：a =1, b = 2, c = 112x+ 2x +1f ( x) =2解法二：f (x 2) =f ( x 2)，故函数 y =f ( x) 的图象有对称轴x = 2可设 y = a( x + 2) 2 + k函数图象与 y 轴上的截距为 1，则 4a + k = 1又被 x 轴截的线段长为 2 2 ，则 x1 x2=22d整理得： 2a + k = 0解

27、之得：a =1 , k = 112x+ 2x + 1f ( x) =2f ( x 2) =f ( x 2)，故解法三：函 数y = f ( x)的 图 象 有 对 称 轴 x = 2 ， 又x1 x2 = 2 2 y = (x) 与 x 轴的交点为：(2 2 2，0)， (2+ 2 2,0)故可设 y = a( x + 2+ 2 2 )1f (0) = 1, a =21 f ( x) =x + 2x + 12一题多解一题多变（八）原题设 y = f (x) 有反函数y =f -1 ( x) ，又 y = f (x + 2) 与 y= f -1 ( x -1)互为反函数，则 f-1( ) -f-

28、1()_（教学与测试 P77）10=变 题设 y = f (x) 有 反函 数 y = f -1 ( x) ， 又 y = f (x + 1) 的 图 象 与-1) 的图象关于 y = x 对称y = f(x + 1（ 1）求 f (1) - f (0) 及 f -1 (1) - f -1 (0) 的值；（2）若a,b均为整数，请用a, b表示f (a)f (b)及 f-1af-1b() -()解 (1)因 y = f-1f (x) -1， 从 而(x + 1) 的 反 函 数 是 y =f ( x + 1) =f (x) -1 ,于是有 f ( x + 1) -f ( x) = -1，令 x

29、 = 1得 f (1) - f (0) =-1 ；同 样 ， y = f (x + 1) 得 反 函 数 为 y = f -1 (x) - 1， 从 而f -1 ( x + 1) = f -1 (x) - 1，于是， f -1 (x + 1) - f -1 (x) = -1(2)f ( x+ 2) - f ( x + 1) = -1, 而f (x + 1) - f (x) = -1,故f ( x + 2) - ( f ( x) - 1) = -1 ,即 f ( x + 2) - f (x) = -2 , ,f ( x + n) - f (x) = -n ，从而 f ( a) - f (b) =

30、 f a + (b - a) - f (a) = b - a 同理， f -1 (a)f -1 b ba 一题多解1函数 f (x)x2bxc, f (1) f (3) ，则 ()（A） f (1)cf (1)（B） f (1)cf (1)（C） cf (1)f (1)（D） cf (1)f (1)解法 1.由 f (1)f (3) 知 f (x) 的图象关于 x =1对称，得 b2而f (1)12(2)1cc1,f ( 1)(-1)2(2)(1) cc 3 ，且c3 c c1，因此 f (1)cf ( 1) .解法 2.由 f ( 1)f (3) 知 f (x) 的图象关于 x = 1 对称

31、，而c = f (0) ，而 f (x) 在1,1上递减，易得答案为 By-101x一题多解一题多变（九）姜忠杰变 题原题：若在区间y = x 2 - ax - a2 在区间 (-,1-3) 是减函数，则 a 的取值范围是多少？变 1：若函数 y = x 2 - ax - a2 在 (-,1-3) 上是减函数，则a 的取值范围是多少？变 2、若函数 y =log 1( x 2 - ax - a 2 ) 在 (-,1 -3) 上是增函数，则 a 的取值2范围是多少？变 3、若函数 y = log 1 ( x2 - ax - a2 ) 在 (-,1 -3) 上是增函数，且函数的2值域为 R，则 a

32、 的取值范围是多少？aa22的减区间为（ ，（- ，解： 函数 y = x- ax - a-2 ，(- ,1- 3) ?2 2 - 2 3，+ ）-变 1、设2- ax - a2 ，则u在为减函数，且在，u = x(- ,1- 3)(- ,1- 3)u 0所以有 1 - 3 2a 且 u （ 1 -3 ） 0 ， a 的取值范围是( 3-1)(1- 5),( 3-1)(1+ 5 )22变 2：设 u = x 2 - ax - a2 ，则 u 在为减函数，且在 (-,1 - 3 ， u 0-所以有 1- 3 2a 且 u （ 1-3 ） 0 ， a 的取值范围是( 3-1)(1- 5),( 3-

33、1)(1+ 5 )22变 3：设 u =x2 - ax - a2 ，则 u 在 (-,1-3) 减区间， u 在 (-,1 - 3) 取到一切正实数1 - 3 2a ， u(1 - 3) = 0 ，所以 a =( 3-1)(1- 5)或( 3 -1)(1+ 5 )22一题多解：设 a + lg a = 10 ， b + 10 b = 10，求 a + b 的值。解法一（构造函数）：设 f ( x) = x + lg x ，则f (a) = 10 = b + 10b = lg 10b + 10b = f (10b ) ，由于 f (x) 在 ( 0,+ ) 上是单调递增函数，所以a = 10b

34、，故 a + b = 10b + b = 10 。解法二（图象法）因为 a 是方程 x + lg x = 10 的一个根，也就是方程lg x = 10 - x 的一个根b 是方程 x + 10 x = 10 的一个根，也就是方程 10x = 10 -x 的一个根令 g(x) = lg x ， h( x) = 10 x ，( x) = 10 - x ，在同一坐标系中作出他们的图象，如图所示：108642-5B5AC10Aa 是方程 g( x) = ( x) 的根，即图中OA=ab 是方程 h( x) = (x) 的根，即图中OB=b易得 OA+OB=10，所以 a + b = 10解法三：方程x

35、 + lg x = 10 ， x+ 10 x = 10的根为 a ， b 由 x + 10 x = 10 ，得10 x = 10 - x ，x = lg(10 - x) ，又 x + lg x =10 lg(10 - x) + lgx = 10 ，即 x(10 - x) = 1010， 即 x 2 - 10x + 1010 = 0x1 + x2 = 10(虚根 < 0)一题多解一题多变（十）（）若f (x) = ax +b,则x1 + x2) =f (x1 ) + f (x2 )1f (2;（课本 P102 ）证明：22x1 + x2f ( x1 ) + f ( x2 )(2)若 f ( x)+ ax += xb, 则 f (2) 2变题： 1、如图所示， f ( xi)(i =1,2,3,4)是定义在 0， 1上的四个函数，其 中 满 足 性 质 ：“ 对 0 ， 1 中 的 任 意 的 x1 ,