高考数学文科高考真题模拟新题分类汇编：B单元函数与导数

1、高考数学精品复习资料2019.5数数学学b b 单元单元函数与导数函数与导数b1函数及其表示14 、20 xx安徽卷 若函数 f(x)(xr)是周期为 4 的奇函数，且在0，2上的解析式为f(x)x（1x） ，0 x1，sin x，1x2，则 f294 f416 _14.516解析 由题易知 f294 f416 f34 f76 f34 f76 316sin6516.2 、20 xx北京卷 下列函数中，定义域是 r 且为增函数的是()ayexbyx3cyln xdy|x|2b解析 由定义域为 r，排除选项 c，由函数单调递增，排除选项 a，d.21 、 、20 xx江西卷 将连续正整数 1，2，

2、n(nn*)从小到大排列构成一个数 123n，f(n)为这个数的位数(如 n12 时，此数为 123456789101112，共有 15 个数字，f(12)15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到 0 的概率(1)求 p(100)；(2)当 n20 xx 时，求 f(n)的表达式；(3)令 g(n)为这个数中数字 0 的个数，f(n)为这个数中数字 9 的个数，h(n)f(n)g(n)，sn|h(n)1，n100，nn*，求当 ns 时 p(n)的最大值21解：(1)当 n100 时，这个数中总共有 192 个数字，其中数字 0 的个数为 11，所以恰好取到 0 的概率为 p(1

3、00)11192.(2)f(n)n，1n9，2n9，10n99，3n108，100n999，4n1107，1000n2014.(3)当 nb(1b9，bn*)，g(n)0；当 n10kb(1k9，0b9，kn*，bn)时，g(n)k；当 n100 时，g(n)11，即 g(n)0，1n9，k，n10kb，11，n100.1k9，0b9，kn*，bn，同理有 f(n)0，1n8，k，n10kb1，1k8，0b9，kn*，bn，n80，89n98，20，n99，100.由 h(n)f(n)g(n)1，可知 n9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当 n100 时，s9，19

4、，29，39，49，59，69，79，89，90当 n9 时，p(9)0.当 n90 时，p(90)g（90）f（90）9171119.当 n10k9(1k8，kn*)时，p(n)g（n）f（n）k2n9k20k9，由 yk20k9关于 k单调递增，故当 n10k9(1k8，kn*)时，p(n)的最大值为 p(89)8169.又81691，所以 yr，所以函数yln(3x1)(x1)的反函数是 y(ex1)3(xr)b3函数的单调性与最值2 、20 xx北京卷 下列函数中，定义域是 r 且为增函数的是()ayexbyx3cyln xdy|x|2b解析 由定义域为 r，排除选项 c，由函数单调递

5、增，排除选项 a，d.4 、20 xx湖南卷 下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()af(x)1x2bf(x)x21cf(x)x3df(x)2x4a解析 由偶函数的定义，可以排除 c，d，又根据单调性，可得 b 不对19 、 、 、20 xx江苏卷 已知函数 f(x)exex，其中 e 是自然对数的底数(1)证明：f(x)是 r 上的偶函数(2)若关于 x 的不等式 mf(x)exm1 在(0，)上恒成立，求实数 m 的取值范围(3)已知正数 a 满足：存在 x01，)，使得 f(x0)0)，则 t1，所以 mt1t2t11t11t1 1对任意 t1 成立因为 t11t1 1

6、2（t1）1t 113, 所以 1t11t1 113，当且仅当 t2, 即 x ln 2 时等号成立因此实数 m 的取值范围是，13 .(3)令函数 g(x)ex1ex a(x33x)，则 g (x) ex1ex3a(x21)当 x1 时，ex1ex0，x210.又 a0，故 g(x)0，所以 g(x)是1，)上的单调递增函数， 因此 g(x)在1，)上的最小值是 g(1) ee12a.由于存在x01， )， 使ex0ex0a(x30 3x0)0 成立，当且仅当最小值g(1)0，故 ee12aee12.令函数 h(x) x (e1)ln x1，则 h(x)1e1x. 令 h(x)0, 得 xe

7、1.当 x(0，e1)时，h(x)0，故 h(x)是(e1，)上的单调递增函数所以 h(x)在(0，)上的最小值是 h(e1)注意到 h(1)h(e)0，所以当 x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0；当 x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以 h(x)0 对任意的 x(1，e)成立故当 aee12，e(1，e)时， h(a)0，即 a1(e1)ln a，从而 ea1h(e)0，即 a1(e1)ln a，故 ea1ae1.综上所述，当 aee12，e时，ea1ae1.15 、 、20 xx四川卷 以 a 表示值域为 r 的函数组成的集合，b 表示具有如下性质的

8、函数(x)组成的集合： 对于函数(x)， 存在一个正数 m， 使得函数(x)的值域包含于区间m，m例如，当1(x)x3，2(x)sin x 时，1(x)a，2(x)b.现有如下命题：设函数 f(x)的定义域为 d， 则“f(x)a”的充要条件是“br， ad， f(a)b”；若函数 f(x)b，则 f(x)有最大值和最小值；若函数 f(x)，g(x)的定义域相同，且 f(x)a，g(x)b，则 f(x)g(x)/b；若函数 f(x)aln(x2)xx21(x2，ar)有最大值，则 f(x)b.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)15解析 若 f(x)a，则函数 f(x)的值域为 r，于是，

9、对任意的 br，一定存在 ad，使得 f(a)b，故正确取函数 f(x)x(1x1)，其值域为(1，1)，于是，存在 m1，使得函数 f(x)的值域包含于m，m1，1，但此时函数 f(x)没有最大值和最小值，故错误当 f(x)a 时，由可知，对任意的 br，存在 ad，使得 f(a)b，所以，当 g(x)b时，对于函数 f(x)g(x)，如果存在一个正数 m，使得 f(x)g(x)的值域包含于m，m，那么对于该区间外的某一个 b0r，一定存在一个 a0d，使得 f(x)f(a0)b0g(a0)，即 f(a0)g(a0)b0m，m，故正确对于 f(x)aln(x2)xx21(x2)，当 a0 或

10、 a0 时，函数 f(x)都没有最大值要使得函数 f(x)有最大值，只有 a0，此时 f(x)xx21(x2)易知 f(x)12，12 ，所以存在正数 m12，使得 f(x)m，m，故正确21 、20 xx四川卷 已知函数 f(x)exax2bx1，其中 a，br，e2.718 28为自然对数的底数(1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0，1上的最小值；(2)若 f(1)0，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e2a1.21解：(1)由 f(x)exax2bx1，得 g(x)f(x)ex2axb，所以 g(x)ex2a.当 x0，1时，g(x)12a，e2

11、a当 a12时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递增，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当 ae2时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递减，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab；当12ae2时，令 g(x)0，得 xln(2a)(0，1)，所以函数 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增，于是，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当 a12时，g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当12ae2时，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a

12、)b；当 ae2时，g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab.(2)证明：设 x0为 f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由 f(0)f(x0)0 可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则 g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负故 g(x)在区间(0，x0)内存在零点 x1.同理 g(x)在区间(x0，1)内存在零点 x2.故 g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点由(1)知，当 a12时，g(x)在0，1上单调递增，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当 ae2时，g(x)在0，1上单调递减，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意所以

13、12ae2.此时 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增因此 x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(0)1b0，g(1)e2ab0.由 f(1)0 有 abe10，g(1)1a0.解得 e2a1.所以，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点时，e2a1.b4函数的奇偶性与周期性420 xx重庆卷 下列函数为偶函数的是()af(x)x1bf(x)x2xcf(x)2x2xdf(x)2x2x4d解析a 中，f(x)x1，f(x)为非奇非偶函数；b 中，f(x)(x)2xx2x，f(x)为非奇非偶函数；c 中，f(x)2x2x(2x2x)f(x

14、)，f(x)为奇函数；d 中，f(x)2x2xf(x)，f(x)为偶函数故选 d.14 、20 xx安徽卷 若函数 f(x)(xr)是周期为 4 的奇函数，且在0，2上的解析式为f(x)x（1x） ，0 x1，sin x，1x2，则 f294 f416 _14.516解析 由题易知 f294 f416 f34 f76 f34 f76 316sin6516.520 xx广东卷 下列函数为奇函数的是()a2x12xbx3sin xc2cos x1dx22x5a解析 对于 a 选项，令 f(x)2x12x2x2x，其定义域是 r，f(x)2x2xf(x)， 所以 a 正确； 对于 b 选项， 根据奇

15、函数乘奇函数是偶函数， 所以 x3sin x 是偶函数；c 显然也是偶函数；对于 d 选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数9 、20 xx湖北卷 已知 f(x)是定义在 r 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为()a1，3b3，1，1，3c2 7，1，3d2 7，1，39d解析 设 x0，所以 f(x)f(x)(x)23(x)x23x .求函数 g(x)f(x)x3 的零点等价于求方程 f(x)3x 的解当 x0 时，x23x3x，解得 x13，x21；当 x0 时，x23x3x，解得 x32 7.故选 d.4 、20 xx湖南卷

16、下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()af(x)1x2bf(x)x21cf(x)x3df(x)2x4a解析 由偶函数的定义，可以排除 c，d，又根据单调性，可得 b 不对1520 xx湖南卷 若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，则 a_1532解析 由偶函数的定义可得 f(x)f(x)，即 ln(e3x1)axln(e3x1)ax，2axln e3x3x，a32.19 、 、 、20 xx江苏卷 已知函数 f(x)exex，其中 e 是自然对数的底数(1)证明：f(x)是 r 上的偶函数(2)若关于 x 的不等式 mf(x)exm1 在(0，)上恒成立，求实数 m 的

17、取值范围(3)已知正数 a 满足：存在 x01，)，使得 f(x0)0)，则 t1，所以 mt1t2t11t11t1 1对任意 t1 成立因为 t11t1 12（t1）1t 113, 所以 1t11t1 113，当且仅当 t2, 即 x ln 2 时等号成立因此实数 m 的取值范围是，13 .(3)令函数 g(x)ex1ex a(x33x)，则 g (x) ex1ex3a(x21)当 x1 时，ex1ex0，x210.又 a0，故 g(x)0，所以 g(x)是1，)上的单调递增函数， 因此 g(x)在1，)上的最小值是 g(1) ee12a.由于存在x01， )， 使ex0ex0a(x30 3

18、x0)0 成立，当且仅当最小值g(1)0，故 ee12aee12.令函数 h(x) x (e1)ln x1，则 h(x)1e1x. 令 h(x)0, 得 xe1.当 x(0，e1)时，h(x)0，故 h(x)是(e1，)上的单调递增函数所以 h(x)在(0，)上的最小值是 h(e1)注意到 h(1)h(e)0，所以当 x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0；当 x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以 h(x)0 对任意的 x(1，e)成立故当 aee12，e(1，e)时， h(a)0，即 a1(e1)ln a，从而 ea1h(e)0，即 a1(e1)ln a，

19、故 ea1ae1.综上所述，当 aee12，e时，ea1ae1.1220 xx全国卷 奇函数 f(x)的定义域为 r.若 f(x2)为偶函数，且 f(1)1，则 f(8)f(9)()a2b1c0d112d解析 因为 f(x2)为偶函数，所以其对称轴为直线 x0，所以函数 f(x)的图像的对称轴为直线 x2.又因为函数 f(x)是奇函数， 其定义域为 r， 所以 f(0)0， 所以 f(8)f(4)f(4)f(0)0，故 f(8)f(9)0f(5)f(5)f(1)f(1)1.1520 xx新课标全国卷 偶函数 yf(x)的图像关于直线 x2 对称，f(3)3，则 f(1)_153解析 因为函数图

20、像关于直线 x2 对称，所以 f(3)f(1)，又函数为偶函数，所以 f(1)f(1)，故 f(1)3.520 xx全国新课标卷 设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 r，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()af(x)g(x)是偶函数b|f(x)|g(x)是奇函数cf(x)|g(x)|是奇函数d|f(x)g(x)|是奇函数5c解析 因为 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有 f(x)f(x)，g(x)g(x)，于是 f(x)g(x)f(x)g(x)，即 f(x)g(x)为奇函数，a 错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函数

21、，b 错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，即 f(x)|g(x)|为奇函数，c 正确；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，即 f(x)g(x)为偶函数，所以 d 也错1320 xx四川卷 设 f(x)是定义在 r 上的周期为 2 的函数，当 x1，1)时，f(x)4x22，1x0，x， 0 x1，则 f32 _131解析 由题意可知，f32 f212 f12 412221.b5二次函数1020 xx江苏卷 已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0成立，则实数 m 的取值范围是_10.22，0解析 因为 f(x)x2mx1 是开口向上的二次函数，所以函

22、数的最大值只能在区间端点处取到， 所以对于任意 xm， m1， 都有 f(x)0， 只需f（m）0，f（m1）0，解得22m22，32m0，即 m22，0.14 、20 xx全国卷 函数 ycos 2x2sin x 的最大值为_14.32解析 因为 ycos 2x2sin x12sinx22sin x2sin x12232，所以当 sinx12时函数 ycos 2x2sin x 取得最大值，最大值为32.b6指数与指数函数520 xx安徽卷 设 alog37，b21.1，c0.83.1，则()abacbcabccbadacalog371，b21.12，c0.83.11，所以 ca0，且 a1)

23、的图像如图 12 所示，则下列函数图像正确的是()图 12abcd 图 138b解析 由函数 ylogax 的图像过点(3，1)，得 a3.选项 a 中的函数为 y13x，其函数图像不正确；选项 b 中的函数为 yx3，其函数图像正确；选项 c 中的函数为 y(x)3，其函数图像不正确；选项 d 中的函数为 ylog3(x)，其函数图像不正确，故选 b.3 、20 xx辽宁卷 已知 a213，blog213，clog1213，则()aabcbacbccbadcab3d解析 因为 0a2131，blog213log12121，所以 cab.15 、 20 xx全国新课标卷 设函数 f(x)ex1

24、，x1，x13，x1，则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_15 (， 8解析 当 x1 时， 由 ex12， 得 x1； 当 x1 时， 由 x132， 解得 1x8，综合可知 x 的取值范围为 x8.5 ，20 xx山东卷 已知实数 x，y 满足 axay(0ay3bsin xsin ycln(x21)ln(y21)d.1x211y215a解析 因为 axay(0a1)，所以 xy，所以 x3y3恒成立故选 a.720 xx陕西卷 下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()af(x)x3bf(x)3xcf(x)x12df(x)12x7b解析 由于 f(xy)

25、f(x)f(y)，故排除选项 a，c.又 f(x)12x为单调递减函数，所以排除选项 d.1220 xx陕西卷 已知 4a2，lg xa，则 x_12. 10解析 4a2，即 22a2，可得 a12，所以 lg x12，所以 x1012 10.7 、20 xx四川卷 已知 b0，log5ba，lg bc，5d10，则下列等式一定成立的是()adacbacdccadddac7b解析 因为 5d10，所以 dlog510，所以 cdlg blog510log5ba，故选b.9 、20 xx四川卷 设 mr，过定点 a 的动直线 xmy0 和过定点 b 的动直线 mxym30 交于点 p(x，y)，

26、则|pa|pb|的取值范围是()a 5，25 b 10，25 c 10，45 d2 5，45 9b解析 由题意可知，定点 a(0，0)，b(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点 p(x，y)落在以 ab 为直径的圆周上，所以|pa|2|pb|2|ab|210，即|pa|pb|ab| 10.又|pa|pb| （|pa|pb|）2|pa|22|pa|pb|pb|22（|pa|2|pb|2）25，所以|pa|pb| 10，25，故选 b.420 xx天津卷 设 alog2，blog12，c2，则()aabcbbaccacbdcba4c解析 alog21，blog120，c121，bc0 且 yx2

27、单调递减，故 x(，0)1120 xx安徽卷168134log354log345_.11.278解析 原式234 34log35445 233278.8 、20 xx浙江卷 在同一直角坐标系中，函数 f(x)xa(x0)，g(x)logax 的图像可能是()abcd图 128d解析 只有选项 d 符合，此时 0a0，且 a1)的图像如图 12 所示，则下列函数图像正确的是()图 12abcd 图 138b解析 由函数 ylogax 的图像过点(3，1)，得 a3.选项 a 中的函数为 y13x，其函数图像不正确；选项 b 中的函数为 yx3，其函数图像正确；选项 c 中的函数为 y(x)3，其

28、函数图像不正确；选项 d 中的函数为 ylog3(x)，其函数图像不正确，故选 b.13 、 20 xx广东卷 等比数列an的各项均为正数， 且 a1a54， 则 log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_13 5解析 在等比数列中， a1a5a2a4a234.因为 an0， 所以 a32， 所以 a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a3a5325，所以 log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2255.3 、20 xx辽宁卷 已知 a213，blog213，clog1213，则()aabcbacbccbad

29、cab3d解析 因为 0a2131，blog213log12121，所以 cab.6 ，20 xx山东卷 已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a0，a1)的图像如图11 所示，则下列结论成立的是()图 11aa1，x1ba1，0c1c0a1d0a1，0c16d解析 由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，0a1.图像与 x 轴的交点在区间(0，1)之间，该函数的图像是由函数 ylogax 的图像向左平移不到 1 个单位后得到的，0c1.7 、20 xx四川卷 已知 b0，log5ba，lg bc，5d10，则下列等式一定成立的是()adacbacdccadddac

30、7b解析 因为 5d10，所以 dlog510，所以 cdlg blog510log5ba，故选b.9 、20 xx重庆卷 若 log4(3a4b)log2ab，则 ab 的最小值是()a623b723c643d7439d解析 由 log4(3a4b)log2ab，得 3a4bab，则4a3b1，所以 ab(ab)4a3b 74ba3ab724ba3ab743， 当且仅当4ba3ab， 即 a423，b233 时等号成立，故其最小值是 743.b8幂函数与函数的图像8 、20 xx浙江卷 在同一直角坐标系中，函数 f(x)xa(x0)，g(x)logax 的图像可能是()abcd图 128d解

31、析 只有选项 d 符合，此时 0a0，且 a1)的图像如图 12 所示，则下列函数图像正确的是()图 12abcd 图 138b解析 由函数 ylogax 的图像过点(3，1)，得 a3.选项 a 中的函数为 y13x，其函数图像不正确；选项 b 中的函数为 yx3，其函数图像正确；选项 c 中的函数为 y(x)3，其函数图像不正确；选项 d 中的函数为 ylog3(x)，其函数图像不正确，故选 b.1520 xx湖北卷 如图 14 所示，函数 yf(x)的图像由两条射线和三条线段组成若xr，f(x)f(x1)，则正实数 a 的取值范围为_图 1415.0，16解析 “xr， f(x)f(x1

32、)”等价于“函数 yf(x)的图像恒在函数 yf(x1)的图像的上方”，函数 yf(x1)的图像是由函数 yf(x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示因为 a0，由图知 6a1，所以 a 的取值范围为0，16 .13 、20 xx江苏卷 已知 f(x)是定义在 r 上且周期为 3 的函数，当 x0，3)时，f(x)|x22x12|.若函数 yf(x)a 在区间3，4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_13.0，12解析 先画出 yx22x12在区间0，3上的图像，再将 x 轴下方的图像对称到 x 轴上方，利用周期为 3，将图像平移至区间3，4内，即得 f(x)在区间3

33、，4上的图像如下图所示，其中 f(3)f(0)f(3)0.5，f(2)f(1)f(4)0.5.函数 yf(x)a 在区间3，4上有 10 个零点(互不相同)等价于 yf(x)的图像与直线 ya 有 10 个不同的交点，由图像可得 a0，12 .15 、 20 xx全国新课标卷 设函数 f(x)ex1，x1，x13，x1，则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_15 (， 8解析 当 x1 时， 由 ex12， 得 x0，a1)的图像如图11 所示，则下列结论成立的是()图 11aa1，x1ba1，0c1c0a1d0a1，0c0，f(4)0.50，根据零点的存在性定理知选 c.方法二：在同

34、一坐标系中作出函数 h(x)6x与 g(x)log2x 的大致图像，如图所示，可得f(x)的零点所在的区间为(2，4)720 xx浙江卷 已知函数 f(x)x3ax2bxc，且 0f(1)f(2)f(3)3，则()ac3b3c6c6c9dc97c解析 由 f(1)f(2)f(3)得1abc84a2bc，84a2bc279a3bc73ab0，195ab0a6，b11，则 f(x)x36x211xc，而 0f(1)3，故 06c3，60 时，f(x)2x6ln x，令 2x6ln x0，得 ln x62x.作出函数 yln x 与 y62x 在区间(0，)上的图像，则两函数图像只有一个交点，即函数

35、 f(x)2x6ln x(x0)只有一个零点综上可知，函数 f(x)的零点的个数是 2.9 、20 xx湖北卷 已知 f(x)是定义在 r 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为()a1，3b3，1，1，3c2 7，1，3d2 7，1，39d解析 设 x0，所以 f(x)f(x)(x)23(x)x23x .求函数 g(x)f(x)x3 的零点等价于求方程 f(x)3x 的解当 x0 时，x23x3x，解得 x13，x21；当 x0 时，x23x3x，解得 x32 7.故选 d.13 、20 xx江苏卷 已知 f(x)是定义在 r 上且周期为 3

36、的函数，当 x0，3)时，f(x)|x22x12|.若函数 yf(x)a 在区间3，4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_13.0，12解析 先画出 yx22x12在区间0，3上的图像，再将 x 轴下方的图像对称到 x 轴上方，利用周期为 3，将图像平移至区间3，4内，即得 f(x)在区间3，4上的图像如下图所示，其中 f(3)f(0)f(3)0.5，f(2)f(1)f(4)0.5.函数 yf(x)a 在区间3，4上有 10 个零点(互不相同)等价于 yf(x)的图像与直线 ya 有 10 个不同的交点，由图像可得 a0，12 .420 xx江西卷 已知函数 f(x)a2

37、x，x0，2x，x0(ar)若 ff(1)1，则 a()a.14b.12c1d24a解析 因为 f(1)212，f(2)a224a1，所以 a14.1520 xx浙江卷 设函数 f(x)x22x2，x0，x2， x0.若 f(f(a)2，则 a_.15. 2解析 令 tf(a)，若 f(t)2，则 t22t22 满足条件，此时 t0 或 t2，所以 f(a)0 或 f(a)2，只有a22 满足条件，故 a 2.2120 xx全国卷 函数 f(x)ax33x23x(a0)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在区间(1，2)是增函数，求 a 的取值范围21解：(1)f(x)3ax26x

38、3，f(x)0 的判别式36(1a)(i)若 a1，则 f(x)0，且 f(x)0 当且仅当 a1，x1 时成立故此时 f(x)在 r 上是增函数(ii)由于 a0，故当 a1 时，f(x)0 有两个根；x11 1aa，x21 1aa.若 0a1，则当 x(，x2)或 x(x1，)时，f(x)0，故 f(x)分别在(，x2)，(x1，)是增函数；当 x(x2，x1)时，f(x)0，整理得 x2(5a)x40，则(5a)24140，解得 a1 或 a9(舍去)，当 ya|x|与 yf(x)的图像有四个交点时，有 1a2.b10 函数模型及其应用8 20 xx北京卷 加工爆米花时， 爆开且不糊的粒

39、数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” 在特定条件下， 可食用率 p 与加工时间 t(单位： 分钟)满足函数关系 pat2btc(a，b，c 是常数)，图 12 记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()图 12a3.50 分钟b3.75 分钟c4.00 分钟d4.25 分钟8b解析 由题意得0.79a3bc，0.816a4bc，0.525a5bc，解之得a0.2，b1.5，c2，p0.2t21.5t20.2(t3.75)20.8125，即当 t3.75 时，p 有最大值1020 xx陕西卷 如图 12 所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(

40、相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为()图 12ay12x312x2xby12x312x23xcy14x3xdy14x312x22x10a解析 由题意可知，该三次函数的图像过原点，则其常数项为 0，不妨设其解析式为 yf(x)ax3bx2cx，则 f(x)3ax22bxc，f(0)1，f(2)3，可得 c1，3ab1.又 yax3bx2cx 过点(2，0)，4a2b1，a12，b12，c1，yf(x)12x312x2x.b11 导数及其运算21 、 、20 xx陕西卷 设函数 f(x)ln xmx，mr.(1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小

41、值；(2)讨论函数 g(x)f(x)x3零点的个数；(3)若对任意 ba0，f（b）f（a）ba1 恒成立，求 m 的取值范围21解：(1)由题设，当 me 时，f(x)ln xex，则 f(x)xex2，当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增xe 时，f(x)取得极小值 f(e)ln eee2，f(x)的极小值为 2.(2)由题设 g(x)f(x)x31xmx2x3(x0)，令 g(x)0，得 m13x3x(x0)，设(x)13x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当 x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增；当 x(1，)时，(x)23时，函数

42、 g(x)无零点；当 m23时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0m23时，函数 g(x)无零点；当 m23或 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0ma0，f（b）f（a）ba1 恒成立，等价于 f(b)b0)，(*)等价于 h(x)在(0，)上单调递减由 h(x)1xmx210 在(0，)上恒成立，得 mx2xx12214(x0)恒成立，m14对 m14，h（x）0 仅在 x12时成立，m 的取值范围是14，.20 、20 xx安徽卷 设函数 f(x)1(1a)xx2x3，其中 a0.(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x0，1时，求 f(x)取得最大值和最小

43、值时的 x 的值20解： (1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令 f(x)0，得 x11 43a3，x21 43a3，且 x1x2，所以 f(x)3(xx1)(xx2)当 xx2时，f(x)0；当 x1x0.故 f(x)在，1 43a3和1 43a3，内单调递减，在1 43a3，1 43a3内单调递增(2)因为 a0，所以 x10，当 a4 时，x21，由(1)知，f(x)在0，1上单调递增，所以 f(x)在 x0 和 x1 处分别取得最小值和最大值当 0a4 时，x21，由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，因此 f(x)在 xx21 43a3处

44、取得最大值又 f(0)1，f(1)a，所以当 0a1 时，f(x)在 x1 处取得最小值；当 a1 时，f(x)在 x0 和 x1 处同时取得最小值；当 1a0，g（1）t10，解得3t1.故当过点 p(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切时，t 的取值范围是(3，1)(3)过点 a(1，2)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切；过点 b(2，10)存在 2 条直线与曲线 yf(x)相切；过点 c(0，2)存在 1 条直线与曲线 yf(x)相切22 、 20 xx福建卷 已知函数 f(x)exax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 a， 曲线 yf(x)在点 a 处的切线斜率为1

45、.(1)求 a 的值及函数 f(x)的极值；(2)证明：当 x0 时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当 x(x0，)时，恒有 xcex.22解：方法一：(1)由 f(x)exax，得 f(x)exa.又 f(0)1a1，得 a2.所以 f(x)ex2x，f(x)ex2.令 f(x)0，得 xln 2.当 xln 2 时，f(x)0，f(x)单调递减；当 xln 2 时，f(x)0，f(x)单调递增所以当 xln 2 时，f(x)有极小值，且极小值为 f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明：令 g(x)exx2，则 g(x)ex2

46、x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，即 g(x)0.所以 g(x)在 r 上单调递增，又 g(0)10，所以当 x0 时，g(x)g(0)0，即 x2ex.(3)证明：对任意给定的正数 c，取 x01c，由(2)知，当 x0 时，x2ex.所以当 xx0时，exx21cx，即 xln(kx)，即 xln xln k 成立若 0k1，则 ln k0，易知当 x0 时，xln xln xln k 成立即对任意 c1，)，取 x00，当 x(x0，)时，恒有 xcex.若 k1，令 h(x)xln xln k，则 h(x)11xx1x，所以当 x1 时，h(x)0，h(x)在

47、(1，)上单调递增取 x04k，h(x0)4kln(4k)ln k2(kln k)2(kln 2)，易知 kln k，kln 2，所以 h(x0)0.因此对任意 c(0，1)，取 x04c，当 x(x0，)时，恒有 xcex.综上，对任意给定的正数 c，总存在 x0，当 x(x0，)时，恒有 xcex.方法三：(1)同方法一(2)同方法一(3)证明：若 c1，取 x00，由(2)的证明过程知，ex2x，所以当 x(x0，)时，有 cexex2xx，即 xcex.若 0c1，令 h(x)cexx，则 h(x)cex1.令 h(x)0 得 xln1c.当 xln1c时，h(x)0，h(x)单调递增

48、取 x02ln2c，则 h(x0)ce2ln2c2ln2c22cln2c ，易知2cln2c0，又 h(x)在(x0，)内单调递增，所以当 x(x0，)时，恒有 h(x)h(x0)0，即 xcex.综上，对任意给定的正数 c，总存在 x0，当 x(x0，)时，恒有 xcex.11 、20 xx广东卷 曲线 y5ex3 在点(0，2)处的切线方程为_115xy20解析 y5ex，所求切线斜是 k5e05，切线方程是y(2)5(x0)，即 5xy20.1120 xx江苏卷 在平面直角坐标系 xoy 中，若曲线 yax2bx(a，b 为常数)过点 p(2，5)，且该曲线在点 p 处的切线与直线 7x

49、2y30 平行，则 ab 的值是_113解析 易知 y2axbx2.根据题意有54ab2，4ab472，解得a1，b2，故 ab3.23 、20 xx江苏卷 已知函数 f0(x)sin xx(x0)，设 fn(x)为 fn1(x)的导数，nn*.(1)求 2f12 2f22 的值；(2)证明：对任意的 nn*，等式|nfn14 4fn4|22都成立23解： (1)由已知，得 f1(x)f0(x)sin xxcos xxsin xx2，于是 f2(x)f1(x)cos xxsin xx2sin xx2cos xx22sin xx3，所以 f12 42，f22 2163.故 2f12 2f22 1

50、.(2)证明：由已知得，xf0(x)sin x，等式两边分别对 x 求导，得 f0(x)xf0(x)cos x，即 f0(x)xf1(x)cos xsinx2 .类似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos xsinx32，4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2)下面用数学归纳法证明等式 nfn1(x)xfn(x)sinxn2对所有的 nn*都成立(i)当 n1 时，由上可知等式成立(ii)假设当 nk 时等式成立，即 kfk1(x)xfk(x)sinxk2.因为kfk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)x

51、fk1(x)，sinxk2cosxk2xk2sinx（k1）2，所以(k1)fk(x)xfk1(x)sinx（k1）2，因此当 nk1 时，等式也成立综合(i)(ii)可知，等式 nfn1(x)xfn(x)sinxn2对所有的 nn*都成立令 x4，可得 nfn14 4fn4 sin4n2(nn*)，所以|nfn14 4fn4|(nn*)21 、 20 xx全国新课标卷 设函数 f(x)aln x1a2x2bx(a1)， 曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 0.(1)求 b；(2)若存在 x01，使得 f(x0)aa1，求 a 的取值范围21解：(1)f(x)ax(1a)xb.由

52、题设知 f(1)0，解得 b1，(2)f(x)的定义域为(0，)，由(1)知，f(x)aln x1a2x2x，f(x)ax(1a)x11axxa1a (x1)(i)若 a12，则a1a1，故当 x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递增所以， 存在 x01， 使得 f(x0)a1a的充要条件为 f(1)aa1， 即1a21aa1， 解得 21a 21.(ii)若12a1，故当 x1，a1a 时，f(x)0.f(x)在1，a1a 上单调递减，在a1a，上单调递增所以，存在 x01，使得 f(x0)aa1的充要条件为 fa1a aa1，所以不合题意(iii)若 a1, 则 f(1)1a

53、21a12aa1，符合题意综上，a 的取值范围是( 21， 21)(1，)20 ，20 xx山东卷 设函数 f(x)aln xx1x1，其中 a 为常数(1)若 a0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性20解：(1)由题意知，当 a0 时，f(x)x1x1，x(0，)此时 f(x)2（x1）2，所以 f(1)12.又 f(1)0，所以曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 x2y10.(2)函数 f(x)的定义域为(0，)f(x)ax2（x1）2ax2（2a2）xax（x1）2.当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增

54、当 a0 时，令 g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当 a12时，0，f(x)12（x1）2x（x1）20，函数 f(x)在(0，)上单调递减当 a12时，0，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递减当12a0 时，0.设 x1，x2(x1x2)是函数 g(x)的两个零点，则 x1（a1） 2a1a，x2（a1） 2a1a.因为 x1a1 2a1aa22a1 2a1a0，所以，x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)

55、0，函数 f(x)单调递减综上可得，当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a12时，函数 f(x)在(0， ) 上 单 调 递 减 ； 当 12 a0)令 f(x)0，解得 x0 或 x1a.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)00，1a1a1a，f(x)00f(x)013a2所以，f(x)的单调递增区间是0，1a ；单调递减区间是(，0)，1a，.当 x0 时，f(x)有极小值，且极小值 f(0)0；当 x1a时，f(x)有极大值，且极大值 f1a 13a2.(2)由 f(0)f32a 0 及(1)知，当 x0，32a 时，f(x)0；当 x32a，

56、时，f(x)2，即 0a34时，由 f32a 0 可知，0a，而 0b，所以 a 不是 b 的子集(ii)当 132a2，即34a32时，有 f(2)0，且此时 f(x)在(2，)上单调递减，故 a(，f(2)，因而 a(，0)由 f(1)0，有 f(x)在(1，)上的取值范围包含(，0)，则(，0)b，所以 ab.(iii)当32a32时， 有 f(1)0， 且此时 f(x)在(1， )上单调递减， 故 b1f（1），0，a(，f(2)，所以 a 不是 b 的子集综上，a 的取值范围是34，32 .b12 导数的应用21 、20 xx四川卷 已知函数 f(x)exax2bx1，其中 a，br

57、，e2.718 28为自然对数的底数(1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0，1上的最小值；(2)若 f(1)0，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e2a1.21解：(1)由 f(x)exax2bx1，得 g(x)f(x)ex2axb，所以 g(x)ex2a.当 x0，1时，g(x)12a，e2a当 a12时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递增，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当 ae2时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递减，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab；当12ae2时，令 g(x)0，得 x

58、ln(2a)(0，1)，所以函数 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增，于是，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当 a12时，g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当12ae2时，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当 ae2时，g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab.(2)证明：设 x0为 f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由 f(0)f(x0)0 可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则 g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负

59、故 g(x)在区间(0，x0)内存在零点 x1.同理 g(x)在区间(x0，1)内存在零点 x2.故 g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点由(1)知，当 a12时，g(x)在0，1上单调递增，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当 ae2时，g(x)在0，1上单调递减，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意所以12ae2.此时 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增因此 x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(0)1b0，g(1)e2ab0.由 f(1)0 有 abe10，g(1)1a0.解得 e2a1.所以，函数

60、 f(x)在区间(0，1)内有零点时，e2a1.1520 xx安徽卷 若直线 l 与曲线 c 满足下列两个条件：(i)直线 l 在点 p(x0，y0)处与曲线 c 相切；(ii)曲线 c 在点 p 附近位于直线 l 的两侧则称直线 l 在点 p 处“切过”曲线 c.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线 l：y0 在点 p(0，0)处“切过”曲线 c：yx3；直线 l：x1 在点 p(1，0)处“切过”曲线 c：y(x1)2；直线 l：yx 在点 p(0，0)处“切过”曲线 c：ysin x；直线 l：yx 在点 p(0，0)处“切过”曲线 c：ytan x；直线 l：yx1 在点