相似三角形的判定2[初中数学讲课教案PPT课件]

1、相似三角形的判定相似三角形的定义运用已学过的知识运用已学过的知识判定相似三角形判定相似三角形，有多少，有多少种方法？种方法？ 运用运用定义定义：对应角相等，对应边成比例：对应角相等，对应边成比例 运用运用定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似与原三角形相似复习以上两种判定方法在实际运用中方便吗？判定定理做一做，想一想：做一做，想一想：已知一个三角形的两个角分别为已知一个三角形的两个角分别为70和和65，你，你能画一个和这个三角形相似的三角形吗？能画一个和这个三角形相似

2、的三角形吗？说明你的做法，由此你能说明你的做法，由此你能猜想猜想到可以怎样判定两个到可以怎样判定两个三角形相似呢？三角形相似呢？如果一个三角形的两个角与另一个如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。两个三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。探索判定定理已知：已知：abc和和a b c 中，中，a=a ，b=b ，求证：求证： abc a b c 分析：分析：根据题设条件，难以用定义证明，根据题设条件，难以用定义证明，那么唯一的工具就是那么唯一的工具就是“平行则相似平行则相似”于是必须于是必须构造平行

3、构造平行，但平行线该画，但平行线该画在哪里呢？在哪里呢？联想到联想到全等与相似的关系全等与相似的关系，使所作，使所作的平行线一举两得。的平行线一举两得。证明判定1的基本运用abc和和a b c 中，中，c=50，a =55 ，b=b =75，这两个三角形相似吗？，这两个三角形相似吗？任意的两个等边三角形是否相似？等腰呢？任意的两个等边三角形是否相似？等腰呢？怎样的两个等腰三角形才相似呢？试证明你的结怎样的两个等腰三角形才相似呢？试证明你的结论。论。指出图中所有的相似三角形：指出图中所有的相似三角形：练习判定1的基本运用在证明角相等时，可以从在证明角相等时，可以从公共角公共角、对顶角对顶角、同角

4、同角（或等角）的余（补）角相等（或等角）的余（补）角相等、外角定理外角定理中得到。中得到。如图，在三角形如图，在三角形abc中，中， 1= 2= 3，求证：求证： abcdef。练习判定1的提高运用如图，如图，ad为为abc的角平分线，的角平分线，ad的垂直平的垂直平分线交分线交bc延长线于延长线于e，交，交ab于于f求证求证(1) baeace (2) abce=acde (3) ab:ac=be:ce利用判定利用判定1得到相似，再由得到相似，再由相似得到线段的比例式和相似得到线段的比例式和等积式。等积式。练习判定1的提高运用如图，如图，rtabc中，中，cd是斜边上的高。是斜边上的高。 (

5、1) 找出图中所有的相似三角形，并说明理由。找出图中所有的相似三角形，并说明理由。 (2) 证明：证明：ac=adab (3) 由由(2)的结论，你能找到其它类似的结论吗？并证明之。的结论，你能找到其它类似的结论吗？并证明之。 (4) 在原图中，在原图中，e为为bc上任意一点，上任意一点，efab于于f，求证：，求证： ac=adaf+cdef深入ef直角三角形中的常用结论直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。和原三角形相似。射影定理：射影定理： ac=adab bc=bdba cd=adbd结论全等与相似判定方法的类比全等三角形的

6、判定方法？全等三角形的判定方法？(1)(1)asaasa:a=a:a=a,b=bb=b,ab,ab：ab=1ab=1，则则 abcabcabcabc。(2)(2)aasaas:a=a:a=a,b=bb=b,bc,bc：bc=1bc=1，则则 abcabcabcabc。(3)(3)sassas: :abab：ab=bcab=bc：bc=1bc=1，b=bb=b,则则 abcabcabcabc(4)(4)ssssss: :abab：ab= acab= ac：ac= bcac= bc：bc=1,bc=1,则则 abcabcabcabc。猜想猜想相似三角形的判定方法？相似三角形的判定方法？若若a=aa

7、=a,b=bb=b, , 则则 abcabcabcabc。若若abab：ab= bcab= bc：bcbc , , b=bb=b, , 则则abcabcabcabc。若若abab：ab= bcab= bc：bcbc = ac= ac：ac,ac,则则abcabcabcabc。判定定理2、3判定定理判定定理2 2：如果一个三角形的两条边和另一个三：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。两个三角形相似。两边对应成比例且夹角相等，两两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似三角形相似。判定定理判定定理3 3

8、：如果一个三角形的三条边与另一个三：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。三边对应成比例，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似。引导判定2、3的基本运用阅读课本阅读课本231231页例页例3 3，并完成练习，并完成练习1 1、2 2、3 3。已知已知abcabc，p p是边是边abab上的一点，连结上的一点，连结cpcp。（1 1）acpacp满足什么条件时，满足什么条件时，acp acp abcabc？（2 2）ac:apac:ap满足什么条件时，满足什么条件时， acp acp abcabc？练习判定

9、定理2、3的提高运用如图，如图，a b ab，b c bc，求，求证：证：abc a b c 练习tips：1、要善于利用中间比作过渡2、常规思路：由一组或若干组相似得到比例，再由比例得到另一组相似3、采用逆向分析，根据已知条件分析思路，选用合适的判定定理判定定理2、3的提高运用如图，在如图，在abc中，中，c=60=60，be ac于于e，ad bc于于d。求证：。求证： ced cba复习tips:1、通过相似三角形证对应角相等是获得等角的一条重要途径2、根据要证相等的角，找到所在的一组相似三角形3、利用判定2、3关键要找准对应边，并熟悉对应边成比例的两种表达方式相似三角形的判定方法定义法

10、定义法平行于三角形一边的直线定理平行于三角形一边的直线定理判定定理判定定理1（两角对应相等两角对应相等）判定定理判定定理2（两边对应成比例，夹角相等两边对应成比例，夹角相等）判定定理判定定理3（三边对应成比例三边对应成比例）三角形的相似判定方法可以由全三角形的相似判定方法可以由全等判定方法进行等判定方法进行类比类比得出得出对于直角三角形，由全等的对于直角三角形，由全等的“hl”可以类比出怎样的相似判可以类比出怎样的相似判定定理呢？定定理呢？复习直角三角形的相似判定 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成与另一个直角三角

11、形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。比例，那么这两个直角三角形相似。直角三角形的判定方法有哪些？直角三角形的判定方法有哪些？1 1、一个锐角相等的直角三角形；、一个锐角相等的直角三角形；2 2、两条直角边对应成比例；、两条直角边对应成比例；3 3、任意任意两条边对应成比例。两条边对应成比例。定理完成完成235页练习页练习1直角三角形相似的基本运用 两个等腰三角形的腰和腰上的高对应成比两个等腰三角形的腰和腰上的高对应成比例，求证：这两个等腰三角形相似。例，求证：这两个等腰三角形相似。 求证：一条直角边与斜边上的高对应成比求证：一条直角边与斜边上的高对应成比例的两个直角三角形

12、相似。例的两个直角三角形相似。练习tipstips：常规思路：由一组相似常规思路：由一组相似得到对应角相等或比例得到对应角相等或比例式，再去证明另一组相式，再去证明另一组相似似直角三角形相似的模糊辨析已知：如图，已知：如图，abc=cdb=90abc=cdb=90 , ac=a,bc=b, ac=a,bc=b,当当bdbd与与a a、b b之间满足怎样的关系式时，之间满足怎样的关系式时， (1)(1)abcabccdb?cdb? (2) (2)abcabcbdc?bdc? (3) (3)图中的两个三角形相似？图中的两个三角形相似？练习a ab bc cd dtips: 如果结论中已经出现了如果

13、结论中已经出现了“”符号，则隐含了对应线段；如果符号，则隐含了对应线段；如果只是用文字表示，则对应关系没只是用文字表示，则对应关系没有给出，需要自行找对应。有给出，需要自行找对应。直角三角形相似的提高运用已知：如图，已知：如图，acbdacbd于于c, abc, abec=bcec=bcde. de. 求证求证: :(1)df(1)dfab;(2)efab;(2)efdf=bfdf=bfaf.af.练习a ab bc cd de ef ftips:tips:1 1、要准确地把等、要准确地把等积式变成有用的比积式变成有用的比例式例式2 2、能由比例式判、能由比例式判断出相似，也要能断出相似，也要

14、能由相似得到有用的由相似得到有用的比例式比例式按相似比作相似三角形已知已知abc，求作，求作a b c ，使，使a b c abc，且，且abc与与a b c 的相似比为的相似比为3/2。 已知已知abc，试用两种不同的方法在，试用两种不同的方法在 abc形形内作一个三角形，使其与内作一个三角形，使其与abc相似，且相似相似，且相似比为比为1/4作图tips: 以平行线分线段成以平行线分线段成比例的作图为蓝本，比例的作图为蓝本，根据给出的相似比作根据给出的相似比作相应的改动相应的改动判定定理2、3的提高运用如图，在如图，在abc中，中，c=60=60，be ac于于e，ad bc于于d。求证：

15、。求证： ced cba复习tips:1、通过相似三角形证对应角相等是获得等角的一条重要途径2、根据要证相等的角，找到所在的一组相似三角形3、利用判定2、3关键要找准对应边，并熟悉对应边成比例的两种表达方式在在rtrtabcabc中，中，acb=90acb=90 ,cdab,cdab于于d. (1)d. (1)图中有几个直角三角形？图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？它们相似吗？为什么？(2)(2)用语言描述第用语言描述第(1)(1)题的结论。题的结论。(3)(3)写出相似三角形的对应边成比例的表达式。写出相似三角形的对应边成比例的表达式。a ac cb bd d直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。.;accdcbbdabbcbccdacadabacbdcdcdadbcac .;222babdcbadabcadbdacd 直角三角形中，斜边上的高是两直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是这条直角中项；每一条直角边是这条直角边