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1、高考数学精品复习资料 2019.5升级增分训练 构造辅助函数求解导数问题1设函数f(x)x2ex1ax3bx2,已知x2和x1为f(x)的极值点(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性;(3)设g(x)x3x2,比较f(x)与g(x)的大小解:(1)因为f(x)ex1(2xx2)3ax22bxxex1(x2)x(3ax2b),又x2和x1为f(x)的极值点,所以f(2)f(1)0,因此解得(2)因为a,b1,所以f(x)x(x2)(ex11),令f(x)0,解得x12,x20,x31因为当x(,2)(0,1)时,f(x)0;当x(2,0)(1,)时,f(x)0所以f(x)在(2,0)和(
2、1,)上是单调递增的;在(,2)和(0,1)上是单调递减的(3)由(1)可知f(x)x2ex1x3x2故f(x)g(x)x2ex1x3x2(ex1x),令h(x)ex1x,则h(x)ex11令h(x)0,得x1,因为当x(,1时,h(x)0,所以h(x)在(,1上单调递减;故当x(,1时,h(x)h(1)0;因为当x1,)时,h(x)0,所以h(x)在1,)上单调递增;故x1,)时,h(x)h(1)0所以对任意x(,),恒有h(x)0;又x20,因此f(x)g(x)0故对任意x(,),恒有f(x)g(x)2(20xx·北京高考)已知函数f(x)ln(1)求曲线yf(x)在点(0,f(
3、0)处的切线方程;(2)求证:当x(0,1)时,f(x)2;(3)设实数k使得f(x)k对x(0,1)恒成立,求k的最大值解:(1)因为f(x)ln(1x)ln(1x)(1x1),所以f(x),f(0)2又因为f(0)0,所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y2x(2)证明:令g(x)f(x)2,则g(x)f(x)2(1x2)因为g(x)>0(0<x<1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增所以g(x)>g(0)0,x(0,1),即当x(0,1)时,f(x)>2(3)由(2)知,当k2时,f(x)>k对x(0,1)恒成立当k>2时,令
4、h(x)f(x)k,则h(x)f(x)k(1x2)所以当0<x< 时,h(x)<0,因此h(x)在区间上单调递减故当0<x< 时,h(x)<h(0)0,即f(x)<k所以当k>2时,f(x)>k并非对x(0,1)恒成立综上可知,k的最大值为23(20xx·广州综合测试)已知函数f(x)mexln x1(1)当m1时,求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当m1时,证明:f(x)1解:(1)当m1时,f(x)exln x1,所以f(x)ex所以f(1)e1,f(1)e1所以曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程
5、为y(e1)(e1)(x1),即y(e1)x(2)证明:当m1时,f(x)mexln x1exln x1(x0)要证明f(x)1,只需证明exln x20设g(x)exln x2,则g(x)ex设h(x)ex,则h(x)ex0,所以函数h(x)g(x)ex在(0,)上单调递增因为ge20,g(1)e10,所以函数g(x)ex在(0,)上有唯一零点x0,且x0因为g(x0)0,所以ex0,即ln x0x0当x(0,x0)时,g(x)0;当x(x0,)时,g(x)0所以当xx0时,g(x)取得最小值g(x0)故g(x)g(x0)ex0ln x02x020综上可知,当m1时,f(x)14(20xx&
6、#183;石家庄质检)已知函数f(x)a(x0),其中e为自然对数的底数(1)当a0时,判断函数yf(x)极值点的个数;(2)若函数有两个零点x1,x2(x1x2),设t,证明:x1x2随着t的增大而增大解:(1)当a0时,f(x)(x0),f(x),令f(x)0,得x2,当x(0,2)时,f(x)0,yf(x)单调递减,当x(2,)时,f(x)0,yf(x)单调递增,所以x2是函数的一个极小值点,无极大值点,即函数yf(x)有一个极值点(2)证明:令f(x)a0,得xaex,因为函数有两个零点x1,x2(x1x2),所以x1aex1,xaex2,可得ln x1ln ax1,ln x2ln ax2故x2x1ln x2ln x1ln又t,则t1,且解得x1,x2所以x1x2·令h(x),x(1,),则h(x)令u(x)2ln xx,得u(x)
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