高考数学二轮专名师讲义：第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5第13讲圆锥曲线(含轨迹问题) 本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是b级考点，其余都是a级考点，但高考必考在理解定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，特别是圆锥曲线中的离心率计算(含范围)要能准确建模(方程或不等式)1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质1

2、. 若椭圆1的离心率e，则m_答案：3或2. 若抛物线y22x上的一点m到坐标原点o的距离为，则m到该抛物线焦点的距离为_答案：3. 已知双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为_答案：1解析：由题设可得双曲线方程满足3x2y2(>0)，即1，于是c2.又抛物线y224x的准线方程为x6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则c236，于是27，所以双曲线的方程1.4. 在平面直角坐标系xoy中，点m是椭圆1(ab0)上的点，以m为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点f，圆m与y轴相交于p、q两点若pqm

3、是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是_答案：解析：由题意可得点m坐标是，又pqm是钝角三角形，所以圆心m到y轴的距离c小于mf，即c·，acb2a2c2，c2aca20，所以e2e10，解得e.又e0，所以0e.题型一 轨迹问题例1 离心率为的椭圆c：1(a>b>0)上有一点m到椭圆两焦点的距离之和为10，以椭圆c的右焦点f(c，0)为圆心，短轴长为直径的圆有切线pt，t为切点，且点p满足|pt|pb|(b为椭圆c的上顶点)(1) 求椭圆的方程；(2) 求动点p的轨迹的方程解：(1) 2a10，a2b2c2， a5，c4，b3， 椭圆方程是1.(2) 设点p(x，y)

4、， f(4，0)，r3，b(0，3)，|pt|pb|， pf29pb2， (x4)2y29x2(y3)2，整理得到4x3y10.如图，设p是圆x2y225上的动点，点d是p在x轴上的投影，m为pd上一点，且|md|pd|.(1) 当p在圆上运动时，求点m的轨迹c的方程；(2) 求过点(3，0)且斜率为的直线被c所截线段的长度解：(1) 设点m的坐标是(x，y)，p的坐标是(xp，yp)， 点d是p在x轴上的投影，m为pd上一点，且|md|pd|， xpx且ypy. p在圆x2y225上， x225，整理得1，即c的方程是1.(2) 过点(3，0)且斜率为的直线方程是y(x3)，设此直线与c的交

5、点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入c的方程1，得1，化简得x23x80， x1，x2， |ab|，即所截线段的长度是.题型二 椭圆的几何性质例2 已知椭圆1(a>b>0)的右焦点为f1(2，0)，离心率为e.(1) 若e，求椭圆的方程；(2) 设a、b为椭圆上关于原点对称的两点，af1的中点为m，bf1的中点为n，若原点o在以线段mn为直径的圆上 证明：点a在定圆上； 设直线ab的斜率为k，若k，求e的取值范围(1)解：由e，c2，得a2，b2，则所求椭圆方程为1.(2) 设a(x0，y0)，则b(x0，y0)，故m，n. 证明：由题意，得·

6、0，化简，得xy4，所以点a在以原点为圆心，2为半径的圆上 解：设a(x0，y0)，则(1k2)将e，x得a，b2a2c24，代入上式整理，得k2(2e21)e42e21.因为e42e21>0，k20，所以2e210，即e.又k23，化简得解得e242，即e1.故离心率的取值范围是. 在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，其焦点在圆x2y21上(1) 求椭圆的方程；(2) 设a、b、m是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使cossin. 求证：直线oa与ob的斜率之积为定值； 求oa2ob2.(1) 解：依题意，得c1，于是a，b1，所以所求椭圆的方程为y21

7、.(2) 证明：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1，y1.又设m(x，y)，因cossin，故因m在椭圆上，故(y1cosy2sin)21.整理得cos2sin22cossin1.将代入上式，并注意cossin0，得y1y20.所以koakob为定值 解：因(y1y2)2·(1y)·(1y)1(yy)yy，故yy1.又2，故xx2，所以oa2ob2xyxy3.题型三 直线与椭圆的位置关系例3 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆c的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切(1) 求椭圆c的方程；(2) 已知点p(0，1)，

8、q(0，2)，设m、n是椭圆c上关于y轴对称的不同两点，直线pm与qn相交于点t，求证：点t在椭圆c上(1) 解：由题意知b，因为离心率e，所以，所以a2，所以椭圆c的方程为1.(2) 证明：由题意可设m、n的坐标分别为(x0，y0)、(x0，y0)，则直线pm的方程为yx1，直线qn的方程为yx2.(证法1)联立解得x，y，即t.由1可得x84y.因为1，所以点t坐标满足椭圆c的方程，即点t在椭圆c上(证法2)设t(x，y)联立解得x0，y0.因为1，所以1.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以点t坐标满足椭圆c的方程，即点t在椭圆c上题型四 与椭圆有关的综合问题例4

9、如图，已知a1、a2、b1、b2是椭圆c：1(ab0)的四个顶点，a1b1b2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆m.(1) 求椭圆c及圆m的方程；(2) 若点d是圆m劣弧上一动点(点d异于端点a1、b2)，直线b1d分别交线段a1b2、椭圆c于点e、g，直线b2g与a1b1交于点f. 求的最大值； 试问：e、f两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由解：(1) 由题意知，b2(0，1)，a1(，0)，所以b1，a，所以椭圆c的方程为y21.易得圆心m，a1m，所以圆m的方程为y2.(2) 设直线b1d的方程为ykx1，与直线a1b2的方程yx1联立，解得点e，联立消

10、去y并整理，得(13k2)x26kx0，解得点g， 因为g、e、b1共线，所以111，当且仅当k时，取“”，所以的最大值为. 直线b2g的方程为yx1x1，与直线a1b1的方程yx1联立，解得点f，所以e、f两点的横坐标之和为2.故e、f两点的横坐标之和为定值，该定值为2.在直角坐标系xoy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆e的一个焦点为圆c：x2y24x20的圆心(1) 求椭圆e的方程；(2) 设p是椭圆e上一点，过p作两条斜率之积为的直线l1、l2.当直线l1、l2都与圆c相切时，求p的坐标解：(1) 由x2y24x20，得(x2)2y22，故圆c的圆心为点(2，0)，从而可设椭圆e的方程

11、为1(ab0)，其焦距为2c，由题设知c2，e， a2c4，b2a2c212，故椭圆e的方程为1.(2) 设点p的坐标为(x0，y0)，l1、l2的斜率分别为k1、k2.则l1、l2的方程分别为l1：yy0k1(xx0)，l2：yy0k2(xx0)，且k1k2.由l1与圆c：(x2)2y22相切，得，即(2x0)22k2(2x0)y0k1y20.同理可得(2x0)22k2(2x0)y0k2y20.从而k1、k2是方程(2x0)22k22(2x0)y0ky20的两个实根，于是且k1k2.由得5x8x0360，解得x02或x0.由x02，得y0±3；由x0，得y0±，它们满足式

12、，故点p的坐标为(2，3)或(2，3)或，或.1. (20xx·安徽卷)设f1、f2分别是椭圆e：x21(0b1)的左、右焦点，过点f1的直线交椭圆e于a、b两点若|af1|3|f1b|，af2x轴，则椭圆e的方程为_答案：x2y21解析：设b在x轴上的射影为b0，由题意得|b0f1|f1f2|，得b0坐标为，即b点横坐标为.设直线ab的斜率为k.又直线过点f1(c，0)， 直线ab的方程为yk(xc)由得(k2b2)x22ck2xk2c2b20，其两根为和c，由韦达定理得解得c2， b21c2. 椭圆方程为x2y21.2. (20xx·江西卷)过点m(1，1)作斜率为的直

13、线与椭圆c：1(a>b>0)相交于a、b两点，若m是线段ab的中点，则椭圆c的离心率为_答案：解析：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则1，1， 0，即×1. a22b22(a2c2)，即a22c2， e.3. (20xx·湖北卷)已知f1、f2是椭圆和双曲线的公共焦点，p是它们的一个公共点，且f1pf2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_答案：解析：由椭圆和双曲线的定义可知，设|pf1|r1，|pf2|r2，|f1f2|2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2. f1pf2， 由余弦定理可得4c2rr2r1r2cos.在椭圆中，化简为即4c24

14、a3r1r2，即1；在双曲线中，化简为即4c24ar1r2，即1.联立，得4，由柯西不等式得，即×4，即.4. (20xx·湖南卷)如图，正方形abcd和正方形defg的边长分别为a、b(ab)，原点o为ad的中点，抛物线y22px(p0)经过c、f两点，则_答案：1解析：依题意可得c，f，代入抛物线方程得ap，b22a，化简得b22aba20，即210，解得1.5. (20xx·重庆卷)如图，设椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1、f2，点d在椭圆上，df1f1f2，2，df1f2的面积为.(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 设圆心在y轴上的圆

15、与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径解：(1) 设f1(c，0)，f2(c，0)，其中c2a2b2，由2，得df1c.从而sdf1f2|df1|f1f2|c2，故c1.从而|df1|.由df1f1f2，得|df2|2|df1|2|f1f2|2，因此|df2|.所以2a|df1|df2|2，故a，b2a2c21，因此，所求椭圆的标准方程为y21.(2) 如图，设圆心在y轴上的圆c与椭圆y21相交，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，f1p1，f2p2是圆c的切线，且f1p1f2p2，由圆和椭

16、圆的对称性，易知x2x1，y1y2，|p1p2|2|x1|.由(1)知f1(1，0)，f2(1，0)，所以(x11，y1)，(x11，y1)，再由f1p1f2p2，得(x11)2y0，由椭圆方程得1(x11)2，即3x4x0.解得x1或x10.当x10时，p1，p2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1时，过p1，p2分别与f1p1，f2p2垂直的直线的交点即为圆心c，由f1p1，f2p2过圆c的切线，且f1p1f2p2，知cp1f1p1.又|cp1|cp2|，故圆c的半径|cp1|p1p2|x1|.6. (20xx·天津卷)设椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1、f

17、2，右顶点为a，上顶点为b.已知|ab|f1f2|.(1) 求椭圆的离心率；(2) 设p为椭圆上异于其顶点的一点，以线段pb为直径的圆经过点f1，经过原点o的直线l与该圆相切，求直线l的斜率解：(1) 设椭圆右焦点f2的坐标为(c，0)由|ab|f1f2|，可得a2b23c2.又b2a2c2，则，所以椭圆的离心率e.(2) 由(1)知a22c2，b2c2.故椭圆方程为1.设p(x0，y0)，由f1(c，0)，b(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有·0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.又点p在椭圆上，所以1.由和可得3x4cx00.而点p不是椭圆的顶点

18、，故x0c.代入得y0，即点p的坐标为.设圆的圆心为t(x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc.设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为ykx.由l与圆相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4±，所以直线l的斜率为4或4.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(20xx·南师附中)在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，两个顶点分别为a1(2，0)、a2(2，0)过点d(1，0)的直线交椭圆于m、n两点，直线a1m与na2的交点为g.(1) 求实数a、b的值；(2) 当直线mn的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点p1、p2使得p1mn和p2m

19、n的面积为s，求s的取值范围；(3) 求证：点g在一条定直线上(1) 解：由题设可知a2.(1分)因为e，即，所以c.因为b2a2c2431，所以b1.(2分)(2) 解：由题设可知，椭圆的方程为y21，直线mn的方程为yx1.设m(x1，y1)、n(x2，y2)，联立方程组消去y可得5x28x0，解得x10，x2.将x10，x2代入直线mn的方程，解得y11，y2.所以mn.(4分)设与直线mn平行的直线m的方程为yx.联立方程组消去y可得5x28x4240，若直线m与椭圆只有一个交点，则满足64220(424)0，解得±.(6分)当直线m为yx时，直线mn与m之间的距离为d1；当

20、直线m为yx时，直线mn与m之间的距离为d2.(8分)设点c到mn的距离为d，要使cmn的面积为s的点c恰有两个，则需满足d1dd2，即d.因为sd·mnd，所以s.(10分)(3) 证明：(方法1)设直线a1m的方程为yk1(x2)，直线a2n的方程为yk2(x2)联立方程组消去y得(14k)x216kx16k40，解得点m的坐标为.同理，可解得点n的坐标为.(12分)由m、d、n三点共线，有，化简得(k23k1)(4k1k21)0.由题设可知k1与k2同号，所以k23k1.(14分)联立方程组解得交点g的坐标为.将k23k1代入点g的横坐标，得xg4.所以，点g恒在定直线x4上(

21、16分)(方法2)显然，直线mn的斜率为0时不合题意设直线mn的方程为xmy1.令m0，解得m、n或m、n.当m、n时，直线a1m的方程为yx，直线a2n的方程为yx.联立方程组解得交点g的坐标为(4，)；当m、n时，由对称性可知交点g的坐标为(4，)若点g恒在一条定直线上，则此定直线必为x4.(12分)下面证明对于任意的实数m，直线a1m与直线a2n的交点g均在直线x4上设m(x1，y1)、n(x2，y2)、g(4，y0)由点a1、m、g三点共线，有，即y0.再由点a2、n、g三点共线，有，即y0.所以.将x1my11，x2my21代入式，化简得2my1y23(y1y2)0.(14分)联立方

22、程组消去x得(m24)y22my30，从而有y1y2，y1y2.将其代入式，有2m·3·0成立所以当m为任意实数时，直线a1m与直线a2n的交点g均在直线x4上(16分)1. 已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_，若该方程表示双曲线，则m的取值范围是_答案： (，1)(2，)2. 点p为椭圆1(a>b>0)上一点，f1 、f2为椭圆的焦点，如果pf1f275°，pf2f115°，则椭圆的离心率为_答案： 3. 已知抛物线y22px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该

23、抛物线的准线方程为_答案：x14. 设p点在圆x2(y2)21上移动，点q在椭圆y21上移动，则|pq|的最大值是_答案：1解析：圆心c(0，2)，|pq|pc|cq|1|cq|，于是只要求|cq|的最大值设q(x，y)， |cq|. 1y1， 当y时，|cq|max， |pq|max1.5. 如图，椭圆c：1的右顶点为a，上、下两个顶点分别为b、d，四边形oamb是矩形(o为坐标原点)，点e、p分别是线段oa、am的中点(1) 求证：直线de与直线bp的交点在椭圆c上；(2) 若过点b的直线l1、l2与椭圆c分别交于点r、s(不同于b)，且它们的斜率k1、k2满足k1k2，求证：直线rs过定点，并求出此定点的坐标证明：(1) 由题意得a(4，0)，b(0，2)，d(0，2)，e(2，0)，p(4，1)，所以直线de的方程为yx2，直线bp的方程为yx2.解方程组得所以直线de与直线bp的交点坐标为.因