高三数学理一轮复习考点规范练：第八章　立体几何44 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5考点规范练44立体几何中的向量方法基础巩固1.直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l平面,则x的值为()a.-2b.-c.d.±2.已知平面的一个法向量为n=(1,-,0),则y轴与平面所成的角的大小为()a.b.c.d.3.如图,正方形abcd与矩形acef所在平面互相垂直,以cd,cb,ce所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,ab=,af=1,m在ef上,且am平面bde,则m点的坐标为()a.(1,1,1)b.c.d.4.已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为a,点m在ac1

2、上,且,n为b1b的中点,则|为()a.ab.ac.ad.a5.如图,过正方形abcd的顶点a,作pa平面abcd.若pa=ba,则平面abp和平面cdp所成的二面角的大小是()a.30°b.45°c.60°d.90°6.在正三棱柱abc-a1b1c1中,ab=aa1,则ac1与平面bb1c1c所成角的正弦值为()a.b.c.d.7.如图,在正四棱锥s-abcd中,o为顶点在底面上的射影,p为侧棱sd的中点,且so=od,则直线bc与平面pac所成的角为. 8.已知点p是平行四边形abcd所在的平面外一点,且=(2,-1,-4),=(4,2,0

3、),=(-1,2,-1).对于结论:apab;apad;是平面abcd的法向量;.其中正确的是.(填序号) 9.如图,在四棱锥p-abcd中,侧面pad为正三角形,底面abcd为正方形,侧面pad底面abcd,m为底面abcd内的一个动点,且满足mp=mc,则点m在正方形abcd内的轨迹为.(填序号) 10.(20xx全国乙卷,理18)如图,在以a,b,c,d,e,f为顶点的五面体中,面abef为正方形,af=2fd,afd=90°,且二面角d-af-e与二面角c-be-f都是60°.(1)证明:平面abef平面efdc;(2)求二面角e-bc-a的余弦

4、值.导学号37270484能力提升11.如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别在a1d,ac上,且a1e=a1d,af=ac,则()a.ef至多与a1d,ac之一垂直b.efa1d,efacc.ef与bd1相交d.ef与bd1异面12.如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,点o为线段bd的中点.设点p在线段cc1上,直线op与平面a1bd所成的角为,则sin 的取值范围是()a.b.c.d.导学号3727048613.如图,等边三角形abc与正方形abde有一公共边ab,二面角c-ab-d的余弦值为,m,n分别是ac,bc的中点,则em,an所成角的余弦值等于.导学号

5、37270487 14.如图,ab是半圆o的直径,c是半圆o上除a,b外的一个动点,dc垂直于半圆o所在的平面,dceb,dc=eb,ab=4,taneab=.(1)证明:平面ade平面acd;(2)当三棱锥c-ade体积最大时,求二面角d-ae-b的余弦值.导学号37270488高考预测15.如图,在四棱锥a-efcb中,aef为等边三角形,平面aef平面efcb,efbc,bc=4,ef=2a,ebc=fcb=60°,o为ef的中点.(1)求证:aobe;(2)求二面角f-ae-b的余弦值;(3)若be平面aoc,求a的值.导学号37270489参考答案考点规范练44立

6、体几何中的向量方法1.d解析 当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±2.b解析 可知y轴的方向向量为m=(0,1,0),设y轴与平面所成的角为,则sin =|cos<m,n>|,cos<m,n>=-,sin =,=3.c解析 设m(x,x,1).由已知得a(,0),b(0,0),d(,0,0),e(0,0,1),则=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1).设平面bde的一个法向量为n=(a,b,c),则解得令b=1,则n=(1,1,).又am平面bd

7、e,所以n=0,即2(x-)+=0,得x=所以m4.a解析 以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系dxyz,则a(a,0,0),c1(0,a,a),n设m(x,y,z),点m在ac1上,且,(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z).x=a,y=,z=,得m|=a.5.b解析 (方法一)建立如图所示的空间直角坐标系,不难求出平面apb与平面pcd的法向量分别为n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面abp与平面cdp所成二面角的余弦值为,故所求的二面角的大小是45°.图图(方法二)将其补成正方体.如图,不难发现平面abp和平面cdp所成的二面角就是平面abqp和平面cdp

8、q所成的二面角,其大小为45°.6.c解析 取b1c1的中点d1,以a1为原点,a1d1,a1a所在直线为x轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设ab=2,则c1(,1,0),a(0,0,2),=(,1,-2),平面bb1c1c的一个法向量为n=(1,0,0).所以ac1与平面bb1c1c所成角的正弦值为7.30°解析 如图所示,以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设od=so=oa=ob=oc=a,则a(a,0,0),b(0,a,0),c(-a,0,0),p则=(2a,0,0),=(a,a,0).设平面pac的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos<,n

9、>=<,n>=60°,直线bc与平面pac所成的角为90°-60°=30°.8.解析 因为=0,=0,所以abap,adap,则正确.又不平行,所以是平面abcd的法向量,则正确.因为=(2,3,4),=(-1,2,-1),所以不平行,故错误.9.解析 以d为原点,da,dc所在直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系如图.设m(x,y,0),设正方形边长为a,则p,c(0,a,0),则mc=,mp=由mp=mc,得x=2y,所以点m在正方形abcd内的轨迹为直线y=x的一部分.10.(1)证明 由已知可得afdf,affe,所以af平面

10、efdc.又af平面abef,故平面abef平面efdc.(2)解 过d作dgef,垂足为g,由(1)知dg平面abef.以g为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系gxyz.由(1)知dfe为二面角d-af-e的平面角,故dfe=60°,则df=2,dg=,可得a(1,4,0),b(-3,4,0),e(-3,0,0),d(0,0,).由已知,abef,所以ab平面efdc.又平面abcd平面efdc=cd,故abcd,cdef.由beaf,可得be平面efdc,所以cef为二面角c-be-f的平面角,cef=60°.从而可得c(-2,0,)

11、.所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,0),设n=(x,y,z)是平面bce的法向量,则所以可取n=(3,0,-).设m是平面abcd的法向量,则同理可取m=(0,4),则cos<n,m>=-故二面角e-bc-a的余弦值为-11.b解析 以d点为坐标原点,以da,dc,dd1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体棱长为1,则a1(1,0,1),d(0,0,0),a(1,0,0),c(0,1,0),e,f,b(1,1,0),d1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=(-1,-1,1),=-=0,从

12、而efbd1,efa1d,efac.故选b.12.b解析 以d为坐标原点,da,dc,dd1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设dc=da=dd1=1,则d(0,0,0),b(1,1,0),a1(1,0,1),o,并设点p(0,1,t)且0t1.则=(-1,0,-1),=(0,1,-1).设平面a1bd的法向量为n=(x0,y0,z0),则有即取x0=1,y0=-1,z0=-1,n=(1,-1,-1).sin =|cos<,n>|=(0t1),sin2=,0t1.令f(t)=,0t1,则f'(t)=-,可知当t时,f'(t)>0

13、;当t时,f'(t)0.又f(0)=,f=1,f(1)=,f(t)max=f=1,f(t)min=f(0)=sin 的最大值为1,最小值为sin 的取值范围为13解析 过c点作co平面abde,垂足为o,取ab中点f,连接cf,of,则cfo为二面角c-ab-d的平面角,设ab=1,则cf=,of=cf·cos cfo=,oc=,则o为正方形abde的中心,建立如图所示的空间直角坐标系oxyz,则e,m,a,n,cos<>=14.(1)证明 因为ab是直径,所以bcac.因为cd平面abc,所以cdbc.因为cdac=c,所以bc平面acd.因为cdbe,cd=b

14、e,所以四边形bcde是平行四边形,所以bcde,所以de平面acd.因为de平面ade,所以平面ade平面acd.(2)解 依题意,eb=ab×taneab=4=1,由(1)知vc-ade=ve-acd=sacd×de=ac×cd×de=ac×bc(ac2+bc2)=ab2=,当且仅当ac=bc=2时等号成立.如图所示,建立空间直角坐标系,则d(0,0,1),e(0,2,1),a(2,0,0),b(0,2,0),则=(-2,2,0),=(0,0,1),=(0,2,0),=(2,0,-1),设平面dae的法向量为n1=(x1,y1,z1),即n

15、1=(1,0,2).设平面abe的法向量为n2=(x2,y2,z2),n2=(1,1,0),cos<n1,n2>=可以判断<n1,n2>与二面角d-ae-b的平面角互补,二面角d-ae-b的余弦值为-15.(1)证明 因为aef是等边三角形,o为ef的中点,所以aoef.又因为平面aef平面efcb,ao平面aef,所以ao平面efcb,所以aobe.(2)解 取bc中点g,连接og.由题设知efcb是等腰梯形,所以ogef.由(1)知ao平面efcb,又og平面efcb,所以oaog.如图建立空间直角坐标系oxyz,则e(a,0,0),a(0,0,a),b(2,(2-a),0)