高考数学二轮专名师讲义：第7讲三角函数的图象与性质含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5专题二 三角函数与平面向量第7讲三角函数的图象与性质 1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数yasin(x)的图象及性质2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查在这一讲复习中要重视解三角函数题的

2、一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等1. 函数y2sin21是最小正周期为_的_(填“奇”或“偶”)函数答案：奇解析：ycossin2x.2. 函数f(x)lgxsinx的零点个数为_答案：3解析：在(0，)内作出函数ylgx、ysinx的图象，即可得到答案3. 函数y2sin(3x)，的一条对称轴为x，则_答案：解析：由已知可得3×k，kz，即k，kz.因为|<，所以.4. 若f(x)2sinx(0<<1)在区间上的最大值是，则_答案：解析：由0x，得0x<，则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin，且0<<，所

3、以，解得.题型二 三角函数定义及应用问题例1 设函数f()sincos，其中角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点p(x，y)，且0.(1) 若点p的坐标是，求f()的值； (2) 若点p(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数f()的最小值和最大值解：(1) 根据三角函数定义得sin，cos， f()2.(本题也可以根据定义及角的范围得角，从而求出 f()2)(2) 在直角坐标系中画出可行域知0，又f()sincos2sin， 当0，f()min1；当，f()max2.(注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调

4、性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为yasin(x)的形式)如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于a、b两点，已知a、b的横坐标分别为、.求：(1) tan()的值；(2) 2的值解：由题意得cos ，cos ，、，所以sin ，sin ，因此tan 7，tan .(1) tan()3.(2) tan(2)tan()1.又2，所以2.题型二 三角函数的图象与解析式问题例2 函数f(x)asin(x)(a、是常数，a>0，>0)的部分图象如图所示(1) 求f(0)的值；(2) 若0<<，求函数f(x)在区间上的取

5、值范围解：(1)由题图可知a， ， 2.又2×2k， 2k(kz)， f(0)sin.(2) ，f(x)sin.因为0x，所以2x，所以0sin1，即f(x)的取值范围为0，(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及yasin(x)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)已知函数f(x)asin xbcos x(a、b、是常数，0)的最小正周期为2，并且当x时，f(x)max2.(1) 求f(x)的解析式；(2) 在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由解：(1) 因为f(x)sin(x)，由它的最小正周期为2，知2，.又当

6、x时，f(x)max2，知2k(kz)，即2k(kz)，所以f(x)2sin2sin(kz)故f(x)的解析式为f(x)2sin.(2) 当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令xk(kz)，解得xk(kz)，由k，解得k.又kz，知k5，由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x.题型三 三角函数的性质与图象的移动问题例3 把函数f(x)sin2x2sinxcosx3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，所得函数的图象关于直线x对称(1) 求m的最小值；(2) 证明：当x时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；(

7、3) 设x1，x2(0，)，x1x2，且f(x1)f(x2)1，求x1x2的值(1) 解：f(x)sin2x2sinxcosx3cos2xsin2x3·cos2xsin2x2cos2.因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，得到g(x)2的图象，又g(x)的图象关于直线x对称，所以2k，即m(kz)因为m>0，所以m的最小值为.(2) 证明：因为x，所以4<2x<，所以f(x)在上是减函数所以当x1、x2，且x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，从而经过任意两点(x1，f(x1)和(x2，f(x2)的直线的斜率k<0.(3)

8、 解：令f(x)1，所以cos.因为x(0，)，所以2x.所以2x或2x，即x或x.因为x1、x2(0，)，x1x2，且f(x1)f(x2)1，所以x1x2已知函数f(x)2sinx，其中常数>0.(1) 若yf(x)在上单调递增，求的取值范围；(2) 令2，将函数yf(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图象，区间a，b(a，br且a<b)满足：yg(x)在a，b上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的a，b中，求ba的最小值解：(1) 因为>0，根据题意有 0<.(2) f(x)2sin2x，g(x)2sin212sin1，g(x)0

9、sinxk或xk，kz, 即g(x)的零点相邻间隔依次为和，故若yg(x)在a，b上至少含有30个零点，则ba的最小值为14×15×. 已知函数f(x)sin(x)cos(x)(0<<，>0)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1) 求f的值；(2) 将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间解：(1) f(x)sin(x)cos(x)22sin.因为f(x)为偶函数，所以对xr，f(x)f(x)恒成立，因此sinsin，即sinxcoscosxsinsinxcos()cosxsin

10、，整理得sinxcos0.因为0，且xr，所以cos0.又0，故.所以f(x)2sin2cosx.由题意得2×，所以2，故f(x)2cos2x，因此f2cos.(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)f2cos2cos.当2k2x2k(kz)，即kxk(kz)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(kz)题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用例4 已知函数f(x)2sin2cos2x1，xr.(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若h(x)f(xt)的图象关于点对称，且t(0，)，求t的值；(3) 当x时，不等式|f(x)m|<3

11、恒成立，求实数m的取值范围解：(1)因为f(x)coscos2x2sin，故f(x)的最小正周期为.(2) h(x)2sin.令2×2tk(kz)，又t(0，)，故t或.(3) 当x时，2x， f(x)1，2又|f(x)m|3，即f(x)3mf(x)3， 23m13，即1m4.已知函数f(x)asin(x)(a>0，>0，|<)，在同一周期内，当x时，f(x)取得最大值3；当x时，f(x)取得最小值3.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 求函数f(x)的单调递减区间；(3) 若x时，函数h(x)2f(x)1m有两个零点，求实数m的取值范围解：(1) 由题意，a3

12、，t2，2.由2×2k得2k，kz.又 <<， ， f(x)3sin.(2) 由2k2x2k，得2k2x2k，即kxk，kz. 函数f(x)的单调递减区间为，kz.(3) 由题意知，方程sin在上有两个根 x， 2x. ， m13，7)1. (20xx·江西卷)设f(x)sin3xcos3x，若对任意实数x都有|f(x)|a，则实数a的取值范围是_答案：a2解析：f(x)sin3xcos3x2sin，|f(x)|2，所以a2.2. (20xx·天津卷)函数f(x)sin在区间上的最小值是_答案：3. (20xx·全国卷)函数ycos(2x)(

13、<)的图象向右平移个单位后，与函数ysin的图象重合，则|_答案：4. (20xx·北京卷)设函数f(x)asin(x)(a、是常数，a>0，>0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_答案：解析：由f(x)在区间上具有单调性，ff知，函数f(x)的对称中心为，函数f(x)的对称轴为直线x，设函数f(x)的最小正周期为t，所以t，即t，所以，解得t.5. (20xx·福建卷)已知函数f(x)cosx(sinxcosx).(1) 若0<<，且sin，求f()的值；(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解：(解

14、法1)(1) 因为0<<，sin，所以cos.所以f(). (2) 因为f(x)sinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2xsin，所以t.由2k2x2k，kz，得kxk，kz.所以f(x)的单调递增区间为，kz.(解法2)f(x)sinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2xsin.(1) 因为0<<，sin，所以.从而f()sinsin.(2) t.由2k2x2k，kz，得kxk，kz.所以f(x)的单调递增区间为，kz.6. (20xx·北京卷)已知函数f(x)(2cos2x1)sin2xcos4x.(1) 求f(x)的最小正周期及

15、最大值；(2) 若，且f()，求的值解：(1) 因为f(x)(2cos2x1)sin2xcos4xcos2xsin2xcos4x(sin4xcos4x)sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2) 因为f()，所以sin1.因为，所以4，所以4，故.(本题模拟高考评分标准，满分14分)设a>0，函数f(x)asinxcosxsinxcosx，x的最大值为g(a) (1) 设tsinxcosx，x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；(2) 求g(a)解：(1) tsinxcosxsin. x， x， sin1， 1t，即t的取值范围为1，(3分)(另解： x， t

16、sinxcosx.由2x0，得0sin2x1， 1t) tsinxcosx， sinxcosx，(5分) m(t)a·tat2ta，t1，a>0.(7分)(2) 由二次函数的图象与性质得： 当<，即a>2(1)时，g(a)m()a； (10分) 当，即0<a2(1)时，g(a)m(1).(13分) g(a)(14分)1. 若x，则函数ytan2xtan3x的最大值为_答案：8解析：令tanxt(1，)，y，y(t)，得t时y取最大值8.2. 已知函数f(x)2cos2xsin2x，求：(1) f的值；(2) f(x)的最大值和最小值解：(1) f2cossin21.(2) f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)3cos2x1，xr.因为cosx1，1，所以当cosx±1时，f(x)取最大值2；当cosx0时，f(x)取最小值1.3. 已知a为abc的内角，求ycos2acos2的取值范围解： ycos2acos2111cos. a为三角形内角， 0a， 1cos1， ycos2acos2的取值范围是，4. 设函数f(x)cos2x4tsincos4t3t23t4，xr，其中|t|1，将