2019北京市西城区高二(下)期末数学

1、2019 北京市西城区高二（下）期末数学2019.7本试卷共5 页，共 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。10 小题，每小题4分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1. 复数 2 的共轭复数是（）1i（A）1 i（B）1 i（C）1 i（D）1 i2. 已知 f （x） cosx ，则 f （ x） （）（A）cosx（B） cosx（C）sinx（D）sin x3. 用 0 ， 1 ， 2， 3， 4， 5 这 6 个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（ ）（A）360（B）300（C）240（D）1804.

2、 曲线 y x3 x 在点 （0,0） 处的切线方程为（）6. 某班级要从4 名男生、2 名女生中选派4 人参加某次社区服务, 要求必须有女生, 那么不同的选派方案种数为（）13 / 118. 设 0 p 1 ，随机变量的分布列为那么，当p 在 (0,1) 内增大时, D( ) 的变化是()012Pp33 2p3p3B)增大A)减小D)先增大后减小C)先减小后增大9. 已知函数f (x) x2 1 ， g(x) ln x，下列说法中正确的是(A)f(x),g(x)在点 (1,0)处有相同的切线B)对于任意x 0 f(x) g(x) 恒成立C)f(x),g(x)的图象有且只有一个交点D)f (x

3、), g(x) 的图象有且只有两个交点10. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献. 在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下图：可以表示的三位数的个数为表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如下67286708如果把 5 根算筹 以适当的方式全部放入 右 面的表格中，那么A) 46B) 44C) 42D) 40二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 .x e11. 已知函数y e ，则 f (1) .x112. 二项式 (2x2 1 ) 6的展开式中的常数项是.

4、(用数字作答)x13. 若复数 z 满足 i z 1 2i ，则 | z| .14. 能说明“若 f (0)=0 ，则 x 0 是函数 y f (x) 极值点”为假命题的一个函数是15. 北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示 .设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X ，则 E16. 容器中有A, B, C 3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B 粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子. 例如，一颗A 粒子和一颗B 粒子发生碰撞则变成一颗C 粒子 .现有 A粒子 10颗， B 粒子8颗，C 粒子 9颗

5、，如果经过各种两两碰撞后，只剩1 颗粒子 . 给出下列结论： 最后一颗粒子可能是A 粒子 最后一颗粒子一定是C 粒子 最后一颗粒子一定不是B 粒子 以上都不正确其中正确结论的序号是. (写出所有正确结论的序号)三、解答题：本大题共6 小题，共80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17(本小题满分13 分)132已知函数f (x) x3 x2 bx，且 f (2)3.3()求b ；()求f (x) 的单调区间.18（本小题满分13 分）某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A 、 B 、 C 三道工序加工而成的，A、 B 、 C 三道工序加工的元件合格率分别为1 、 2 、3 已

6、知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道234工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场（）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；（）若从该工厂生产的这种元件中任意取出3 个元件进行检测，求至少有2 个元件是一等品的概率.19（本小题满分13 分）已知函数f （x） （x a）ex .（）求f （x） 的单调区间；（）求f （x） 在区间 0, 4 上 的最小值.20（本小题满分13 分）某校在学年期末举行“我最喜欢的文化课”评选活动，投票规则是一人一票，高一（ 1 ）班 44 名学生和高一7）班45 名学生的投票结果如下表（无废票）：语文数学外语物理化

7、学生物政治历史地理高一（ 1 ）班697545332高一（ 7）班a6b456523该校把上表的数据作为样本，把两个班同一学科的得票之和定义为该年级该学科的“好感指数”.（）如果数学学科的“好感指数”比高一年级其他文化课都高，求 a 的所有取值；（）从高一（1 ）班投票给政治、历史、地理的学生中任意选取3位同学，设随机变量X 为投票给地理学科的人数，求 X 的分布列和期望；?（结论不要求证明）a 为何值时，高一年级的语文、数学、外语三科的“好感指数”的方差最小21(本小题满分14 分)已知函数f (x) ex a ln x x .()当a 1时，求曲线y f (x) 在点 (1,f (1)处的

8、切线方程；()若f (x)在区间 (0,1) 上存在极值点，求a的取值范围.22(本小题满分14 分)已知函数f (x) ln x a(x 1).x()若a 0，求f (x) 的极值；()若在区间1，上 f (x) 0 恒成立，求a的取值范围；()判断函数f (x) 的零点个数. (直接写出结论)2019 北京市西城区高二(下)期末数学参考答案一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共 40 分 .I. B 2. D 3. B 4. D 5. A 6. A 7. C 8. B 9. D 10. B二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 .II. 012. 6013.51

9、4.f(x) x3 或 f(x) 1 等，答案不唯一15. 3.562516.注： 16 题选对一个正确结论得3分，错选不得分.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分 .17. (本小题满分13 分)解：()由已知f (x) x2 2x b ，3 分所以 f (2) 4 4 b 3 ，所以 b 3.5分()由()知f (x) x2 2x 3，解 f (x) 0 ，得 x 1 或 x 3 ，解 f (x) 0 ，得 1 x 3 .9 分13分所以函数f(x) 的单调递增区间为(, 1)， (3,) ，单调递减区间为( 1,3).18. (本小题满分13 分)解：()不妨设元件经A,B,C 三道

10、工序加工合格的事件分别为A,B,C .123111所以 P(A) , P(B) , P(C) . P(A) , P(B) , P(C) .2 分234234设事件 D 为“生产一个元件，该 元件 为二等品”.由已知 A, B,C 是相互独立事件.根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，6分P(D) P( ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC)(11)2 3 1(1 2) 323423412 (12334)1124所以生产一个元件，该元件 为二等品的概率为11248分元件 为一等品的概率为1231 p.23449分设事件 E 为“任意取出 3 个元件进行检测，至少有

11、2 个元件是一等品”，则P(E) C32(1)2 3 (1)312分444105.64 32所以至少有2 个元件是一等品的概率为5 .13 分3219. (本小题满分13 分)解：()f (x) ex (x a)ex (x a 1)ex .2分f (x) 0 ，解得 x a 1 ；f (x) 0 ，解得 x a 1.所以函数f(x) 的单调减区间为(, a 1)，单调增区间为( a 1,) .4 分当 a 1 4，即 a 5时，f (x) 在 0,4 上单调递减，所以 f (x)min f (4) (a 4)e4. 当 a 1 0 ，即 a 1 时，f (x) 在 0,4 上单调递增，7分所以

12、 f (x)minf (0) a.10分a 7或 a 8.13分17 / 11x(0, a 1)a1( a 1,4)f (x)0f(x)极小值所以 f(x)min f( a 1) ea 1ea1113分综上，当a 5时，f(x)min(a 4)e4；当a 1 时，f(x)mina；当 5 a 1时， f(x)min a 1 e20. （本小题满分13 分）解：（）由已知a b 14 ，所以 b 14 a .1分依题意，9 6 6 a,9 6 7 b,3分966a即 9 6 6 a,9 6 7 (14 a),解得 6 a 9 ，又 a N ，4分所以 a 7， a 8 .是高一（1）班同学中投票

13、给地理学科的人数，所以X 0,1,2.5分P(XC350) C635 ，C83146分P(X1) C62C31215，C83287分P(X2)C16C223288分X012P5153142828C839分5153310分E(X) 012142828 421. (本小题满分14 分)解：()当 a 1 时， f (x) exln x x ， x 0 .所以 f (x) ex1 1 ，2 分x所以 f (1) e 1 ， f (1) e，曲线 y f (x) 在点 (1,f (1)处的切线方程为y (e 1) e(x 1)，整理得ex y 1 0.4 分x()因为f (x) e a ln x x

14、， x 0 .xx a xe x a所以 f (x) e 1，6 分xx依题意，f (x) 在区间 (0,1) 上存在变号零点.7 分x 0，设 g(x) xex x a，所以 g(x)在区间 (0,1) 上存在变号零点.8 分9分12分xg (x) e (x 1) 1 ，所以，当x (0,1)时，ex 1 ， x 1 1 ，所以ex(x 1) 1 ，即 g (x) 0，所以 g(x)在区间 (0,1) 上为单调递增函数，依题意，g(0) 0,g(1) 0,即 a 0,e 1 a 0.13分14分1分解得 0 a e 1所以，若f(x) 在区间 (0,1)上存在极值点，a的取值范围是(0, e

15、 1) .22. (本小题满分14 分)解：()当a 0 时，定义域为 x | x 0 .lnx1 ln x因为 f (x) n x，所以 f (x)n2 x .xx2令 f (x) 0 ，解得 x e ，x(0,e)e(e,)f (x)+0f (x)极大值所以 f (x) 在区间 (0,e) 上单调递增，在区间(e,+)上单调递减.3 分所以 f (x) 有极大值，极大值为f (e) 1 ；没有极小值.4分x 0 ，所以在(1,) 上 f (x) 0 恒成立，即ln x ax2 ax 0 在 (1,)恒成5分设 g(x) ln x ax2 ax.当 a 0时， g(2) ln2 2a 0，不

16、符合题意.7 分当 a 0 时，g(x) 1 2ax a 2ax2 xax 1x8分a 0或 a 119 / 11令 g (x) 0 , 即 2ax2 ax 1 0 ，1. 设两根为因为方程2ax ax 1 0的判别式a 8a 0，两根之积0. 所以 g (x) 0有两个异号根2ax1 ,x2 ，且x1 0 x2 ，9 分i )当x21 时，x(1,x2)x2(x2 ,)g (x)+0g(x)极大值所以 g(x)在区间(1,x2)上单调递增，在区间(x2,+ )上单调递减，所以g(x2) g(1) 0，不符合题意；10分ii )当x2 1 时， g (1) 0，即 a 1 时，g(x) 在 (

17、1,)单调递减，所以当x (1,) 时， g(x) g(1) 0，符合题意.综上， a 1.11 分()当时， f(x) 有 1个零点；当a 0且 a 1 时，函数f(x)有 2个零点 .16 题提示：14分20 / 111 、最后剩下的可能是A粒子10 颗 A粒子两两碰撞，形成5 颗 B粒子；9 颗 C粒子中的8 个两两碰撞，形成4 颗 B粒子；所有的 17 颗 B 粒子两两碰撞，剩下一颗B 粒子；这个 B 粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子。2、最后剩下的可能是C粒子10 颗 A粒子中的9 颗与 9 颗 C粒子两两碰撞，形成9 颗 B粒子；所有的 17 颗 B 粒子两两碰撞，最后剩一颗B 粒子；这个 B 粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子。3、最后剩下的不可能是B 粒子A、 B、 C三种粒子每一次碰撞有以下6 种可能的情况：A 与 A 碰撞，会产生一颗B 粒子，减少两颗A粒子；（B多个，AC共减少两个）B 与 B 碰撞，会产生一颗B 粒子，减少两颗B少个，AC总数不变）C 与 C 碰撞，会产生一颗B 粒子，减少两颗C粒子；（B多个，AC共减少两个）A与 B碰撞，会产生一颗C 粒子，减少A、B 各一颗粒子。（B少个，AC总数不变）A 与 C 碰撞，会产生一颗B 粒子，减少A、C各一颗粒子。（B多个，AC共减少两个）B 与 C 碰撞