数学理一轮教学案：第十章第2讲　双曲线及其性质 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5第2讲双曲线及其性质考纲展示命题探究1双曲线的定义(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两定点间的距离)的动点的轨迹两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距(2)符号语言：|mf1|mf2|2a(2a<|f1f2|)2双曲线的标准方程根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为：(1)当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)(2)当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)3双曲线方程的几种常见设法(1)与双曲线1有共同渐近线的双曲线方程可设为(0)(

2、2)若双曲线的渐近线方程为y±x，则双曲线方程可设为(0)或n2x2m2y2(0)(3)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(b2<k<a2)(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为mx2ny21(mn<0)(5)与椭圆1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为1(b2<<a2)注意点双曲线定义的理解当|mf1|mf2|2a时，曲线仅表示焦点f2所对应的双曲线的一支；当|mf1|mf2|2a时，曲线仅表示焦点f1所对应的双曲线的一支；当2a|f1f2|时，轨迹为分别以f1，f2为端点的两条射线；当2a>|f1f2|时，动点轨迹不存在

3、.1思维辨析(1)平面内到点f1(0,4)，f2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点f1(0,4)，f2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(3)方程1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线()(4)1表示双曲线的充要条件是mn<0.()答案(1)×(2)×(3)×(4)2与椭圆c：1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为()ax21 by22x21c.1 d.x21答案c解析椭圆1的焦点坐标为(0，2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为1(m>0，n>0)，则解得mn2，故选c.3双曲线1上的点

4、p到点(5,0)的距离是6，则点p的坐标是_答案(8，±3)解析f(5,0)为双曲线的右焦点，设p(x，y)，则(x5)2y236，与1，联立解得：x8，y±3.p(8，±3)考法综述高考一般考查双曲线方程的求法和通过方程研究双曲线的性质双曲线的定义的考查主要是利用定义求双曲线的方程，或者是与正余弦定理结合解决焦点三角形问题命题法双曲线的定义和方程典例(1)已知双曲线c：1的焦距为10，点p(2,1)在c的渐近线上，则c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1(2)已知双曲线y21的左、右焦点为f1，f2，点p为左支上一点，且满足f1pf260°，则f1

5、pf2的面积为_解析(1)由2c10，得c5，点p(2,1)在直线yx上，1，即a2b.又a2b225，a220，b25.故双曲线c的方程为1.(2)设|pf1|m，|pf2|n，所以所以mn4，所以sf1pf2mnsin60°.答案(1)a(2)【解题法】双曲线标准方程的求法(1)一般步骤判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能设：根据中判断设出所需的未知数或者标准方程列：根据题意列关于a，b，c的方程或者方程组解：求解得到方程(2)常见问题形式如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确

6、定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的一般方程mx2ny21(mn<0)1下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y±2x的是()ax21 b.y21c.x21 dy21答案c解析双曲线1和1的渐近线方程分别为0和0.a、b选项中双曲线的焦点在x轴上，c、d选项中双曲线的焦点在y轴上，又令x20，得y±2x，令y20，得y±x，故

7、选c.2已知双曲线c：1的离心率e，且其右焦点为f2(5,0)，则双曲线c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案c解析由题意得e ，又右焦点为f2(5,0)，a2b2c2，所以a216，b29，故双曲线c的方程为1.3.已知双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案d解析由题意可得，c，又c27a2b2，解得a24，b23，故双曲线的方程为1.4.已知双曲线c的离心率为2，焦点为f1，f2，点a在c上若|f1a|2|f2a|，则cosaf2f1()a. b.c. d.答案

8、a解析双曲线的离心率为2，2，abc12.又|af1|4a，|af2|2a，|f1f2|2c4a，cosaf2f1，选a.5设双曲线c经过点(2,2)，且与x21具有相同渐近线，则c的方程为_；渐近线方程为_答案1y±2x解析双曲线x21的渐近线方程为y±2x.设与双曲线x21有共同渐近线的方程为x2(0)，又(2,2)在双曲线上，故22，解得3.故所求双曲线方程为x23，即1.所求双曲线的渐近线方程为y±2x.6如图所示，已知双曲线以长方形abcd的顶点a，b为左、右焦点，且双曲线过c，d两顶点若ab4，bc3，则此双曲线的标准方程为_答案x21解析设双曲线的标

9、准方程为1(a>0，b>0)由题意得b(2,0)，c(2,3)，解得双曲线的标准方程为x21.7已知双曲线的渐近线方程为2x±3y0，且焦距是2，则双曲线方程为_答案1或1解析设双曲线方程为(0)若>0，则a29，b24，c2a2b213.由题设知2c2，1，故所求双曲线方程为1；若<0，则a24，b29，c2a2b213.由2c2，1，故所求双曲线方程为1.综上，所求双曲线方程为1或1.1双曲线的几何性质标准方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)图形性质范围xa或xa，yrxr，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点

10、顶点坐标：a1(a,0)，a2(a,0)顶点坐标：a1(0，a)，a2(0，a)渐近线y±xy±x离心率e，e(1，)，其中c轴线段a1a2叫做双曲线的实轴，它的长|a1a2|2a；线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长|b1b2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长2等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2y2(0)(2)等轴双曲线离心率e两条渐近线y±x相互垂直3点p(x0，y0)和双曲线1(a>0，b>0)的关系(1)p在双曲线内(含焦点部分)>1；(2)p在双曲线上1

11、；(3)p在双曲线外(不含焦点部分)<1.注意点双曲线的离心率与曲线开口大小的关系离心率e的取值范围：e>1，当e越接近于1时，双曲线开口越小；e越接近于时，双曲线开口越大.1思维辨析(1)双曲线方程(m>0，n>0，0)的渐近线方程是0，即±0.()(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(3)若双曲线1(a>0，b>0)与1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)()(4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是k±.()答案(1)(2)(3)(4)×2在平面直角

12、坐标系xoy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x2y0，则它的离心率为()a. b.c. d2答案a解析依题意设双曲线的方程是1(其中a>0，b>0)，则其渐近线方程是y±x，由题知，即b2a，因此其离心率e.3以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为_答案y±x解析椭圆1的焦点坐标为(1,0)，(1,0)，顶点坐标为(2,0)，(2,0)则双曲线的顶点为(1,0)，(1,0)，焦点为(2,0)，(2,0)则双曲线的标准方程为：x21.其渐近线为y±x.考法综述高考对于双曲线的几何性质的考查以理解和运用为主，双曲线独有

13、的渐近线是高频考点，常与其他圆锥曲线综合考查，难度较大命题法双曲线的几何性质典例(1)已知f1、f2分别是双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点f2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点m，若点m在以线段f1f2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()a(1，) b(，)c(，2) d(2，)(2)过双曲线1(a>0，b>0)的左焦点f作圆o：x2y2a2的两条切线，切点为a，b，双曲线左顶点为c，若acb120°，则双曲线的渐近线方程为()ay±x by±xcy±x dy±x解析(1) 如图所

14、示，过点f2(c,0)且与渐近线yx平行的直线为y(xc)，与另一条渐近线yx联立得解得即点m.|om| .点m在以线段f1f2为直径的圆外，|om|>c，即 >c，得 >2.双曲线离心率e >2.故双曲线离心率的取值范围是(2，)故选d.(2)如图所示，设双曲线1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则c(a，0)，f(c,0)由双曲线和圆的对称性知，点a与点b关于x轴对称，则acobcoacb×120°60°.|oa|oc|a，aco为等边三角形，aoc60°.fa切圆o于点a，oafa，在rtaof中，

15、afo90°aof90°60°30°，|of|2|oa|，即c2a，ba，故双曲线1(a>0，b>0)的渐近线方程为y±x，即y±x.答案(1)d(2)a【解题法】求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围(2)求渐近线时，利用c2a2b2转化为关于a，b的方程或不等式双曲线渐近线的斜率与离心率的关系1已知a，b为双曲线e的左，右顶点，点m在e

16、上，abm为等腰三角形，且顶角为120°，则e的离心率为()a. b2c. d.答案d解析设双曲线方程为1(a>0，b>0)，不妨设点m在双曲线的右支上，如图，abbm2a，mba120°，作mhx轴于h，则mbh60°，bha，mha，所以m(2a，a)将点m的坐标代入双曲线方程1，得ab，所以e.故选d.2.若双曲线e：1的左、右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线e上，且|pf1|3，则|pf2|等于()a11 b9c5 d3答案b解析解法一：依题意知，点p在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|pf2|pf1|2×36，所以|pf2|6

17、39，故选b.解法二：根据双曲线的定义，得|pf2|pf1|2×36，所以|pf2|3|6，所以|pf2|9或|pf2|3(舍去)，故选b.3将离心率为e1的双曲线c1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线c2，则()a对任意的a，b，e1>e2b当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2c对任意的a，b，e1<e2d当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2答案d解析依题意，e1，e2.因为，由于m>0，a>0，b>0，且ab，所以当a>

18、;b时，0<<1,0<<1，<，2<2，所以e1<e2；当a<b时，>1，>1，而>，所以2>2，所以e1>e2.所以当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2，故选d.4过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于a，b两点，则|ab|()a. b2c6 d4答案d解析由双曲线的标准方程x21得，右焦点f(2,0)，两条渐近线方程为y±x，直线ab：x2，所以不妨取a(2，2)，b(2，2)，则|ab|4，选d.5.已知f为双曲线c：x2my23m(m&g

19、t;0)的一个焦点，则点f到c的一条渐近线的距离为()a. b3c.m d3m答案a解析由题意，可得双曲线c为1，则双曲线的半焦距c.不妨取右焦点(，0)，其渐近线方程为y± x，即x±y0.所以由点到直线的距离公式得d.故选a.6若实数k满足0<k<9，则曲线1与曲线1的()a焦距相等 b实半轴长相等c虚半轴长相等 d离心率相等答案a解析因为0<k<9，所以方程1与1均表示焦点在x轴上的双曲线双曲线1中，其实轴长为10，虚轴长为2，焦距为22；双曲线1中，其实轴长为2，虚轴长为6，焦距为22.因此两曲线的焦距相等，故选a.7已知a>b>

20、0，椭圆c1的方程为1，双曲线c2的方程为1，c1与c2的离心率之积为，则c2的渐近线方程为()ax±y0 b.x±y0cx±2y0 d2x±y0答案a解析由题意，知椭圆c1的离心率e1，双曲线c2的离心率为e2.因为e1·e2，所以，即，整理可得ab.又双曲线c2的渐近线方程为bx±ay0，所以bx±by0，即x±y0.8.设f1，f2分别为双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点p使得|pf1|pf2|3b，|pf1|·|pf2|ab，则该双曲线的离心率为()a. b.c.

21、 d3答案b解析根据双曲线的定义|pf1|pf2|2a，可得|pf1|22|pf1|pf2|pf2|24a2.而由已知可得|pf1|22|pf1|pf2|pf2|29b2，两式作差可得4|pf1|pf2|4a29b2.又|pf1|pf2|ab，所以有4a29ab9b20，即(4a3b)(a3b)0，得4a3b，平方得16a29b2，即16a29(c2a2)，即25a29c2，所以e，故选b.9点p在双曲线1(a>0，b>0)上，f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，f1pf290°，且f1pf2的三条边长之比为345.则双曲线的渐近线方程是()ay±2x by&#

22、177;4xcy±2x dy±2x答案d解析设f1pf2的三条边长为|pf1|3m，|pf2|4m，|f1f2|5m，m>0，则2a|pf2|pf1|m,2c|f1f2|5m，所以bm，所以2，所以双曲线的渐近线方程是y±2x.10设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为f1，f2，以f1f2为直径的圆交双曲线于a、b、c、d四点，则|f1a|f1b|f1c|f1d|()a4 b2c. d.答案a解析依题意，设题中的双曲线方程是x2y21，不妨设点a、b、c、d依次位于第一、二、三、四象限，则有，由此解得|af1|1，|af2|1，同理|df1|af1|1，|cf1

23、|bf1|af2|1，|af1|bf1|cf1|df1|4，选a.11已知点p是双曲线1(a>0，b>0)右支上一点，f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，i为pf1f2的内心，若sipf1sipf2sif1f2成立，则双曲线的离心率为()a4 b.c2 d.答案c解析设c，pf1f2的内切圆的半径为r，则|pf1|pf2|2a，|f1f2|2c，sipf1|pf1|·r，sipf2|pf2|·r，sif1f2|f1f2|·r.由sipf1sipf2sif1f2，得(|pf1|pf2|)r×|f1f2|·r，c2a.双曲线的离心率为e

24、2.12设f是双曲线c：1的一个焦点若c上存在点p，使线段pf的中点恰为其虚轴的一个端点，则c的离心率为_答案解析由已知不妨设f(c,0)，虚轴的一个端点为b(0，b)，b恰为线段pf的中点，故p(c,2b)，代入双曲线方程，由1得5，即e25，又e>1，故e.13已知双曲线y21(a>0)的一条渐近线为xy0，则a_.答案解析因为双曲线y21(a>0)的一条渐近线为yx，即y±x，所以，故a.14设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点a，b.若点p(m,0)满足|pa|pb|，则该双曲线的离心率是_答案解析由得a，由

25、得b，则线段ab的中点为m.由题意得pmab，kpm3，得a24b24c24a2，故e2，e.15设f1，f2是双曲线c：1(a>0，b>0)的两个焦点，p是c上一点若|pf1|pf2|6a，且pf1f2的最小内角为30°，则c的离心率为_答案解析不妨设点p在双曲线c的右支上，由双曲线定义知|pf1|pf2|2a，又因为|pf1|pf2|6a，所以|pf1|4a，|pf2|2a，因为|pf1|>|pf2|，所以pf1f2为最小内角，因此pf1f230°，在pf1f2中，由余弦定理可知，|pf2|2|pf1|2|f1f2|22|pf1|·|f1f2

26、|·cos30°，即4a216a24c28ac，所以c22ac3a20，两边同除以a2，得e22e30，解得e.16已知双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线的右支上，且|pf1|4|pf2|，则双曲线的离心率e的最大值为_答案解析设f1pf2，由得由余弦定理得cose2.(0，cos1,1)，1e2<1，又e>1，1<e.已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与圆c1及圆c2外切，求动圆圆心m的轨迹方程错解错因分析在解答本题时，容易因错误运用双曲线的定义而出错本题中，|mc2|mc1|

27、2，与双曲线的定义相比，等式左边少了外层绝对值，因此只能表示双曲线的一支，如果不注意这一点，就会得出点m的轨迹方程为x21这一错误结果正解如图所示，设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b两点连接mc1，mc2.根据两圆外切的条件，得|mc1|ac1|ma|，|mc2|bc2|mb|.因为|ma|mb|，所以|mc1|ac1|mc2|bc2|，即|mc2|mc1|bc2|ac1|312.所以点m到两定点c1，c2的距离的差是常数又根据双曲线的定义，得动点m的轨迹为双曲线的左支(点m与c2的距离比与c1的距离大)，可设轨迹方程为1(a>0，b>0，x<0)，其中a1，c3，则b

28、28.故点m的轨迹方程为x21(x<0)心得体会时间：60分钟基础组1.20xx·武邑中学模拟已知双曲线1的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()a5x21 b.1c.1 d5x21答案d解析抛物线的焦点为f(1,0)，c1.又，a，b2c2a21.故所求方程为5x21，故选d.220xx·枣强中学一轮检测“m<8”是“方程1表示双曲线”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案a解析方程1表示双曲线，则(m8)(m10)>0，解得m<8或m>10，故“m<

29、8”是“方程1表示双曲线”的充分不必要条件，故选a.3. 20xx·衡水中学周测已知点m(3,0)、n(3,0)、b(1,0)，动圆c与直线mn相切于点b，分别过点m、n且与圆c相切的两条直线相交于点p，则点p的轨迹方程为()ax21(x>1) bx21(x>0)cx21(x>0) dx21(x>1)答案a解析如图所示，设两切线分别与圆相切于点s、t，则|pm|pn|(|ps|sm|)(|pt|tn|)|sm|tn|bm|bn|22a，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a1，c3，所以b28，故点p的轨迹方程为x21(x>1)420xx

30、3;冀州中学月考以正三角形abc的顶点a，b为焦点的双曲线恰好平分边ac，bc，则双曲线的离心率为()a.1 b2c.1 d2答案c解析如图，设|ab|2c，显然|ad|c，|bd|c，即(1)c2a，e1，选c.520xx·武邑中学周测已知双曲线1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为()ay±x by±xcy±2x dy±x答案a解析由题意得，双曲线的离心率e，故，故双曲线的渐近线方程为y±x，选a.6. 20xx·衡水中学月考已知双曲线c：1(a>0，b>0)的焦距为2，抛物线yx

31、21与双曲线c的渐近线相切，则双曲线c的方程为()a.1 b.1cx21 d.y21答案d解析由对称性，取一条渐近线yx即可，把yx代入yx21，得x2x10，由题意得4××10，即a24b2，又c，c2a2b25b25，b21，a24，选d.720xx·枣强中学猜题已知双曲线1(a>0，b>0)的左焦点为f1，左、右顶点分别为a1、a2，p为双曲线上任意一点，则分别以线段pf1，a1a2为直径的两个圆的位置关系为()a相交 b相切c相离 d以上情况都有可能答案b解析设以线段pf1，a1a2为直径的两圆的半径分别为r1，r2，若p在双曲线左支，如图所示

32、，则|o2o1|pf2|(|pf1|2a)|pf1|ar1r2，即圆心距为半径之和，两圆外切，若p在双曲线右支，同理求得|o2o1|r1r2，故此时，两圆相内切，综上，两圆相切，故选b.820xx·衡水中学期中已知f1，f2为双曲线c：x2y22的左、右焦点，点p在c上，|pf1|2|pf2|，则cosf1pf2()a. b.c. d.答案c解析由题意可知ab，c2.|pf1|2|pf2|，又|pf1|pf2|2，|pf1|4，|pf2|2，|f1f2|4.由余弦定理得cosf1pf2，故选c.920xx·武邑中学期中设f1，f2是双曲线x21的两个焦点，p是双曲线上的一点

33、，且3|pf1|4|pf2|，则pf1f2的面积等于()a4 b8c24 d48答案c解析双曲线的实轴长为2，焦距为|f1f2|2×510.据题意和双曲线的定义知，2|pf1|pf2|pf2|pf2|pf2|，|pf2|6，|pf1|8.|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，pf1pf2，spf1f2|pf1|·|pf2|×6×824，故选c.1020xx·衡水中学期末已知f1，f2是双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点p与点f2关于直线yx对称，则该双曲线的离心率为()a. b.c. d2答案b解析由题

34、意可知渐近线为pf2的中垂线，设m为pf2的中点，所以ompf2.tanmof2，因为of2c，所以mf2b，oma.因此pf22b，pf12a，又因为pf2pf12a，所以b2a，则c2a2b25a2，即ca，故e.1120xx·冀州中学期末若双曲线1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为_答案解析双曲线的一条渐近线方程为bxay0，一个焦点坐标为(c,0)根据题意：×2c，所以c2b，ab，所以e.1220xx·衡水中学预测双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为f1和f2，左、右顶点分别为a1和a2，过焦点f2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为p，若|是|和|的等比中项，则该双曲线的离心率为_答案解析由题意可知|2|×|，即2(ac)22c(ac)，又c2a2b2，则a2b2，所以e.能力组13.20xx·枣强中学热身双曲线c：1(a>0，b>0