北师大版高三数学理复习学案：学案72 数系的扩充与复数的引入含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5学案72数系的扩充与复数的引入导学目标： 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义自主梳理1数系的扩充数系扩充的脉络是：_，用集合符号表示为_，实际上前者是后者的真子集2复数的有关概念(1)复数的概念形如abi (a，br)的数叫复数，其中a，b分别是它的_和_若_，则abi为实数，若_，则abi为虚数，若_，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdi_(a，b，c，dr)(3)共轭复数：abi与cdi共轭_(a，b，c，dr)(4)

2、复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面_叫做实轴，_叫做虚轴实轴上的点表示_；除原点外，虚轴上的点都表示_；各象限内的点都表示_复数集c和复平面内_组成的集合是一一对应的，复数集c与复平面内所有以_为起点的向量组成的集合也是一一对应的(5)复数的模向量的模r叫做复数zabi的模，记作_或_，即|z|abi|_.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，则加法：z1z2(abi)(cdi)_；减法：z1z2(abi)(cdi)_；乘法：z1·z2(abi)·(cdi)_；除法：_(cdi0)(2)复数加法的运算定律复

3、数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3c，有z1z2_，(z1z2)z3_.自我检测1(20xx·山东)复数z(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限2(20xx·广东)设复数z满足(1i)z2，其中i为虚数单位，则z等于()a1i b1ic22i d22i3(20xx·大纲全国)复数z1i，为z的共轭复数，则zz1等于()a2i bici d2i4(20xx·重庆)复数等于()ai bic.i d.i5(20xx·江苏)设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是

4、_.探究点一复数的基本概念例1设mr，复数z(2i)m23(1i)m2(1i)(1)若z为实数，则m_；(2)若z为纯虚数，则m_.变式迁移1已知复数z(a25a6)i (ar)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数探究点二复数的四则运算例2(20xx·全国)复数2等于()a34i b34i c34i d34i变式迁移2计算：(1)；(2)；(3).例3(20xx·唐山模拟)计算：2 012.变式迁移3(1)(20xx·四川)i是虚数单位，计算ii2i3等于()a1 b1 ci di(2)(20xx·福建)i是虚数单位

5、，()4等于()ai bi c1 d1(3)i是虚数单位，等于()ai bi c1 d1探究点三复数的点坐标表示例4如图所示，平行四边形oabc，顶点o，a，c分别表示0，32i，24i，试求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)求b点对应的复数变式迁移4(20xx·江苏苏北四市期末)复数z134i，z20，z3c(2c6)i在复平面内对应的点分别为a，b，c，若bac是钝角，则实数c的取值范围为_2乘法法则：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法法则：i(cdi0)特别地：(a±bi)2a2±2abib2a2b2

6、77;2abi，(abi)(abi)a2b2.3进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程：(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30 (nn)；(2)(1i)22i，(1i)22i，i，i.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(20xx·江西)若z，则复数等于()a2i b2ic2i d2i2(20xx·北京)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为a，b.若c为线段ab的中点，则点c对应的复数是()a48i b82ic24i d4i3(20xx·平顶山调研)若(，)，则复数(cos sin )(sin

7、cos )i在复平面内所对应的点在()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限4(20xx·课标全国)复数的共轭复数是()ai b.ici di5下面四个命题：0比i大；两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；xyi1i的充要条件为xy1；如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应其中正确命题的个数是()a0 b1 c2 d3二、填空题(每小题4分，共12分)6已知z12i，z213i，则复数的虚部为_7已知复数z1m2i，z234i，若为实数，则实数m_.8(20xx·上海九校联考)复数zxyi (x，yr)满足|z1|x，则复数z对应的点z(x，y)的轨

8、迹方程为_三、解答题(共38分)9(12分)已知|z|z12i，求复数z.10(12分)(20xx·上海)已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.11(14分)已知mr，复数z(m22m3)i，当m为何值时，(1)zr；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线xy30上学案72数系的扩充与复数的引入自主梳理1自然数系有理数系实数系nqr2.(1)实部虚部b0b0a0且b0(2)ac，bd(3)ac，bd(4)x轴y轴实数纯虚数非纯虚数所有的点原点o(5)|z|abi|3(1)

9、(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i(2)z2z1z1(z2z3)自我检测1dzi，复数z对应的点的坐标为(，)，在第四象限2b方法一设zxyi，则(1i)(xyi)xy(xy)i2，故应有解得故z1i.方法二z1i.3bz1i，1i，z·|z|22，z·z12(1i)1i.4ci.51解析设zabi(a、br)，由i(z1)32i，得b(a1)i32i，a12，a1.课堂活动区例1解题导引根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m值利用概念解题时，要看准实部与虚部(1)1或2(2)解析z(2m23m2)(m23m2

10、)i.(1)若z为实数，则m23m20.m1或2.(2)若z为纯虚数，则解得m.变式迁移1解(1)当z为实数时，则有，a6，即a6时，z为实数(2)当z为虚数时，则有a25a60且a210，a1且a6且a±1.a±1且a6.当a(，1)(1,1)(1,6)(6，)时，z为虚数(3)当z为纯虚数时，有，.不存在实数a使z为纯虚数例2解题导引复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(abi)2a22abib2与(ab)2a22abb2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母

11、的共轭复数)，此时要注意区分(abi)(abi)a2b2与(ab)·(ab)a2b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误a222(12i)234i.变式迁移2解(1)13i.(2)i.(3)i.例3解题导引注意in (nn)的周期性，i4k1i，i4k21，i4k3i，i4k1 (其中kn)，以及(1i)22i，(1i)22i，i，i等运算结果在解题中的应用，运算的最后结果化为abi (a，br)的形式解原式1 0061 0060i(i)1 006ii2i11i.变式迁移3(1)a(2)c(3)d解析(1)ii2i3i(1)(i)1.(2)()4()22()21.(3)

12、1.例4解题导引根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可解(1)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，表示的复数为(32i)(24i)16i，即b点对应的复数为16i.变式迁移4c>且c9解析在复平面内三点坐标分别为a(3,4)，b(0,0)，c(c，2c6)，由bac是钝角得·<0且b、a、c不共线，由(3，4)·(c3,2c10)<0，解得c>，其中当c9时，(6,8)2，三点共线，故

13、c9.课后练习区1dz2i，2i.2c复数65i对应a点的坐标为(6,5)，23i对应b点的坐标为(2,3)由中点坐标公式知c点坐标为(2,4)，点c对应的复数为24i.3b由三角函数线知识得当(，)时，sin cos <0，sin cos >0，故选b.4c方法一i，的共轭复数为i.方法二i.的共轭复数为i.5a(1)中实数与虚数不能比较大小；(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；(3)xyi1i的充要条件为xy1是错误的，因为没有标明x，y是否是实数；(4)当a0时，没有纯虚数和它对应61解析i，故虚部为1.7解析是实数，64m0，故m.8y22x1解析由|z1|x得|(x1)yi|x，故(x1)2y2x2，x0，整理得y22x1.9解设zabi (a、br)，则(abi)12i.(5分)由两复数相等的充要条件得解得.(10分)所以所求复数为z2i.(12分)10解(z12)(1i)1iz12i.(4分)设z2a2i，ar，则z1·z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1·z2r，a4.z242i.(12分)11解(1)当z为实数时，则有m22m30且m10得