【跨越一本线】高三数学问题：3.4与向量、数列等相结合的三角问题含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5高三数学跨越一本线精品问题四：与向量、数列等相结合的三角问题在知识点的交汇处命题,是当前高考的热点,三角函数即是基本的函数,也是解决数学问题的有效工具,在代数与几何中有着广泛的应用.本文拟从其中较为多见的与向量、数列等相结合的三角问题说起一、三角与向量的交汇现行高中数学教材中,向量是继函数之后的一条主线,贯穿整个高中数学教学,也在各种问题的解决中起着广泛的作用.而向量与三角知识的交汇,通常题目以三角函数为主体,但条件中涉及一些向量知识,如向量的坐标中包含三角表达式,然后给出向量之间的平行、垂直关系,或者用向量的数量积表示函数等等,这种情况在当前的试题中还很常见

2、.【例1】【20xx辽宁盘锦市高三11月月考】已知的面积满足,且,（1）若,求的取值范围；（2）求函数的最大值【分析】（1）由已知数量积可得,代入,可得,从而求出的范围,再由向量模的公式可得,从而求得答案；（2）化简函数,令,然后利用配方法求得函数的最大值【解析】（1）由,得,所以,而,所以,因为,所以,所以【点评】(1)平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题(2)求与三角函数有关的最值常用方法有以下几

3、种：化成的形式利用配方法求最值；形如的可化为的形式性求最值；型,可化为求最值；形如可设换元后利用配方法求最值.本题是利用方法的思路解答的.【小试牛刀】【20xx湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】已知向量,函数若,求的最小值及对应的的值；若,求的值.【答案】（）时,；（）【解析】 ,即时, ,即,得 , , 【例2】在abc中,角a,b,c的对边分别是a,b,c,若,则abc最小角的正弦值等于( )a. b. c. d.【分析】三角形中的向量问题,通常先选基底,然后利用向量相等的充要条件转化为相应的数量关系即可.【解析】 ,与不共线,abc最小角为角a,所以,故选c.【答案】c【点评】本题中,

4、三角形三边所在的向量两两不共线,当化为两个不共线向量之和为零向量,则隐藏着他们的“系数同时为0”的条件,从而可得到三边的关系.【小试牛刀】【20xx山西大学附中高三第二次模拟测试】在直角梯形分别为的中点,点在以为圆心,为半径的圆弧上变动（如图所示）若,其中,则的取值_【答案】【点评】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决二、三角

5、与数列的交汇数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问题,主要题型有两大类：一是在解三角形中,一些条件用数列语言给出,常见的如三角形三内角a,b,c成等差数列；三边a,b,c成等比数列等,二是数列通项种含有三角函数,我们可以借助三角函数的周期性求和. 【例3】设的内角的对边分别为,且成等比数列,则角的取值范围是( )a b c d 【分析】利用成等比数列,得,再利用余弦定理,将边与角联系,最后用基本不等式求出cos的范围.【解析】由成等比数列,得,所以,由于b是的内角,所以的取值范围是 故选c.【点评】“成等比数列”是为了给出“”这一条件,所以,解题的重点是如何利用这个条件将边与角的关系联系起来.

6、【小试牛刀】abc的内角所对的边分别为.(1)若成等差数列,证明：；(2)若成等比数列,求的最小值.【解析】(1)a,b,c成等差数列ac2b由正弦定理得sinasinc2sinbsinbsinsin(ac)sinasinc2sin(ac)(2)a,b,c成等比数列b2ac由余弦定理得a2c22ac(当且仅当ac时等号成立)(当且仅当ac时等号成立)(当且仅当ac时等号成立)即所以cosb的最小值为.【点评】边的等差关系,通常利用正弦定理转化,而边的等比关系,则利用余弦定理找边角关系.【例4】【20xx河南八市重点高中上学期第三次测评】设公比为正数的等比数列的前项和为,已知,数列满足.（1）求

7、数列和的通项公式；（2）若数列满足,为数列的前项和,求证：对任意.【分析】(1)用基本量法,即用与表示条件,列出方程组,解出即可求数列的通项公式,由可求数列的通项公式；(2)先求,从而写出,由当时,放缩可得,令,利用错位相减法求出即可.【解析】（1）设的公比为,则有,解得,则.即数列和的通项公式为 （2）证明：,易知当时,有成立,令 则 -得,从而,即 【点评】与求和有关数列不等式的证明,通常是把数列放缩成可以求和的数列,比如等差数列、等比数列、可以裂项求和的数列.【小试牛刀】【河南省中原名校高三上学期第一次联考】已知是等差数列的前项和,且,（1）求数列的通项公式；（2）设,是数列的前项和,求

8、的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由于数列是等差数列,由,得,解得,（2）数列的通项公式为,数列周期为6的周期数列,前6项分别为,三、三角与其他知识点的交汇【例5】在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数,)(1)写出直线的直角坐标方程；(2)求直线与曲线的交点的直角坐标.【分析】利用cosx,siny将极坐标转化为直角坐标,同时将参数方程消去参数化为普通方程,本题不难求解.【点评】极坐标本身就是利用三角函数思想建立,而圆和椭圆的参数方程也是利用三角函数中的同角关系式进行代换,所以,这两个知识点与三角函数的关系非常密切.【小

9、试牛刀】已知椭圆：与x正半轴、y正半轴的交点分别为,动点是椭圆上任一点,求面积的最大值.【分析】先求顶点坐标,再求直线方程,根据椭圆的参数方程表示出点的坐标,然后再求点到直线的距离,表示出面积,然后求最值 【解析】依题意,直线：,即设点的坐标为,则点到直线的距离是,当时, 所以面积的最大值是 【点评】与椭圆上点有关的范围或者最值问题,用参数方程进行三角代换后,可以利用正余弦的有界性求范围或者最值.【例6】已知：复数,且,其中、为abc的内角,、为角、所对的边(1)求角的大小；(2)若,求abc的面积.【分析】(1)先利用复数相等得出三角形的边角关系,再利用正弦定理将边转化为角,利用三角关系求角

10、b;(2)利用余弦定理求出有关的关系,再利用三角形的面积公式进行求解 .【点评】本题其实就是利用复数相等建立两个边角关系,而复数与三角函数也有密切关系,只是现行教材的范围限制,对复数的三角形式暂不作要求,但应该注意与其相关的试题出现.总体来看,三角函数可能交汇的知识点众多,相应的考点、解题思想方法也就千变万化,我们在解决这类问题时,既要考虑三角函数方面的方法,也要关注其他知识点的思想,有时候两者结合起来还可能出现一些巧妙的思路,如数形结合、参数思想等,这对于我们解决进一步问题都将会有很好的启迪.迁移运用1.【20xx山西省孝义市高三上学期二轮模考】已知为等差数列,若,则（ ）a b c d【答

11、案】a【解析】由,得,所以,故选a2.【20xx河北省冀州中学高三上学期第二次阶段考试】已知向量,若,则（ ）a b c. d【答案】b【解析】,所以所以3.已知a,b,c,d是函数ysin(x)一个周期内的图象上的四个点,如图所示,a,b为y轴上的点,c为图象上的最低点,e为该函数图象的一个对称中心,b与d关于点e对称,在x轴上的投影为,则,的值为()a2,b2,c,d,【答案】a【解析】由e为该函数图象的一个对称中心,作点c的对称点为m,作mfx轴,垂足为f,如图b与d关于点e对称,在x轴上的投影为,知of.又a,所以af,所以2.同时函数ysin(x)图象可以看作是由ysin x的图象向

12、左平移得到,故可知,即.4.【20xx河北武邑中学高三上学四调】向量,若是实数,且,则的最小值为（ ）abcd【答案】c5【辽宁省沈阳市二中高三上学期期中】在abc中,分别为a,b,c的对边,且,若向量和平行,且sinb,当abc的面积为时,则b（ ）a b2 c4 d2【答案】b【解析】,所以,即,所以,又因为,所以解为锐角,所以有由余弦定理得,解之得,故选b6【湖南省长沙明德中学高三上第三次月考】已知向量,向量,且,则的值是（ ）a b c d 【答案】c【解析】因为,所以由平面向量的数量积的坐标运算可得：,所以,所以,故应选7.部分图象如图,若,等于( )a b c d【答案】d【解析】

13、,8.【浙江省桐乡第一中学等四校高三上学期期中联考】已知an是等比数列,其中是关于的方程的两根,且,则锐角的值为( )a. b. c. d.【答案】c.【解析】等比数列,又是关于的方程的两根,即或(舍去),又锐角,.9.【20xx山西临汾一中等五校高三第三联考】如图,在中,则的值为（ ）a1 b2 c3 d4【答案】c10.直线l：xy0与椭圆y21相交于a、b两点,点c是椭圆上的动点,则abc面积的最大值是_【答案】【解析】由得3x22,x±,a,b,|ab|.设点c(cos ,sin ),则点c到ab的距离d·|sin()|,sabc|ab|·d×&

14、#215;.11.函数ysin(x)在一个周期内的图象如图所示,m、n分别是最高点、最低点,o为坐标原点,且·0,则函数f(x)的最小正周期是_【答案】3【解析】由图象可知,m,n,所以··(xn,1)xn10,解得xn2,所以函数f(x)的最小正周期是2×3.12.【20xx福建厦门一中上学期期中】如图,半径为1的扇形的圆心角为120°,点在上,且,若,则_【答案】13.【河北省正定中学高三上学期期中】等差数列的前项和为,已知,且,则=_【答案】【解析】因为,所以,解之得,所以,所以,所以,故应填14【云南省玉溪市一中高三上学期期中】数列的通

15、项其前项和为,则=_【答案】【解析】,故答案应填：-47015【北京市朝阳区高三上学期期中统一考试】若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是 【答案】【解析】因为函数在区间上单调递增所以在区间恒成立,因为,所以在区间恒成立所以因为,所以所以的取值范围是16【山西省山西大学附中高三10月月考】中,内角的对边分别是,已知成等比数列,且（1）求的值；（2）设,求的值【答案】（1）或；（2）【解析】（1）因为成等比数列,所以,由余弦定理可知：又,所以,且,解得于是（2）因为,所以,所以,又,于是【另解】由得,由可得,即由余弦定理 得 17.已知向量a,b(cosx,1)(1)当ab时,求cos2xs

16、in2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)·b,已知在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c.若a,b2,sinb,求f(x)4cos的取值范围【解析】(1)因为ab,所以cosxsinx0,所以tanx.cos2xsin2x.(2)f(x)2(ab)·bsin.由正弦定理,得sina,所以a,或a.因为ba,所以a.f(x)4cossin,因为x,所以2x,1f(x)4cos.所求范围是.18.【20xx浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】已知函数（,是常数）图象上的一个最高点为,与其相邻的最低点是（1）求函数的解析式及其对称中心；（2）在中,角,所对的边分别为,且,试求函数的取值范围【答案】（1）,对称中心为,；（2）【解析】（1）,由题意得,周期为,由此得,所以,对称中心为,（2）,19.【20xx江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】在中,角,的对边分别为,（1）若,求的面积；（2）设向量,且,求角的值【答案】(1)；(2).【解析】（1）,又,所以20. 【20xx浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】设向量,其中,为实数（1）若,求的