【四川】高考数学理二轮复习：中档大题规范练立体几何与空间向量及答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5中档大题规范练立体几何与空间向量1 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为vv圆锥v球·(r)2·3rr3r3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是v·(h)2·hh3，由vv，得hr.即容器中水的深度为r.2 如图1所示，正三角形abc的边长为2

2、a，cd是ab边上的高，e，f分别是ac，bc的中点现将abc沿cd翻折，翻折后平面acd平面bcd(如图2)求三棱锥cdef的体积图1图2解过点e作emdc于点m，因为平面acd平面bcd，平面acd平面bcdcd，而em平面acd，所以em平面bcd.即em是三棱锥ecdf的高又cdbd，adcd，f为bc的中点，所以scdfsbcd×cd×bd××aa2，因为e为ac的中点，emcd，所以emada.所以三棱锥cdef的体积为vcdefvecdfscdf×em×a2×aa3.3 如图，在多面体abcdef中，四边形ab

3、cd是正方形，efab，effb，ab2ef，bfc90°，bffc，h为bc的中点(1)求证：fh平面edb；(2)求证：ac平面edb.证明(1)设ac与bd交于点g，则g为ac的中点如图，连接eg、gh，又h为bc的中点，gh綊ab.又ef綊ab，ef綊gh.四边形efhg为平行四边形egfh.又eg平面edb，fh平面edb，fh平面edb.(2)由四边形abcd为正方形，得abbc.又efab，efbc.又effb，bcfbb，ef平面bfc.effh.abfh.又bffc，h为bc的中点，fhbc.fh平面abcd.fhac.又fheg，aceg.又acbd，egbdg，

4、ac平面edb.4 如图所示，已知三棱锥abpc中，appc，acbc，m为ab的中点，d为pb的中点，且pmb为正三角形(1)求证：dm平面apc；(2)求证：平面abc平面apc；(3)若bc4，ab20，求三棱锥dbcm的体积(1)证明由已知，得md是abp的中位线，所以mdap.又md平面apc，ap平面apc，故md平面apc.(2)证明因为pmb为正三角形，d为pb的中点，所以mdpb.所以appb.又appc，pbpcp，所以ap平面pbc.因为bc平面pbc，所以apbc.又bcac，acapa，所以bc平面apc.因为bc平面abc，所以平面abc平面apc.(3)解由题意，

5、可知md平面pbc，所以md是三棱锥dbcm的一条高，所以vdbcmvmdbc×sbcd×md×2×510.5 如图，在底面是矩形的四棱锥pabcd中，pa底面abcd，e，f分别是pc，pd的中点，paab1，bc2.(1)求证：ef平面pab；(2)求证：平面pad平面pdc.证明(1)以a为原点，ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，ap所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1)，e，f分别是pc，pd的中点，e，f，(1,0，1)，(0,2，1)，(0

6、,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)，即efab，又ab平面pab，ef平面pab，ef平面pab.(2)·(0,0,1)·(1,0,0)0，·(0,2,0)·(1,0,0)0，即apdc，addc.又apada，dc平面pad.dc平面pdc，平面pad平面pdc.6 如图，在四棱锥pabcd中，pc底面abcd，abcd是直角梯形，abad，abcd，ab2ad2cd2.e是pb的中点(1)求证：平面eac平面pbc；(2)若二面角pace的余弦值为，求直线pa与平面eac所成角的正弦值(1)证明pc平面abcd，ac平面abcd，acpc，ab2，adcd1，acbc，ac2bc2ab2，acbc，又bcpcc，ac平面pbc，ac平面eac，平面eac平面pbc.(2)解如图，以c为原点，、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(1,1,0)，b(1，1,0)设p(0,0，a)(a0)，则e，(1,1,0)，(0,0，a)，设m(b，p，m)为面pac的法向量，则m·m·0，即，取m(1，1,0)，设n(x，y，z)为面eac的法向量，则n·n·