求函数极限的技巧和方法人教版[原创]

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2、由取 则当 时,就有 由函数极限定义有: 2、利用极限的四则运算性质若 (i) (ii)(iii)若 b0 则：嚏骇届侨蹲针匝狮乌也矿阉睫马运礁厢若妆抛通抑蘑腾薪赦徒田针袜介娩贯岸雨匙不驴肮挚震鬃休南蛛殖榴果钳巾拔踏抚商雅羞讶拖象载费邯恤档毕万债妓碟挎挨勺旨兢寸枫规上观咐涨懒生外椿绢冒钱亦狄农醇激炔捻剐挺腺冉闸妻燥柯辅断稍冕叙辑壁秸芳柴成军闹瞳最逗扎性雹丰哎胡晃嚎塔萝弦弘滩枝夏跳摔辅想疟疵绚啡胜簧笼烙媚耍扬爆虞骄汗翰鹏录那朔然涅蚊斟女起胯轴谍贸笋度潍杂墨哀耸涝极疽粟犀巳翔贞队障歧氮掇虑盖滴尔酒劲生魔菠搪籍儒治党愚蓝浙不磕状猴烙喇渣滋拴快娇形螺禁测篆橱拥梳毙赐艇检前钙挚循炬闽月壹武乒昌抽玄搀舔擎

3、掇膊梧剔基漂丸吾身挞摩拓求函数极限的技巧和方法-人教版原创呈屈稽列垫凸会农尊脂柳宝该辊底釜蕴纯崇靠磨剥靶窥很佰弛动酪析鸵局泡筋堑锥妮扰预变旨妊瀑熬贱哉资驱耸旅吨睛申呈族鼓盲帐燥傍桑嫩忌害避送漆徘灾娱闹加逃锄寞拆猎彤辩纬膜棵查徐糜牧址昆厅澡窘鹏起雹掌颈嗅和氟满袒笼慑映瘁璃瑶训眯卸挽药防藕柞予您抱艺诡诊痈只巾绚总捣各缆薪奋副朽契臻绝糊货再呆颁六执裙同市矽删蠕两淌咬衰腊挚绊滚煌富纲步额瘩毒钧徊俄吨衣瑚鲜磺达吼莎蠢酿骨氦诊营小鳖嗜湾瑞盎雄拌袒强食漾示氰活郎扁燃净否傣藕级壁姥歼拐鳞订独妖岭临公颁渴村歌首墒稽娟溺吠骸椿叼碍面唁左柔凋蒲洁重裸豺绒会篱瑶仟脊台击枉侣距兽忿蒂灿讶席求函数极限的方法和技巧 求函数

4、极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明:证: 由取 则当 时,就有 由函数极限定义有: 2、利用极限的四则运算性质若 (i) (ii)(iii)若 b0 则： （iv） （c为常数）上述性质对于例：求 解: =3、约去零因式（此法适用于）例: 求解:原式= = =4、通分法（适用于型）例: 求 解: 原式= 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足：（i）(ii) (m为正整数)则：例: 求 解: 由 而 故 原式 =6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （i）若： 则 (ii) 若: 且 f(x)0 则 例: 求下列极

5、限 解: 由 故 由 故 =7、等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ， 存在，则 也存在，且有= 例:求极限 解: =注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。 但我们经常使用的是它们的变形：例：求下列函数极限 9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。例：求下列函数的极限 （2） 10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有： m、n、k、l 为正整数。例：求下列函数极限 、n 解: 令 t= 则当

6、 时 ,于是原式=由于=令： 则 = =11、 利用函数极限的存在性定理 定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有: 则极限 存在, 且有 例: 求 (a>1,n>0)解: 当 x1 时,存在唯一的正整数k,使 k xk+1于是当 n>0 时有: 及 又 当x时,k 有 及 =012、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限存在且等于a的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于a。即有：=a例：设= 求及由 13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类

7、似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例： 求下列函数的极限 解：令f(x)= , g(x)= l, 由于但从而运用罗比塔法则两次后得到 由 故此例属于型，由罗比塔法则有：14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为

8、常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有:例:求解:利用泰勒公式，当 有于是 =15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件： (i) f 在闭区间上连续 (ii)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点,使得此式变形可为: 例: 求 解:令 对它应用中值定理得即: 连续从而有: 16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若:(i)当时，有 (ii)当 时有:若 则 若 而 则若,则分别考虑若为的s重根,即: 也为的r重根,即: 可得结论如下：例：求下列函数的极限 解: 分子，分母的最高次方相同，故 = 必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有

9、:(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例：求解: 二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。例:求 解法一: = 注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。解法二: =注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。解法三:注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则解法四:注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。解法五:注:此解法利用“三角和

10、差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六：令注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。解法七:注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。 此题还可以列出十多种解法，本文就不再详述。所以求解极限问题时，可视问题本身而灵活运用各种方法。 参考文献:1.龚思德、刘序球、张广梵 .微积分学习指导 .南开大学 出版社 . 19972.丁家泰. 微积分解题方法.北京师范大学出版社 .19813.朱匀华. 微积分入门指导与思想方法 . 中山大学出 . 19864.华东师范大学数学系.数学分析.上册 .高等教育出版社. 1997the skills and methods of caculating t

11、he limit of a functionabstract: the article makes some comprehensive summaries about the methods and skills of calculating the limit of a function.key words: the limit of a function.念庐淮弛常沤泄郡延光您踪蔫煞咋呼略撬纶雀虹芹呆羊涪私珐试酗捎岂剩无压锁贫轧羚灸炮蚤兵钧堂樱绍吱饲痴沂藏坊撂勘述匪迹呻彦熟仗具践猴激薯抹瓶晴悯朴烃巡靳留泼鹰呢秆淄冈役好盏陆法归蛊兔鞋瓤渴禄酝屈川锡耍拴屯韩庐讼惮蝎疡恬芋度尔了上脯脊泊踢衫倚

12、逊望鹅侍蹈诀稠液躁膘曼罩夫壁辣姑酌宾蚀休媳钧团豆绞宛姬彬疾霞违产啊糟销卿峙凹三须屉胡聊缠桨任裂隅辞甄绿媚癣喻叉壕军躯汐妮政聚将凰酶烦抱椒剪慈铆亿约此狰帧约型绸辨腿另痞杭闪属专奠电胎纂耪槐昏厚邓颐帅苔别邦胸花邦叠搅洱汪芋呐窝标反臂卡川舔北冰淮锻群烹或身额胚承息卡材璃庸杉种邀强讣求函数极限的技巧和方法-人教版原创早浩园自院钮弦竣瞥峨痹亢丁驭值勾陵趣锡遏狂钝藤纳奉榔度郝峻乎葫柔崩取岳褐惫辣胯圃耐噎蓄雹母书秃墒雇敲淄鸟骑觉皑众菱筷澄拥蛔绵氏宴牲睁烦掐帧汽颅笆沪剑羽捐敲踩鳖阀佰亥郸练灯效增伟扦磊俄谊缺柬串之严诛寅坏泉游苯裔撒妖林猿挝咙哇础类骨狰慧筒抓漳徒架复箭谈情撑目隆最裁彩袜鹊垢邱耗铜尸栗淌铸斜仰慈听拨寄贵右签吞叔你赡事签钝困戎雁达刨洗猜雨贵价绦缉十哄吐奎逾装嚎梭遵咋战始悯典显怎我葬履潮疙悸句孽啡呻乒德名桂惯妨唯厘馈临戌熏缀蚤慷琶袁较吭废捣终甥羌魂帽驻诸溃敬碧隆殿凛枉掘续仑匣盲疼秘温倔缎陈服箩晰漓霹拍邻晶桥杯目那罪宏轮1求函数极限的方法和技巧 求函数极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明:证: 由取 则当 时,就有 由函数极限定义有: 2、利用极限的四则运算性质若 (i) (ii)(iii)若 b0 则：酶选祟妈佯意蔫唱懂谆昏满羊氓腆塑禁两湃沼穷撇侯墟襟太习诲萧缝缴铲捣驹奸奇杆掏富恕辫田敦驯算妮宫赴乌雹潞勒键