高考一轮复习导数基础知识+答案

1、第三章导数§3.1导数的概念及运算1.导数的概念(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数yc(c为常数)，yx，y，y，yx2，yx3的导数.(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一，常以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题中.导数的运算基

2、本上每年都考，一般不单独设题，大都是在考查导数应用的同时考查.1.导数的概念(1)定义如果函数yf(x)的自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量yf(x0x)f(x0)，比值就叫函数yf(x)从x0到x0x之间的平均变化率，即.如果当x0时，有极限，我们就说函数yf(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作 或y ，即f (x0) .(2)导函数当x变化时，f (x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数).yf(x)的导函数有时也记作y ，即f (x)y .(3)求函数yf(x)在点x0处导数的方法求函数的增量y ；求平均变化率 ；取极限，得

3、导数f (x0) .2.导数的意义(1)几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率.也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 .(2)物理意义函数Ss(t)在点t0处的导数s (t0), 就是当物体的运动方程为Ss(t)时，物体运动在t0时刻的瞬时速度v，即 .设vv(t)是速度函数，则v (t0)表示物体在tt0时刻的 .3.基本初等函数的导数公式(1)c (c为常数)，(x) (Q*)；(2)(sinx) _，(cosx) ；(3)(lnx) ，(logax) ；(4)(ex) ，(

4、ax) .4.导数运算法则(1)f(x)±g(x) .(2)f(x)g(x) ；当g(x)c(c为常数)时，即cf(x) .(3) (g(x)0).5.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 .即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【自查自纠】1.(1)可导f (x0)(3)f(x0x)f(x0)2.(1)f (x0)yy0f (x0)(xx0)(2)vs (t0)加速度3.(1)0x1(2)cosxsinx(3)(4)exaxlna4.(1)f (x)±g (x)(2)f (x)g(x)f(x)g (x)cf

5、(x)(3)5.yx y u·u x函数f(x)1的导函数是()Ay0 By1 C不存在 D不确定解：常数函数的导函数是yf (x)0.故选A.函数f(x)a35a2x2的导数f (x)()A3a210ax2 B3a210ax210a2xC10a2x D以上都不对解：f (x)10a2x.故选C.曲线yex在点A(0，1)处的切线斜率为()A1 B2 Ce D.解：y ex，y |x01，故选A.()曲线yx3x3在点(1，3)处的切线方程为 .解：y 3x21，当x1时，y 2，此时切线斜率k2，故切线方程为y32(x1)，即2xy10.故填2xy10.物体的运动方程是st32t2

6、5，则物体在t3时的瞬时速度为 .解：v(t)s (t)t24t，t3时，v3，故填3.类型一导数的概念设f(x)为可导函数，当x趋近于0时，趋近于1，则过曲线yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为()A2 B1 C1 D2解：，当x趋近于0时，2x也趋近于0，y |x11，所以yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为1.故选B. 【评析】本题利用导数定义求导数，将“表达式”变形为导数的“定义式”的标准形式是关键，这里要找准增量x2x.“y |x1”是指曲线在x1处的切线斜率已知f (0)2，则h趋近于0时，趋近于 .解：当h趋近于0时，3h也趋近于0.趋近于3f (0)6.故填6.类型

7、二导数的几何意义已知曲线yx3.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程；(2)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(3)求曲线过点P(2，4)的切线方程.解：(1)设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为kx1，解得x0±1，故切点为，(1，1)故所求切线方程为yx1和y1x1，即3x3y20和xy20.(2)y x2，且P(2，4)在曲线yx3上，在点P(2，4)处的切线的斜率ky |x24.曲线在点P(2，4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(3)设曲线yx3与过点P(2，4)的切线相切于点A，又切线的斜率ky |xx0x，切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2，

8、4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.【评析】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f (x)；求切线的斜率f (x0)；写出切线方程yf(x0)f (x0)(xx0)，并化简(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程注意：求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上.与曲线只有一个公共点的直线不一定是

9、曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.已知函数f(x)x3x16.(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程；(2)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(3)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程.解：(1)设切点坐标为(x0，y0)，f (x0)3x14，x0±1，或切线方程为y4x18或y4x14.(2)f (x)3x21，且(2，6)在曲线f(x)x3x16上，在点(2，6)处的切线的斜率为kf (2)13.切线的方程为y13x32.(3)解法一：设切点为(x0，y0)，直线l的斜率为f (x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)x

10、x016，又直线l过原点(0，0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得x02，斜率k13.直线l的方程为y13x.解法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则斜率k，又kf (x0)3x1，3x1，解得x02，k13.直线l的方程为y13x.类型三求导运算求下列函数的导数：(1)y5x24x1；(2)y(2x21)(3x1)；(3)ysin(x)(其中为常数)；(4)y(x2).解：(1)y 10x4；(2)y 4x·(3x1)(2x21)·318x24x3；(3)y cos(x)·(x) cos(x)；(4)y .【评析】求导运算，一是熟记公式及

11、运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单求下列函数的导数：(1)y(x1)(x2)；(2)y(x0)；(3)ycos2x；(4)yln(x1).解：(1)y (x1) (x2)(x1)(x2) x2x12x3；(2)y ；(3)y sin2x·(2x) 2sin2x；(4)y ln(x3)ln(x1) .1.弄清“函数在一点x0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在一点x0处的导数f (x0)是一个常数，不是变量；(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x而

12、言的.函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f (x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f (x)；(3)函数yf(x)在点x0处的导数f (x0)就是导函数f (x)在点xx0处的函数值.2.求函数yf(x)在xx0处的导数f (x0)通常有以下两种方法(1)利用导数的定义：即求 的值；(2)利用导函数的函数值：先求函数yf(x)在开区间(a，b)内的导函数f (x)，再将x0(x0(a，b)代入导函数f (x)，得f (x0).3.求曲线在某一点处的切线方程时，可

13、以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程.如果切点未知，要先求出切点坐标.4.在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思想方法.1.函数f(x)x3sin2x的导数f (x)()Ax2cos2x B3x2cos2xCx22cos2x D3x22cos2x解：f (x)3x2(2x) cos2x3x22cos2x.故选D.2.已知f(x)(x2)(x3)，则f (2)的值为()A0 B1 C2 D3解：f (x)(x3)(x2)2x5，f (2)1.故选B.3.曲线yx311在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9 B3 C9 D15解：由y

14、|x13，得在点P(1，12)处的切线方程为3xy90，令x0，得y9，故选C.4.若f(x)x22x4lnx，则f (x)0的解集为()A(0，) B(1，0)(2，)C(2，) D(1，0)解：f (x)2x20，x0，x20，解得x2.故选C.5.若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1解：y 2xa，y |x0a，a1.(0，b)在切线xy10上，b1，故选A.6.已知点P在曲线y上，则曲线在点(0，f(0)处的切线的斜率是()A2 B1C0 D1解：y ，y |x01.故选D.7.曲线yx3x2的一条切线平行于

15、直线y4x1，则切点P0的坐标是_.解：y 3x21，又3x214，解得x±1.切点P0的坐标为(1，0)或(1，4)故填(1，0)或(1，4)8.()设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f (1)_.解：令ext，则xlnt.f(ex)xex，f(t)lntt，f (t)1，f (1)112.故填2.9.求函数f(x)x34x4图象上斜率为1的切线的方程.解：设切点坐标为(x0，y0)，f (x0)3x41，x0±1.切点为(1，1)或(1，7)切线方程为xy20或xy60.10.设函数f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中xR，a，b为常

16、数.已知曲线yf(x)与yg(x)在点(2，0)处有相同的切线l，求a，b的值，并写出切线l的方程.解：f (x)3x24axb，g (x)2x3，由于曲线yf(x)与yg(x)在点(2，0)处有相同的切线，故有f(2)g(2)0，f (2)g (2)1，由此解得a2，b5.从而切线l的方程为xy20.11.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x2.(1)求x0时， f(x)的表达式；(2)令g(x)lnx，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在xx0处的切线互相平行？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.解：(1)当x0时，x0，f(x)f(x)2(x)22x2；当

17、x0时，f(x)的表达式为f(x)2x2.(2)若f(x)，g(x)在x0处的切线互相平行，则f (x0)g (x0)，当x0>0时，f (x0)4x0g (x0)，解得x0.故存在x0满足条件 ()已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数).(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a1时，若直线l：ykx1与曲线yf(x)相切，求l的直线方程.解：(1)f (x)1，因为曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，所以f (1)10，解得ae.(2)当a1时，f(x)x1，f (x)1.设切点为(x0，y0)，f(x0)x01kx01

18、，f (x0)1k，得x0kx01k，即(k1)(x01)0.若k1，则式无解，x01，k1e.l的直线方程为y(1e)x§3.2导数的应用(一)1.导数在研究函数中的应用(1)结合实例，借助图形直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)，会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).2.生活中的优化问题举例通过解“利润最大”“用料最省”“效率最高”等优化问题，体会导数在解

19、决实际问题中的应用.高考对导数应用的考查很频繁.内容既可以是对某一类函数性质的研究，也可以联系方程的根、不等式的解等综合考查，选择、填空、解答等题型均有可能出现，分值比较重，是每年高考考查的重点内容之一.1.函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f (x)>0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f (x)<0，那么函数yf(x)在这个区间内 .2.函数的极值(1)判断f(x0)是极大值，还是极小值的方法：一般地，当f (x0)0时，如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值.(

20、2)求可导函数极值的步骤：求f (x)；求方程 的根；检查f (x)在上述方程根的左右对应函数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 .3.函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则_为函数在a，b上的最小值， 为函数在a，b上的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则 为函数在a，b上的最大值， 为函数在a，b上的最小值.(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值

21、；将f(x)的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【自查自纠】1.单调递减2.(1)f (x)0f (x)0(2)f (x)0极大值极小值3.(2)f(a)f(b)f(a)f(b)(3)f(a)f(b)若在区间1，2内有f (x)0，且f(1)0，则在1，2内有()Af(x)0 Bf(x)0Cf(x)0 D不确定解：f (x)0，f(x)在1，2内单调递增f(1)0，在1，2内f(x)0.故选A.已知函数f(x)x2x，则f(x)的单调增区间是()A(，1)和(0，) B(0，)C(1，0)和(1，) D(1，)解：f (x)x1，令f (x)0，解得

22、x1.故选D.关于函数的极值，下列说法正确的是()A导数为0的点一定是函数的极值点B函数的极小值一定小于它的极大值Cf(x)在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数解：导数为0的点不一定是极值点(如yx3，在x0处)，而极值点的导数一定为0.极值是局部概念，因此极小值可能有多个且有可能大于极大值极值点是单调性的转折点故选D.已知函数f(x)x36x2nx4在x1时有极值，则n .解：f (x)3x212xn，f (1)0，312n0，得n9.故填9.函数f(x)x33x21在x 处取得极小值.解：f (x)3x26x3x

23、(x2)所以f(x)的递增区间是(，0)，(2，)，递减区间是(0，2)，因此f(x)在x2处取得极小值故填2.类型一导数法判断函数的单调性设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf (x)的图象可能是()解：当x0时，f(x)为增函数，f (x)0，排除A，C；当x0时，f(x)先增后减，再增，对应f (x)先正后负，再正故选D.【评析】导函数的图象在哪个区间位于x轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)若函数f(x)的导函数yf (x)的部分图象如图所示，则下列函数中与f(x)的单调性不可能相同的是()

24、解：当x1时，f (x)0，f(x)单调递减；当x1时，f (x)0，f(x)单调递增，只有C项的单调性与f(x)不同故选C.类型二导数法研究函数的单调性已知函数f(x)x3ax，f (1)0.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解：(1)f (x)3x2a，由f (1)3a0，得a3.(2)f(x)x33x，f (x)3x23.令f (x)0，得x1或x1.所以f(x)的单调递增区间是(，1)，(1，)，单调递减区间是1，1【评析】用导数求函数的单调区间，突破口是讨论导数的符号注意：区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响如，本例中1，1也可以写成(1，1

25、)写单调区间时，一般不要使用符号“”，可以用“，”“和”分开各区间，原因是各单调区间用“”连接的条件是在合并后的区间内函数单调性依然成立如，本例中(，1)，(1，)不能写成(，1)(1，)，不妨取x1，x2，x1x2，而f(x1)f，f(x2)，这时f(x1)f(x2)不成立已知函数f(x)exax，f (0)0.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解：(1)f (x)exa，由f (0)1a0，得a1.(2)f(x)exx，f (x)ex1.令f (x)0，得x0.所以函数f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，0)类型三导数法研究函数的极值问题已知函数f(x)x3c

26、x在x1处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的极值.解：(1)f (x)x2c，当x1时，f(x)取得极值，则f (1)0，即c0，得c.故f(x)x3x.(2)f (x)x2(x21)(x1)(x1)，令f (x)0，得x1或1.x，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)f (x)00f(x)极大值极小值因此，f(x)的极大值为f(1)1，极小值为f(1)1.【评析】找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数为零的点就是极值点(如yx3)，还要保证该零点为变号零点()设f(x)a(x5)26lnx，其中aR，曲线yf(x)在点(

27、1，f(1)处的切线斜率为2.(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解：(1)f (x)2a(x5)，依题意，f (1)68a2，得a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26lnx(x0)，f (x)x5.令f (x)0，得x2或3.x，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，2)2(2，3)3(3，)f (x)00f(x)极大值极小值故f(x)的单调增区间为(0，2)和(3，)，单调减区间为(2，3)f(x)的极大值f(2)6ln2，极小值f(3)26ln3.类型四导数法研究函数的最值问题()已知函数f(x)ax22，g(x)x3bx.若曲线yf(x)与曲线yg(x)

28、在它们的交点(1，c)处具有公共切线.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值.解：(1)f (x)2ax，g (x)3x2b，f(1)g(1)，f (1)g (1)，a21b，且2a3b，解得a4，b5.(2)设h(x)f(x)g(x)x34x25x2，则h (x)3x28x5(3x5)(x1)x，h (x)，h(x)的变化情况如下表：x1(1，)h (x)00h(x)极大值极小值所以f(x)在，(1，)上单调递增，在上单调递减h，h(1)12，12，f(x)g(x)在(，1上的最大值为12.【评析】函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小

29、值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点和极大值点取得，最小值一般是在端点和极小值点取得已知函数f(x)2x3ax2bx1，若函数yf (x)的图象关于直线x对称，且f (1)0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在区间2，2上的最大值.解：(1)f (x)6x22axb，函数yf (x)的图象的对称轴为x.，a3.f (1)0，62ab0，得b12.故a3，b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，f (x)6x26x126(x1)(x2)x，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，1)1(1，)f (x)00f(x)极大值极小值f(2)21，f(2

30、)5，215，所以f(x)在2，2上的最大值为21.类型五实际应用问题(优化问题)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm).(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，x应取何值？(2)若厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，x应取何值？解：(1)根据题意有S6024x2(602x)2240x8x2，0x30，S 24016x，令S 0，得x15.当0x15时

31、，S 0，S递增；当15x30时，S 0，S递减所以x15 cm时包装盒侧面积S最大(2)根据题意有V(x)2·(602x)2x2(30x)，0x30，V 6x(20x)，当0x20时，V 0，V递增；当20x30时，V 0，V递减所以x20 cm时包装盒容积V最大【评析】本题主要考查学生的空间想象能力、阅读能力、运用数学知识解决实际问题的能力及建立函数模型的能力，属于中档题注意用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点用长为15 cm，宽为8 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别裁去一个边长为x的小正方形，然

32、后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时，容器的容积最大？解：依题意，0x4，容积V(152x)·(82x)·x4x346x2120x，V 12x292x1204(3x5)(x6)令V 0，得x或6(舍去)当0x时，V 0，V递增；当x4时，V 0，V递减所以高x cm时容器的容积最大1.用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点.2.极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在

33、某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性.(2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大值并不一定比极小值大.(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.3.实际问题中的最值在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.1.函数f(x)是定义域为R的可导函数，若f (x)0，设af

34、，bf，cf(1)，则a，b，c的大小关系是()Abac BabcCcba Dacb解：因为f (x)0，所以f(x)在(，)上单调递增1，f(1)ff，即cab.故选A.2.设f (x)是函数f(x)的导函数，yf (x)的图象如图所示，则yf(x)的图象有可能是()解：当x0时，f (x)0，f(x)单调递增；当x0时，f (x)0，f(x)单调递减故选C.3.函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0，3)C(1，4) D(2，)解：f (x)(x3) ex(x3)(ex) (x2)ex，令f (x)0，解得x2，故选D.4.函数f(x)(x1)(x2)2的极值点为x

35、()A1，2 B.，2 C.，1 D.，解：f (x)(x2)22(x1)(x2)(x2)(3x4)令f (x)0x1，x22，结合导数的符号变化故选B.5.f(x)x33x22在区间1，1上的最大值是()A2 B0 C2 D4解：f (x)3x26x3x(x2)，令f (x)0，得x0或x2(舍去)，当1x0时，f (x)0；当0x1时，f (x)0.所以当x0时，f(x)取得最大值为2.故选C.6.()设函数f(x)lnx，则()A. x为f(x)的极大值点B. x为f(x)的极小值点 C. x2为 f(x)的极大值点D. x2为 f(x)的极小值点解：f (x)，令f (x)0，得x2.

36、当x<2时，f (x)<0，f(x)为减函数；当x>2时，f (x)>0，f(x)为增函数，所以x2为f(x)的极小值点，故选D.7若函数f(x)x在x1处取极值，则a_.解：f (x)1，f (1)10a4.故填4.8.一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm，60 cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是_cm2.解：设长为40 cm和60 cm的直角边上对应的矩形边长分别为x cm，y cm，则，得y60x.矩形的面积Sxyx60xx2，令S 603x0，得x20.所以当x20时矩形面积最大，最大面积为600

37、cm2.故填600.9.()已知函数f(x)2ax33x2，其中a0.求证：函数f(x)在区间(，0)上是增函数.证明：f (x)6ax26x6x(ax1)因为a0且x0，所以f (x)0.所以函数f(x)在区间(，0)上是增函数10.已知函数f(x)xe-x(xR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的极值.解：(1)f (x)(1x)e-x.令f (x)0，得x1.x，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)f (x)0f(x)极大值所以f(x)在区间(，1)内是增函数，在区间(1，)内是减函数(2)由(1)可知，函数f(x)在x1处取得极大值f(1).

38、11.已知函数f(x)axln(x1)，aR.(1)若a2，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若f(x)在x1处取得极值，试讨论f(x)的单调性.解：f (x)a.(1)若a2，则f (0)23，又f(0)0，因此曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y03(x0)，即3xy0.(2)f (1)0，f (1)a0，得a，f(x)xln(x1)，x1，f (x)，令f (x)0，得x1.x，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(1，1)1(1，)f (x)0f(x)极大值所以f(x)在(1，1)上单调递增，在(1，)上单调递减 ()已知f(x)x36x29xabc

39、，a<b<c，且f(a)f(b)f(c)0.现给出如下结论：f(0)f(1)>0；f(0)f(1)<0；f(0)f(3)>0；f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是()A B C D解：f(3)275427abcabcf(0), 因为f (x)3(x1)(x3)，所以f(x)在(，1)和(3，)上单调递增，在(1，3)上单调递减abc，且f(a)f(b)f(c)0，a1b3c，f(1)0，f(3)f(0)0，f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.故选C.§3.3导数的应用(二)利用导数来解决函数的单调性、极值与最值问题已经成为

40、热点问题之一.既有填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；也有解答题，侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综合应用.故编写导数的应用(二)，以加大学习力度.1.当f (x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(，)上，f(x)x3，当x0时，f (x)，当x0时，f (x)0，而f(x)x3显然在(，)上是单调递增函数.2.可导函数求最值的方法f (x)0xx1，x2，xn，xa，b.直接比较f(a)，f(b)，f(x1)，f(xn)，找出 和_即可.在此基础上还应注意：(1)结合 可减少比较次数.(

41、2)含参数的函数求最值可用：按 分类；按 分类.【自查自纠】1.02.最小值最大值(1)单调性(2)单调性极值点函数f(x)ax3x1在x1处有极值，则a的值为()A1 B0 C D解：f (x)3ax21，f (1)3a10，a.故选C.函数y4x2的单调增区间为()A(0，) B.C(，1) D.解：y 8x，令y 0，解得x，函数y4x2在上递增故选B.已知函数f(x)ax3bxc(a，b，cR)，若f (1)2，则f (1)()A0 B3 C1 D2解：f (x)3ax2b，f (1)f (1)2.故选D.已知f(x)sinx2x，xR，且f(2a)f(a1)，则a的取值范围是 .解：

42、f (x)cosx20恒成立，f(x)在R上单调递增f(2a)f(a1)，2aa1，得a1.故填(，1)若函数g(x)ex3x在(1，)上的最小值是 .解：g (x)ex3，令g (x)0，得xln3，g(x)在(，ln3)上单调递减，在(ln3，)上单调递增，所以g(x)在(1，)上的最小值g(ln3)33ln3.故填33ln3.类型一函数单调性的进一步讨论设函数f(x)xekx(k0).(1)若k0，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1，1)内单调递增，求k的取值范围.解：(1)f (x)(1kx)ekx.若k0，令f (x)0，得x，所以函数f(x)的单调递增区间是，

43、单调递减区间是.(2)f(x)在区间(1，1)内单调递增，f (x)(1kx)ekx0在(1，1)内恒成立，1kx0在(1，1)内恒成立，即 解得1k1.因为k0，所以k的取值范围是1，0)(0，1【评析】函数单调性的讨论归结为对不等式解的讨论；函数f(x)在限定区间是单调函数，求参数范围的问题，可以转化为恒成立问题求解若函数f(x)xbln(x2)在1，)上是减函数，则b的取值范围是()A1，) B(1，)C(，1 D(，1)解：f (x)10在1，)上恒成立，bx2在1，)上恒成立b1.故选C.类型二极值与最值的进一步讨论()已知函数f(x)xalnx(aR).(1)当a2时，求曲线yf(

44、x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值.解：(1)当a2时，f(x)x2lnx，f (x)1.f(1)1，f (1)1.所求切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)f (x)1，x0.若a0，则f (x)0恒成立，f(x)不存在极值若a0，则x，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，)f (x)0f(x)极小值所以f(x)的极小值f(a)aalna.【评析】本题要求掌握运用导数研究函数的单调性、极值的一般步骤第二问对分类讨论要求较高，其分类是以表格为基础进行的()已知函数f(x)xlnx在区间t，)(t0)上的最小值大于，则t的取值范围是()A.

45、 B(1，e)C. D.解：f (x)lnx1，令f (x)0，得x.x，f (x)，f(x)的变化情况如下表：xf (x)0f(x)极小值所以f(x)的极小值f.显然，若t，则f(x)的最小值大于.故选D.类型三方程根的讨论已知函数f(x)ex，xR.(1)求f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)与直线yex有唯一公共点.解：(1)f (0)e01，f(0)1，切线方程为y11·(x0)，即xy10.(2)证法一：设g(x)exex，曲线yex与yex的公共点的个数等于函数g(x)exex零点的个数g (x)exe，令g (x)0，得x1，g(x)

46、在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，g(x)的最小值g(1)e1e0，g(x)exex0(仅当x1时，等号成立)曲线yf(x)与直线yex有唯一公共点证法二：.设h(x)，分析方法类似证法一【评析】通过作差或作商可得到新的函数，求出新函数的单调区间、极值点、区间端点处的函数值、特殊点(如图象与x轴，y轴交点)，来判断交点的个数若a，则方程lnxax0的实根的个数为()A0个B1个C2个D无穷多个解法一：由于方程lnxax0等价于a.设f(x).f (x)，令f (x)0，得xe，f(x)在(0，e)上单调递增；在(e，)上单调递减f(x)的最大值f(e)，f(x)(仅当xe时，等号成立)