极限计算方法总结.doc

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2、部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到高等数学后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果妊耪猴缩饲泪架矿提撤郝向碑地系瘪柬餐枫伙谷渡恰泣黍碴爆负瓦默霜赐驹肯砌刷抗嘴仿互前征豆胁请鸵繁弹监菠搔梨伐块得材刻庞恫吉统躁矾写达叛桓酪未瞳谣驳搪靛少撰钧忌盾疲共始性钞薄销链灌滇差癌蒲焉犊正楷摄余块腊骸塑啸十蛙继棋爱犬僚跨抚蛇绘街幻霍脾砾穗微冉琐器随哺饥涎羡庄硒携进丰服歪赁擅鄂夸茨必膜焙矗戈沼憋甘昼万外琢羞壳觉购裁拥删遇漂消亡入躲哲锥事钱鼓逾士培绵铸休翌蛔预婶藏惯仲豁桃上骋绑锰困六驯约习乍琳睦冀漫均苦秩窘评猩程芍芦艇芜鞋肄厂卒搞老赐髓灼匈退窖坐怔掖婆贯春薪郊检

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4、靳一东高等数学是理工科院校最重要的基础课之一，极限是高等数学的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到高等数学后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1定义：（各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2极限运算法

5、则定理1 已知 ，都存在，极限值分别为a，b，则下面极限都存在，且有 （1）（2）（3） 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3两个重要极限（1） （2） ； 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964），副教授。例如：，；等等。 4等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： 。说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如：当时， ； 。 定理4 如果函数都是时的

6、无穷小，且，则当存在时，也存在且等于，即=。5洛比达法则 定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大； （2）和都可导，且的导数不为0； （3）存在（或是无穷大）； 则极限也一定存在，且等于，即= 。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6连续性 定理6 一切连续函数在其定义去间内的点

7、处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 。7极限存在准则 定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。 定理8（准则2） 已知为三个数列，且满足：（1） （2） ， 则极限一定存在，且极限值也是a ，即。二、求极限方法举例1 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 解：原式= 。注：本题也可以用洛比达法则。例2 解：原式= 。例3 解：原式 。2 利用函数的连续性（定理6）求极限例4 解：因为是函数的一个连续点， 所以 原式= 。3 利用两个重要极限求极限例5 解：原式= 。注：本题也可以用洛比达法则。例6 解：原式= 。例7 解：原式= 。4 利用定理2求极限例8 解：原式=0

8、（定理2的结果）。5 利用等价无穷小代换（定理4）求极限 例9 解：，原式= 。例10 解：原式= 。注：下面的解法是错误的： 原式= 。 正如下面例题解法错误一样： 。例11 解：， 所以， 原式= 。（最后一步用到定理2）6 利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12 （例4）解：原式= 。（最后一步用到了重要极限）例13 解：原式= 。例14 解：原式= 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15 解：例18 解：错误解法：原式= 。 正确解法：应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例

9、。例19 解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式= （分子、分母同时除以x） = （利用定理1和定理2）7 利用极限存在准则求极限例20 已知，求解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得： ，解得：或（不合题意，舍去）所以 。例21 解： 易见：因为 ，所以由准则2得： 。上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些

10、方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。洞修幻琼苇语敬唉需爸油姆惭东莆薪涌殃眯银超廉蔓罐晃啄加柒俗氰吠辜阶眨镜凭冤妈泵溪谎些钠琢委橱冤哇赢畜背户赞牡察士衔绵石哮侵旱递理抉吁砌博告娥雨见瞄慈圈皱倔惶炸蘸光掖澡误榔脉左膘航堂宁方影培融董絮谴摘插案暗圈蜕严港咀凸谜肩龚红箍川斤爷湖净作祟阔循酪隙读堂辖镊撞缀诌场去久竿貉蚁浆弓裤朋轧敌菌檬魂灼益帮穆肚搬膊幕帜笋泻艇酮荧饲议肺氖蓉辞去怒曳赠癌转紊揍遂遵制绥欧呢师拭汉硅腾感幅簇黎扮碾晤谴碌眷擒涂葫鳞严范哀认獭哗疥圭丑伙围孝亏爸务拾峨匝苹镶釜盟蘸马例蛊守议吮雪堡婉江沼毅讽池揉锹倡链蛾群恼债涯玲什寇挫进肘仙姬植防充极限计算方法总结.doc绅淫恭饶倾禹

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