自动控制大作业

1、自动控制原理课程大作业班级：1302011 成员：刘仕奇130201100622014 年自动控制技术课程大作业一、课程习题1带飞球式调节器的瓦特蒸汽机是近代工业革命兴起的标志，同样也是一个典 型的反馈控制系统，请画出该系统的组成框图，并注明下列器件的位置，并说明 与每个信号相关的装置。受控过程 过程要求的输出信号 传感器执行机构 执行机构的输出信号 调节器调节器输出信号 参考信号 误差信号图 1.1 瓦特离心式调速器示意图解：受控过程蒸汽机运行 过程要求的输出信号转速 传感器履带执行机构蒸汽阀 执行机构的输出信号蒸汽推力调节器调速器 调节器

2、输出信号调速器转速 参考信号规定转速 误差信号转速偏差传感器控制器执行机构对象RC2.倒立摆控制系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统。倒立摆 的控制问题就是给连接摆杆的小车施加控制力，使摆杆尽快的达到一个平衡位置， 并且保证不出现过大的振荡。当摆杆到达期望的平衡位置后，系统能克服随机扰 动保持在平衡点。如图 2 所示是一个简单的一阶倒立摆系统，这里忽略空气阻力和各种次要的摩 擦力，将倒立摆系统看做是一个由小车和均匀刚性杆组成的系统。假设系统初始 状态时，摆杆垂直于小车处于平衡状态，此时摆杆受到冲激信号作用产生一个微 小的偏移。建立此时系统的控制系统数学模型。图 1.2 小车-单摆

3、系统示意图解：1. 一阶倒立摆的微分方程模型对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N 和 P 为小车与摆 杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。图 1-2 小车及摆杆受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： （1-1） 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：（1-2）即：（1-3）把这个等式代入式(1-1)中，就得到系统的第一个运动方程：（1-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析， 可以得到下面方程：（1-5）即： （1-6）力矩平衡方程如下： （1-7）由于所以等式前面有负号。合并这两个方程，约去 P 和 N，得到第二个运动方程：

4、 （1-8）设 ，（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设 <<1 弧度， 。用 u 代表 被控对象的输入力 F，利用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为：2. 一阶倒立摆的传递函数模型（2-1）对式(1-9)进行拉普拉斯变换，得：注意：推导传递函数时假设初始条件为 0。 由于输出为角度，求解方程组的第一个方程，可得：或如果令，则有：把上式代入方程组（2-1）的第二个方程，得：（2-5）整理后得到传递函数：（1-9）（2-2）（2-3）（2-4）（2-6）其中。3. 一阶倒立摆的状态空间模型设系统状态空间方程为：（3-1）方程组（2-9）对解代数方程，得到解如下：（3-1

5、）整理后得到系统状态空间方程：（3-2）（3-3）摆杆的惯量为，代入（1-9）的第一个方程为：得：化简得：设，则有：（3-4）（3-5）3.设计用来保持飞机俯仰姿态角的自动驾驶仪的方框图如图 3 所示图 1.3 飞机俯仰控制系统示意图 升降角和俯仰姿态角之间的传递函数为：𝜃（s）𝛿𝑒(𝑠)= 𝐺(𝑠) =50(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠2 + 5𝑠 + 40)(𝑠2 + 0.03𝑠 + 0.06)自动

6、驾驶仪控制者根据以下传递函数用俯仰姿态角误差来调整飞机升降：𝜃（s）𝛿𝑒(𝑠)= D(s) =𝐾(𝑠 + 3)(𝑠 + 10)计算输入参考为单位阶跃变化时 K 的值，使得系统超调量小于 10%，上升时间 小于 0.5s.解： 系统根轨迹为：编程计算：clc; clear; close all; mn=0; mx=1; ka=0.01;kf=10; dk=0.01;K=ka:dk:kf; b=50*conv(1,3,conv(1,1,1,2);a=conv(1,10,conv(1,5,

7、40,1,0.03,0.06);sys=tf(b,a); sys1=K*sys; j=1;k=1;for i=1:length(K) sys2(i)=feedback(sys1(i),1,-1);Y,T=step(sys2(i); post1=(find(Y>mx*Y(end); tr(i)=T(2)*(post1(1);or(i)=(max(Y)-Y(end)/Y(end);if tr(i)<0.5&or(i)<0.1 k1(j)=i;j=j+1; endend if j>1mid=ceil(length(k1)/2); subplot(2,2,1);pzma

8、p(sys1(k1(mid); title('开环零极点分布图'); subplot(2,2,2);rlocus(sys); title('根轨迹曲线')grid on; subplot(2,2,3);pzmap(sys2(k1(mid); title('闭环零极点分布图'); subplot(2,2,4);step(sys2(k1(mid);title('阶跃响应delta=',num2str(100*or(k1(mid),'%t_r=',num2str(tr(k1(mid); else disp('不存

9、在满足指标的 K 值');endK=2.6；4.我们希望设计一个汽车的速度自动控制系统,假定(a)汽车的质量为1500kg;(b)加速度计提供控制信号 U,即当其角速度变化 1 度时,便在汽车上施 加 10N 的力;(c)空气的摩擦阻力正比于速度,其比例系数为 10Ns/m。1） 试求出从输入 U 到汽车转速间的传递函数2） 假设转速的变化由下式给出：V(s) =1𝑠 + 0.002𝑈(𝑠) +0.05𝑠 + 0.02𝑊(𝑠)其中 V 的单位为米/秒，U 的单位为度，W 为公路等级。设计一个

10、比例控制器 U =-kpV，使转速误差小于 1m/s，此时路面的等级为常值的 2%。 3） 试讨论当对系统施加积分控制时，会带来什么好处。4）若该系统在纯积分控制作用下，适当选择反馈增益使系统处于临界阻尼状态。 解：（1）（2） 程序代码：clc; clear; close all; k=0.1:5; j=1;for i=1:length(k) b=0.05*0.02*1,0.002;V(s) =𝑈(𝑠) 573𝑠 + 10a=conv(1,k(i)+0.002,1,0.02);sys(i)=tf(b,a);y,t = impulse(sys);

11、 if max(y)<1post(j)=i;j=j+1;endendif length(post)>0 impulse(sys(post(1);elsedisp('无满足要求的K');end运行结果：K=0.3（3） 对系统施加积分控制会提升系统类型号减小稳态误差。（4）特征方程：573𝑠2 + 10𝑠 + 𝐾𝑝 = 0临界阻尼方程有重根𝐾𝑝 = 0.04365.假设一种位置伺服控制系统中受控对象的传递函数为：10G(s) =𝑠(s + 1)(s + 10

12、)在单位反馈结构中设计传递函数为 D(s)的串联补偿，使以下闭环性能指标 得到满足：参考阶跃输入响应的超调量不大于 16%； 参考阶跃输入响应的上升时间不超过 0.4 秒。单位斜坡输入的稳态误差小于 0.02 1）设计超前补偿环节使系统满足动态响应指标。2）如果 D(s)为比例控制器，其值为 kp，速度常数 Kv 为多少？3）设计一个滞后补偿，与已经设计的超前补偿串联使用，是系统满足稳态误差 指标。4）绘制最终设计结果的根轨迹图及单位阶跃参考输入下的响应曲线。解：（1） 采用根轨迹校正方法 程序代码：clc; clear; close all; b=10;a=conv(conv(1,1,1,1

13、0),1,0);sys=tf(b,a); d=0.2; tr=0.4;wd=(pi-acos(d)/tr;x=-wd/tan(acos(d); y=wd;s1=x+y*j; z=x;op=pi+angle(s1+z)-angle(s1)-angle(s1+1)-angle(s1+10); p=x-y*tan(op);k=abs(prod(s1,s1+1,s1+10,s1-p)/abs(s1-z)/10; b1=k*1,-z;a1=1,-p;sys1=tf(b1,a1); den1=conv(b1,b); num1=conv(a1,a); sysg1=tf(den1,num1); sysf1=f

14、eedback(sysg1,1,-1); subplot(2,2,1); pzmap(sysf1); subplot(2,2,2); rlocus(sysg1); subplot(2,2,3);step(sysf1); subplot(2,2,4); bode(sysg1);运行结果：超前矫正装置：sys1 =83.43 s + 75.45-s + 18.59（2）（3） 采用根轨迹矫正 程序代码：clc; clear; close all; b=10;a=conv(conv(1,1,1,10),1,0);sys=tf(b,a); d=0.2; tr=0.4;wd=(pi-acos(d)/tr

15、;x=-wd/tan(acos(d); y=wd;s1=x+y*j; z=x;𝑘𝑣 = lim 𝑠𝐺(𝑠) = 𝑘𝑝𝑠0op=pi+angle(s1+z)-angle(s1)-angle(s1+1)-angle(s1+10); p=x-y*tan(op);k=abs(prod(s1,s1+1,s1+10,s1-p)/abs(s1-z)/10; b1=k*1,-z;a1=1,-p;sys1=tf(b1,a1); den1=conv(b1,b); num1=conv(a1

16、,a); sysg1=tf(den1,num1); sysf1=feedback(sysg1,1,-1);%subplot(2,2,1);%pzmap(sysf1);%subplot(2,2,2);%rlocus(sysg);%subplot(2,1,2);%step(sysf1);%bode(sysg); wa=13.7; k2=60; k1=50;b2=1,wa/k2; a2=1,wa/k2/k1; sys2=tf(b2,a2); den2=conv(b2,den1); num2=conv(a2,num1); sysg2=tf(den2,num2); sysf2=feedback(sysg

17、2,1,-1); subplot(2,2,1); pzmap(sysf2); subplot(2,2,2); rlocus(sysg2); subplot(2,2,3);step(sysf2); subplot(2,2,4); bode(sysg2);运行结果：滞后校正装置：sys2 =s + 0.2283-s + 0.004567开环增益：K= 202.9446斜坡输入稳态误差为 1/K= 0.0049（4） 见（3）结果6.表 1.1 中给出的频率响应数据来自于一个直流电机，该电机用于一个位置控 制系统。假定该电机模型为线性的且为最小相位。 1）估计该系统的传递函数 G(s)。2）为该电机

18、设计一个串联补偿器，使得该闭环系统满足以下性能指标： a）对单位斜坡输入的稳态误差小于 0.01。b）PM45°。表 1.1 直流电机控制系统频率响应数据表解：（1）经观察曲线拐点为𝑤1 = 4和𝑤2 = 80增益 K=100；𝐾100G(s) =𝑠( 𝑠 + 1)( 𝑠 + 1) =𝑠( 𝑠 + 1)( 𝑠 + 1)拟合曲线如下：𝑤1𝑤2480（2） 采用滞后校正 程序代码：clc; clear; close

19、 all; k=100; w1=4; w2=80;b=k; a=conv(conv(1/4,1,1/80,1),1,0);sys=tf(b,a);mag,phase,wout,sdmag,sdphase = bode(sys); magdb=20*log10(mag);pm=45; rpm=10;om=-180+pm+rpm; post=find(phase<=om);wo=wout(post(1); k=mag(post(1); k1=50;wo1=wo/k1; T=1/sqrt(k)/wo1; b1=1/k*1,1/T; a1=1,1/k/T; sys1=tf(b1,a1); den

20、=conv(b1,b); num=conv(a1,a); sysg=tf(den,num); bode(sysg);运行结果：矫正装置：sys1 =0.03663 s + 0.01128-s + 0.01128开环增益 K=100斜坡输入稳态误差为 1/K= 0.017.考虑图 1.4 所示的电路，输入电压源为 u(t)、输出电流为 y(t)。1）使用电容电压和电感电流作为状态变量，写出该系统的状态方程和输出方 程。2）使系统不可控，求出 R1、 R2、C 和 L 应满足的条件。找出一组类似的条件 使系统不可观测。3）从系统时间常数的角度解释 2）中求出的条件。4）求出该系统的传递函数，并证明

21、 2）中的条件存在零极点抵消的现象。解：(1) 𝑥1 = 1𝑅1𝐶𝑥1 +𝑢𝑅1𝐶𝑅2𝑢𝑥2 = 𝑥2 +𝐿𝐿 𝑦 = 𝑥1 + 𝑥 + 𝑢𝑅12𝑅11 101A = 𝑅1𝐶0 𝑅2𝐿B = 𝑅1𝐶&

22、#119871;C = (2)1𝑅10D = 1𝑅1可控性：11𝐵𝐴𝐵 = 𝑅1𝐶(𝑅1𝐶)2 1𝑅2 𝐿𝐿2 rankB AB < 2𝑅2 =1可观性： 𝐶𝐿𝑅1𝐶11𝑅1𝐶𝐴 =11 𝑅2𝐶 𝑅2𝐿 ran

23、k 𝐶 < 2𝐶𝐴𝑅2 =1𝐿𝑅1𝐶(3)11RC 电路时常数𝑇1 = 𝑅 𝐶 𝑅2RL 电路时常数𝑇2 = 𝐿电路不可控与不可观条件为𝑇1 = 𝑇2(4)H(s) =𝑌(𝑠)𝑈(𝑠)1= 1 + 𝑅1+𝑠𝐿 + 𝑅2经化简：

24、𝑠𝐶1111 𝑠2 + (𝑇2 + 𝑇 𝐿𝐶) 𝑠 + 𝐿𝐶 H(s) = 1当𝑇1 = 𝑇2 = T时𝑅1(𝑠 + 𝑇1)(𝑠 + 𝑇2)1 (𝑠 + 𝑇)(𝑠 + 1 )(𝑠 + 1 )H(s) = 𝑇𝐿𝐶 =

25、1𝑇𝐿𝐶𝑅1传递函数出现零极点相消。(𝑠 + 𝑇)2𝑅1(𝑠 + 𝑇)二、综合设计 热水开了没？恒温控制设计温度控制系统是以温度作为被控变量的反馈控制系统，广泛应用与工业生 产的各个领域。温度控制系统常用来保持温度恒定或者使温度按照某种规定的 程序变化。这里，我们研究的就是大家每天在教学楼里都可见到的热水器。如图 2 所示，假设水箱高水位容量为 50 升，水温 98以上为沸水。热水器 在加电启动后，控制电磁阀进行注水，同时接通加热管电源进行加热。基本的

26、 调节规则包括： 1）水位检测与加热控制只要水位高于低水位，加热管就通电加热；水位低于低 水位点则停止加热。 2）水位检测与电磁阀控制热水器工作时，实际水位只要低于高水位点则打开电 磁阀注水；实际水位高过高水位点后电磁阀关闭，停止注水；3）当温度传感器检测到水温达到预设温度值后，加热器停止加热。4）热水嘴由外部使用者控制，随时有可能打开出水。设计要求：图 2 热水器内部结构示意图1）根据实际情况估计或设计热水器各部件的物理参数，建立热水箱的系统数学 模型，并分析水箱从无水到加满水并烧开最少需要多长时间？ 2）假设热水嘴不放水，而水箱存在热耗散，为了达到满水温度保持的目标，考 虑合适的预期温度设

27、定，设计数字控制器对热水器的温度进行恒温控制。 3）假设热水嘴每次放水 500ml，如果每次放水后就打开电磁阀注水，那么需要 间隔多长时间才能喝到开水？如果课间休息 10 分钟，有 100 人排队接水， 热水器能够保证每个人都喝上开水吗？如果不能，如何调整控制策略来满足 要求？解：（1） 系统参数： 加热功率 P 高水位容量 𝑉𝐻 低水位容量𝑉𝐿 进水流量 𝑄𝑖𝑛 预定温度 𝑇1 初始水温 𝑇0水的比热容 C水密度数学模型：𝑇0 0 &

28、lt; 𝑡 < 𝑡1𝑃(𝑡 𝑡0) 𝑇0 +𝐶𝜌𝑄𝑖𝑛𝑡1 < 𝑡 < 𝑡2𝑡T = 𝑇0 +𝑃(𝑡 𝑡0)𝐶𝜌𝑉𝐻𝑡1 < 𝑡 < 𝑡2 ⻔

29、1;𝐿 𝑉𝐻 (𝑇1𝑇0)𝐶𝜌𝑉𝐻𝑇1 𝑡2 < 𝑡 < 𝑡3 𝑉𝐿 其中𝑡1 = 𝑄𝑖𝑛𝑡2 = 𝑄𝑖𝑛+P 𝑄𝑖𝑛模型求解：P=3000W𝑉Ү

30、67; = 50 dm3 𝑉𝐿 = 10 𝑑𝑚3𝑄𝑖𝑛 = 1 𝑑𝑚3/𝑠 𝑇1 = 98 𝐶 𝑇0 = 20 CC=4.2kJ/(kg*k) = 1 kg/𝑑𝑚3𝑡3 = 92 𝑚𝑖𝑛(2)建立数学模型控制算法即控制器的操作方式，是控制器对过程变量的实测值与设定值之间 的误差信号的响应。温度控

31、制在工业领域应用非常广泛，由于其具有工况复杂、 参数多变、运行惯性大、控制滞后等特点,它对控制调节器要求较高。温度控制 不好就可能引起生产安全，产品质量和产量等一系列问题。因此长期以来国内外 科技工作者对温度控制器进行了广泛深入的研究，产生了大批温度控制器，如性 能成熟应用广泛的 PID 调节器、智能控制 PID 调节器、自适应控制等。此处主要 对一些控制器特性进行分析以便选择适合的控制方法应用于改造。再加上 PID 控制具有原理简单，易于实现，适用面广，控制参数相互独立，参数的选定比较 简单等优点；而且在理论上可以证明，对于过程控制的典型对象“一阶滞后纯滞后”与“二阶滞后纯滞后”的控制对象，

32、PID 控制器是一种最优控制。 其调节规律是连续系统动态品质校正的一种有效方法，它的参数整定方式简便， 结构改变灵活（PI、PD、）。它的控制框图如图 4.2 所示。图 4.1 PID 控制框图4.2.1 模拟控制系统的 PID 算法模拟控制系统的 PID 控制规律表达式为：u(t) = k e(t) + 1 òt e(t)dt + Tde(t)cT 0（4.1）Ddt式（4.1）中，u(t)为控制器的输出；e(t)为偏差，设定值与反馈值之差；kc 为控制器的放大系数，即比例增益；T 为控制器的积分时间常数；TD 为控制器 的微分时间常数。对于 DDC 控制系统，它是对被控对象进行断

33、续控制，因此要对上式进行离 散化。t令：ò0 e(kt) »dqtåi=0de(t) dt» e(k) - e(k -1)q（4.2）可得第 K 次计算机输出的位置型 PID 控制算式为q kTu(k) = kce(k) +åe(i) +e(k) - e(k -1)DT1 i=0qk或u(k) = Kce(k) + KI åe( j) + KD e(k) - e(k -1)i=0（4.3）式（4.3）表示的控制算法提供了执行机构的位置 u(k)（如阀门开度），所以 称为位置式 PID 控制算法。为程序设计方便，将式(4.11)作进一步

34、的改进，设比例项输出：uc (k) = Kce(k)（4.4）积分项输出：kuI (k) = KI åe( j)j =0（4.5）k -1= KI e(k) + KI åe( j)j =0= KI e(k) + uI (k - 1)微分项输出：uD = KD e(k) - e(k -1)（4.6）所以，（4.3）可写为u(k) = uP (k) + uI (k) + uD (k)（4.7）式(4.7)为离散化的位置型 PID 编程公式，若采用浮点运算，当 KP、KI、 KD 分别求出（并转成三字节浮点数），且存放在指定的内部 RAM 中，则完成式（4.7）位置型浮点运算15

35、，位置型 PID 运算程序流程见图 4.2。4.2.2 增量式 PID 算法 当执行机构需要的不是控制量的绝对数值，而是其增量（例如驱动步进电机）时，由式（4.1）可导出提供增量 PID 算法，这只要将式Tui = Kei +TiiTdTåei +j =0(ei - ei-1 ) + u0（4.8）及Tui-1 = Kei-1 +Tii-1TdTåei +j =0(ei-1 - ei-2 ) + u0（4.9） 相减就可以得到下面的公式TDui = ui - ui-1 = Kei - ei-1 +TiTdei +T(ei - 2ei-1 + ei-2 )（4.10）式（4.10）称为增量式 PID 控制算法，也可以进一步改写为：Dui = d0ei + d1ei-1 + d2ei-2（4.11） 其中0d = K (1 + TTi+ Td )Td = -K (1 + 2Td )1Td = K Td2T可见增量式算法只需要保持现时以前的 3 个时刻的偏差值即可。 由式（4.10）可知，增量型 PID 算式为：DuiT= ui - ui-1 = Kei - ei-1 +TiTdei +T(ei - 2ei-1 + ei-2 )设：uP (k) = KP e(k) - e(k -1)uI (k