0105极限运算法则07826

1、一、无穷小运算法则一、无穷小运算法则第五节第五节 极限运算法则极限运算法则定理定理 1 在同一变化过程中在同一变化过程中, 有限个无穷小的和仍是无穷小有限个无穷小的和仍是无穷小.证证,时时的的两两个个无无穷穷小小是是当当及及设设 x使得使得对于对于, 0, 0, 02, 021 xx ;2,1 恒有恒有时时当当xx;2,2 恒有恒有时时当当xx,max 21xxx 取取恒有恒有时时当当,xx 22 , ).(0 x 注意：注意：是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, : .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn无无穷多个无穷小的和未必是无穷小穷多个无穷小的和未必是无穷小. .定理定

2、理 2 (局部局部)有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内有界，内有界，在在设函数设函数),()(10 xuxfo, 0 m则则,)(0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设xxxg, 0, 02 ,min21 取取恒有恒有时时则当则当,00 xx)()()()(xfxgxgxf mm , .)()(,0为无穷小为无穷小时时当当xgxfxx ;)(,010mxfxx 恒有恒有时时使得当使得当 ;)(,020mxgxx 恒有恒有时时使得当使得当推论推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限

3、个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0 :2时时当当例如例如都是无穷小，都是无穷小，, 01sinlim 0 xxx即即. 01arctanlim 20 xxx定理定理 3,)(lim,)(limbxgaxf 若若证证.)(lim,)(limbxgaxf . 0, 0 ,)(,)( 其中其中bxgaxf二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则;)()(lim)1(baxgxf ;)()(lim)3(abxgxf . 0,)()(lim)4( bbaxgxf其中其中则有则有;)()(lim)2(baxgxf )()(xgxf)()( ba,ba .)1( 成立成立)

4、()(xgxf)( ba)( baab,ab.)3(成立成立baxgxf )()()()()(xbgxagxbf , 0 ab, 0,)( bbxg又又, 0 ,00时时当当 xx,2)(bxg 恒有恒有,2)(12bxbg , 0)()( baxgxf.)4(成立成立,)()(baxgxf,)(xbgab 推论推论1 1则则为常数为常数而而存在存在如果如果,)(limcxf则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果,)(limnxf推论推论2 2).(lim)(limxfcxcf .)(lim)(limnnxfxf 说明：说明： 数列的极限也有类似的四则运算法则数列的极限也有类似的四则运算法则

5、. .( (见见p45:p45:定理定理4 4) )例例1 1).1(lim41 xxx求求解解1limlimlim)1(lim114141 xxxxxxxx111 . 1 有有一般地一般地,则则有有设设,)(1110nnnnnaxaxaxaxp nxxnnxxnxxnxxaxaxaxaxp 0000lim)lim()lim()(lim1110nnnnaxaxaxa 0110100).(0 xpn 例例2 2.21lim 2231 xxxxx求求解解 原式原式)2(lim)1(lim21231 xxxxxx.43 :,有有一般地一般地则有则有且且设设, 0)(,)()()(0 xqxqxpxf

6、nnm )(lim0 xfxx)()(00 xqxpnm ).(0 xf )(lim)(lim00 xqxpnxxmxx例例3 3.341lim 231 xxxx求求解解 原式原式)3)(1()1)(1(lim21 xxxxxx31lim21 xxxx 32.消零因子法消零因子法)00(型型例例4 4).(lim 23cbxaxxx 计算计算解解cbxaxxxfxx 231lim)(1lim32311limxcxbxaxx , 0 ,系知系知由无穷大与无穷小的关由无穷大与无穷小的关 原式原式. 例例5 5.12)13)(12)(1(lim ,1213lim 333 nnnnbxxxanx计算计

7、算解解 a332/12/1/21limxxxx ;21 b3333/12)/13)(/12)(/11(limnnnnn . 3 )(型型 无穷小因子分出法无穷小因子分出法例例6 6.1sinlim,sinlim30 xxxxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx ,sin 是有界函数是有界函数而而x)sin1(limsinlimxxxxxx ; 0 :同理可知同理可知)1sin(lim1sinlim3030 xxxxxx . 0 例例7 7).21(lim222nnnnn 求求分分析析,是无穷个无穷小之和是无穷个无穷小之和时时 n221limnnn 原式原式2)1(21limnnnn

8、 )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.解解例例8 8).1(lim22nnnn 求求解解)(型型 11lim22nnnn 原式原式)(型型 nnnnn 2211lim)(分分子子有有理理化化nnnn/11/11/11lim2 .21111 nnnnnnn 22221)()1(lim例例9 9).1211(lim21xxx 求求解解)(型型 )1)(1(2)1(lim1xxxx 原式原式)0(因子因子消消)1)(1()1(lim1xxxx )(通通分分xx 11lim1.21 )00( 型型三、复合函数的极限运算法则三、复合函数的极限运算法则,)( ,)(lim (1)

9、 axgaaxgax 的局部有的局部有且在且在若若定理定理6证证.,0为例证明为例证明为有限数为有限数以以axa 使得使得 , 0 , 0 1 ;|)(| , |01 bufau恒有恒有时时当当,)(lim 0axgxx 又又,|)(|0 ,|0 , 010 axgxx恒有恒有时时当当,)( 0axgx 局部有局部有且在的且在的 , 0, 0 .)(lim 0bxgfxx ,)(lim (2)bufau .)(lim)(lim :bufxgfauax 则有则有,|0 0时时当当 xx,|)(| bxgf恒有恒有,)(limbufau 换元法换元法)(lim xfax求求)(lim xufax

10、)(xuu )(limufau axu)(,)( ,)(lim (1) axgaaxgax 的局部有的局部有且在且在若若定理定理6,)(lim (2)bufau .)(lim)(lim :bufxgfauax 则有则有例例1010.1sin)(lim,1)1(lim331 xxxxx求求解解 1lim1)1(lim3031uxux xxx1sin)(lim3; 1uuu1sinlim30. 0 例例1111).(lim,0,0,1arctan)(01xfxexxxfxx 讨论讨论设设解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x xxxexf100lim)(limuuel

11、im xxfxx1arctanlim)(lim00,2 所以左右极限存在所以左右极限存在, 但不相等但不相等,.)(lim0不存在不存在故故xfx, 0 uuarctanlim思考题思考题 在相同的变化过程中在相同的变化过程中, 若若 f (x) 有极限有极限, g(x) 无极无极限限, 那么那么 f (x) +g (x) 是否有极限？为什么？是否有极限？为什么？解答解答:没有极限没有极限假设假设 f (x)+g(x) 有极限有极限, 则由极限运算法则可知：则由极限运算法则可知：)()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误会用理论会用理论: : (1) 极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论.会用方法会用方法: :(1) 有理函数的代入法有理函数的代入法.四、小结与教学要求：四、小结与教学要求：(2) 消去零因子法消去零因子法.(3) 无穷小