高中数学曲线与方程

1、9.9曲线与方程、填空题1 .方程(xy)2+ (xy1)2=0表示的是.解析(x-y)2+ (xy 1)2 = 0?xy=0,xy 1 = 0,x=1,x= 1,或 .y=1y= 1.故此方程表示两个点.答案两个点2 .方程| y| 1 =5x12表示的曲线是.|y|-1>0解析 原方程等价于1 x120 |y|1 2= 1- x-1 2? |y|-1>0-x-1 2+ y|-12 = 1? y>1肃 y& t-x- 1 2+ y- 1 2= 1 卫 x-1 2+ y+ 12=1答案两个半圆3 .动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨

2、迹方程 为.解析 考查抛物线定义及标准方程，知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，p=2, 所以其方程为y2 8x.答案y2 8x4 .设P为圆x2 + y2= 1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q,若函入MQ其 中人为正常数)，则点M的轨迹为.解析 设 M(x, y), P(xo, yo),则 Q(xo,0),由PM= wiQ得(A 0),x x0= Xxo x , yyo=一入 yxx,y0=狂 1 y.由于 x20+y20=1,x2+( 1)2y2=1,M 的轨迹为椭圆.答案椭圆2 o5 .设P为双曲线24 y2 1上一动点，0为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M 的轨迹方程是.

3、解析设M(x,y),则P(2x,2y)代入双曲线方程即得.答案x2 4y2 16 .如图所示，一圆形纸片的圆心为 0, F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把 纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD设CD与OMfc于点P,则点 P的轨迹是.解析由条件知P阵PF. P» PF= P» P阵。阵 R>OF.P点的轨迹是以Q F为焦点的椭圆.答案椭圆7.若ABC勺顶点A(-5,0)、B(5,0) , ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则 顶点C的轨迹方程是.解析 如图AD= A98, BF= B92, C*CF,所以CA-C五8 2 = 6.根据双曲线定义，所求轨迹是

4、以 A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方 22程为弓一泊1(x>3). 9160 E li x i-322x y答案 9 16=1(x>3)8.对于曲线C：/三+；=1,给出下面四个命题:4 k k 1曲线C不可能表示椭圆；当1<k<4时，曲线C表示椭圆;若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4； 5若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<k<1其中所有正确命题的序号为.4-k>0,解析 根据椭圆和双曲线的定义，可得当 k-1>0,4“k 1,k<4,k>1即 ，5 k*2时，表示椭圆；当k<1或k>4时，表示

5、双曲线.答案， 一 ，-，、， a _ a一一9.在4ABC中，A为动点，B、C为定点，B -2, 0 , C-, 0 (a>0),且满足条一 一 _ 1件sin C- sin B= sin A,则动点A的轨迹方程是.解析 由正弦定理得AB- ACL 1 x BC, 2R 2R 2 2R-1 AB- A最2BC,由双曲线的定义知动点 A的轨迹为双曲线右支. _ 2_ 2-16x16y厂答案 W7=1(x>0且 yw0) a 3a 22一一一 x y10.已知P是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，gpF+危，则动点q的轨

6、迹方程是: 解析由五PFi+PF2,又 PF+Pfc=PMk 2磔2例1 d 1x y设qx, y),则OP= - 2O的2(x, y)= -2, -2 ,x y即p点坐标为一2,一,又p在椭圆上，x 2一“2则有一；2 4 ay 2一2K i喧24a,y 4a2+4b2=1(a>b>0)11.已知两条直线li： 2x 3y+2=0和l 2： 3x 2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都动)与11、12都相交，且11、12被圆截得的弦长分别是定值26和24,则圆心 的轨迹方程是 解析 设动圆的圆心为Mx, y),半径为r,点M到直线11, 12的距离分别为d1和d2.由弦心距、半径、

7、半弦长间的关系得,2巾d21 = 26, 2422=24,r2 d21 = 169即 r2-d22=144消去r得动点M满足的几何关系为d22d21=25,23x-2y + 3 2x-3y + 213132-=25.化简得(x+1)2 y2 = 65.此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程.答案(x+1)2 y2 = 65.x直线a+2-a=1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是解析(参数法)设直线x + t=1与x、y轴交点为A(a,0)、B(0,2 a), A、B a 2 a a a中点为 Mx, y),则 x = 2, y=12,消去 a,得 x + y=1, aw0, aw2,.xw。, xw1

8、.答案 x + y=1(xw0, xw1)13.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 .解析 在边长为a的正方体ABCDAiGD中，DC与AD是两条相互垂直的异面直 线，平面ABCDS直线DC且平彳T于AiD,以D为原点，分别以DA DC为x轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点 P(x, y)在平面ABCM且到AD与DC之间的距离 相等，|x| =曾+ a2, .x2-y2=a2,故该轨迹为双曲线.答案双曲线二、解答题14.求过直线x-2y+4=0和圆x2 y2 的圆的方程：过原点；有最小面积.解析设所求圆的方程是x2 y2 2x即 x2 y2

9、 (2 )x 2(2 )y 1 4(1)因为圆过原点，所以1 40即故所求圆的方程为x2 y2 Jx |y(2)将圆系方程化为标准式，有：(x 勺)2 (y 2)2 5(1)2245当其半径最小时，圆的面积最小，此时2x 4y 1=0的交点，且满足下列条件之一4y 1 (x 2 y+4)=0,0.140 .45 .誉为所求.5故满足条件的圆的方程是(x 4)2 (y 8)2 ?.555点评：(1)直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也 可以用待定系数法.(2)面积最小时即圆半径最小；也可用几何意义，即直线与相 交弦为直径时圆面积最小.22，一 一 x y 一 ,一一一

10、 ， 一15 .如图，椭圆C: 16+； = 1的右顶点是A,上、下两个顶点分别为 B、D,四边形OAM是夕!形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA AM的中点.Af(1)求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上;过点B的直线li, I2与椭圆C分别交于点R S(不同于点B),且它们的斜率1ki, k2满足kik2= 4,求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标.解析(1)由题意，得 A(4,0) , B(0,2) , D(0 , 2), E(2,0) , P(4,1).1所以直线DE的方程为y = x 2,直线BP的方程为y=4X + 2.y=x2,解方程组1y= 4x + 2,16 x

11、="5.6 y = 5.所以直线DE与直线BP的交点坐标为 黑6 .5 5164，所以点16,1在椭圆巳+yr=1上.5 516 4即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上.(2)设直线BR的方程为y=kd+2.y=k1x + 2,解方程组X2二16+4 =1?彳日x = 0' y=2_16k1x= - 1 + 4k；2 8k1 y=1+4k2'一 一,1628k2所以八、R的坐标为 1 + 4k； 1 + 4k2 .一，1 1因为匕仁一矛所以直线bs的斜率心一而 1直线BS的方程为y= x + 2.4ki1y=-7-x+24k1解方程组x2216+7 = 1，彳曰X2

12、y=216匕x=1+4k>8k1 一 2y1+4116k1所以点S的坐标为言kr1 十 4k18匕一 21 + 4k2 .所以点R, S关于坐标原点。对称.故R, O, S三点共线，即直线RS过定点O16 .已知圆O: x2 + y2= 2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为乎的椭圆，其左焦点为F.若点P是圆。上的一点，连接PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q（1）求椭圆C的标准方程；若点P的坐标为（1,1）,求证：直线PQ与圆。相切; 试探究：当点P在圆。上运动时（不与点A B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由.

13、解析（1）因为a=V2, e=乎，所以c=1.x22则b=1,即椭圆C的标准方程为2+y2= 1.一，一，1 因为P（1,1）,所以kPF= 2,所以ko声一2,所以直线OQ勺方程为y= 2x.又椭圆的左准线方程为x= 2,所以点Q2,4）.所以kP衿一1.又ko右1,所以koP- kP户-1,即OPL PQ故直线PQ与圆O相切.当点P在圆。上运动时，直线PQ与圆。保持相切.证明如下：设 P（x。，y0）（X°W0, ±1）,则 y2 = 2 x0,所以 kPF=, kO<Q=-.X。十 Iy。所以直线OQ的方程为y=x.y。所以点Q-2,2xo+ 2y。2x0+ 2

14、。2_y。y。一 2x0+ 2x。一2x。x。x0+ 2x0+ 2y。 x0+2y。y。'又kT，所以koP- kP= -1,即OPL PQ故直线PQ始终与圆O相切.17 .如图，在直角坐标系中，A、B、C三点在x轴上，原点。和点B分别是线段AB和AC的中点，已知A0= m(m为常数)，平面的点P满足P- PB= 6m(1)试求点P的轨迹C的方程;(2)若点(x, y)在曲线G上，求证：点x y3，2.2定在某圆G上; 过点C作直线l与圆G相交于M N两点，若点N恰好是线段CM的中点，试求直线l的方程.解析(1)由题意可得点P的轨迹C是以A、B为焦点的椭圆，且半焦距长c=m,长半轴长a

15、=3m,则G的方程为三+ *2=1.9m 8m22若点（X, y）在曲线G上，则9m+8m=1.设3=x。，22=y。,则 x = 3x。，y = 2V2y。.22x y222代入赤+8m=1，得 x0+y0=m，定在某一圆G上.一 x所以点3, 3由题意，得C(3m,0).设 M(xi, yi),则 x2+ y2=m.,xi+3m yi因为点N恰好是线段CM的中点，所以Nx-,1.xi+ 3mo yi代入g的方程得- 2+看2= mg联立，解得xi = m, yi=0.故直线l有且只有一条，方程为y = 0.18.在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(4,0) , B(4,0),动点P与点A

16、、B ，1连线的斜率之积为一-.4求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C,半径为r的圆M的圆心M在线段AC的 垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为V3r.求圆M的方程；当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.解析(1)设P(x, y),则直线PA PB的斜率分别为 k1/k2 一x+4 x-4由题意，知x+4 x414,22日x y即存+W=1(xw±4) .22所以动点P的轨迹方程是东+2 = 1(xw±4).由题意，得C(0 , 2) , A( 4,0),所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x + 3.设 M(a, 2a+3)( a>0),则。M的方程为(x a)2+ (y2a 3)2= r2.圆心M到y轴的距离d = a,由r2= d2+ "2r 2,彳3a=：.所以OM的方程为 x 22