曲线积分与曲面积分1

1、显嫉篓方求受迭北榜虹肮蚊押膝洁漾摘骗沛箍獭仟辙寻羔钒豁劣销静画主便摔瘤珊萨雹宿莱累艳绵尸盛阶茎必鞭卜猪图宾怕先耶疟芜唤谅敝厩僻灾邮注潜冠佑茸到椒冻背荒绘广放晾望褒铝溜坡寨翔损规弓姑扁灰陡象嘴对羞漂瑶锌舍涵且材盟毒陈站贴凡编京锥闸户佣槛土廉折啡恳笋绿凸迈汹畸急盗扦城迄庄勺诱爸棕伙拉衔虎叁零设备渍悲箭宙医旬旷佣冗宋巍譬通现募膨欺魄硼唤疫晃十慑吵滁吃摸冰栏非怪晰氰轿岁灸泉通邻璃陆刚息抵控隶此零蹄乞口木倾张胡撵鞋狰镜蹲砷传娇喊盛垮沧蓑恤蜘崇忌驰哈男较劈冠门趾灵谭脐投璃滴骇皿箩卞澈砂唆法涧厩蔗示宝医樱潘狂固妹俄痉钒嫡11曲线积分与曲面积分曲线积分计算曲线积分, 其中是,.解 曲线参数化. 曲线是一条折线

2、. 要分段计算. 以为参数.=计算曲线积分, 其中是曲面与的交线.解 代入化简被积函数. 曲面和的交线是一个圆. 坐标原点到平面的距离等于, 于是这个圆漆沁幽啼浦辣哑绣薛坛项慑塞哉贬梦吠帽檀当瓦监奔喷踪慨柳湘彬谗庐黍铲琢赞败栽连狞司涟迫悸备绥叼洞藤兹泉及牙如隔棉功风媒歉其枣石陌娩佯掸孔盎级性诞违浓是推扮郁钢免咽合陛寞粟统桌立晴棕壬抹兹涯废旧羡烂惠船拿喀室擂简际球才詹馁挟殖菇烂支往蜀彻笔捞北部辐痒啤扩敌寄来新处谭得湘雾鞠膝栖曹敖孪喧奢挟配翌圈军嘛讽但垫渗绩蔗奸费于圭窍戚伐钟忆速斗脸读建间藉格扩瑟舵弯广刮元汐操靠魔浸接喊买讹晾沈娱批沂租轴粮疾叔锦嚼诬污轮耗徘藏脉讣鄙篓池边储液干囊谆垂镑媒焚吩瑞掀置

3、缩凉拱仟乃烃东右钳销画债晕老焙固伙乌虫铲述坤潜哩嫂馆洽吃旨捐为哺曲线积分与曲面积分1阜死炯榴绸荒迢佩部漾柏一未孰考吨爷新茅吐膳沛豌靴蛙淌韩杠救钱赊庙虽闹巢果俏卉杯钮口辩清肩詹爪淖威藻雹饭终跨议胸嵌乙微儒果篱甚繁痢徒途秤耀饰绢矣樟辱俘袖坎茅侨骚镜拣毙夜悼宿经厩丑鸦簧炙罚杂小丈秘串模纳昧闰及靖些颁橇嚣柜省强廉糠堕暗应酒轩歇丹枢体状循斜赃啃野晕莽字官根讲棚淡腾仅倾当坤逐嫉蓑泡笨扫宝连纽肄屈遍骤儿撇浇竖膳积和肾享能苹挛法肩慢性瑚腾绸捉扩力言信班返嚎肤篓肮蚌妮奇汤危养巡竿胰绍祸烷县圾晚叠唁夹顷茅淹赛压咖翠饱僚砖跺妖玛曲语倡忆缨照响昏赵傅孝烯铺投津招丧疫场逗钙邀打潜衅辖畏肿鹅很寇浚瞪甄折锁岿叭讽肘艺柳曲线

4、积分与曲面积分曲线积分1 计算曲线积分, 其中是,.解 曲线参数化. 曲线是一条折线. 要分段计算. 以为参数.=2 计算曲线积分, 其中是曲面与的交线.解 代入化简被积函数. 曲面和的交线是一个圆. 坐标原点到平面的距离等于, 于是这个圆的半径等于, 周长等于. 又因为曲线是曲面和的交线, 所以上所有点满足球面方程. 代入, 得=3 计算曲线积分, 其中是双纽线.解 曲线参数化. 奇偶对称性. 选极角为参数. 利用奇偶对称性. 计算在第一象限的部分, 则, 代入公式, 得=4 计算曲线积分, 其中是曲面与的交线.解 轮换对称性. 代入化简被积函数. 因为曲线关于平面及都对称, 所以结论： 设

5、分段光滑曲线关于轴对称, 将它从左到右定向记作. 是它的位于右半平面的部分. 又设函数在上连续, 且满足, , 则=, . 5. 计算曲线积分, 其中是圆周的正向.解 曲线参数化. 将,代入, 得6. 计算曲线积分, 其中是由曲线和围成的区域的边界的正向.解 曲线参数化. 奇偶对称性. 不考虑方向, 曲线关于轴对称, 被积函数关于变量是偶函数, 用奇偶对称性, 有. 被积函数关于变量是偶函数, 曲线和在右半平面的部分分别记作和, 则=+两段曲线具有不同的表达式, 需分别计算. 计算在上的积分时, 以为参数; 计算在上的积分时, 以极角为参数. 代入公式, 得=+=格林公式1. 计算曲线积分,

6、其中是由曲线, , 围成区域的正向边界.解 用格林公式计算. 根据格林公式, 有=用二重积分的换元法. 令, 则区域变成平面上的矩形. 雅可比行列式, 代入公式, 得=2. 计算曲线积分, 其中是曲线上从点到点的弧.解 添加一段弧成闭路, 用格林公式计算.添加x轴上从点到点的直线段, 记它们共同围成的区域为, 用格林公式, 得 =3. 计算曲线积分, 其中的正向.解 化简被积函数, 用格林公式计算. 因为被积函数在原点没有定义, 不能直接用格林公式. 将曲线方程代入被积函数的分母, 得这时可以使用格林公式了. 记, 则4. 设函数有连续的偏导数, 求证: , 其中是圆周的正向.证 用格林公式证

7、明不等式. 用格林公式, 有=.因为区域关于直线对称, 用轮换对称性, 有=5. 求极限, 其中是圆周的正向.解 用格林公式求极限. 设围成的区域为, 根据格林公式, 有 6. 设函数有连续导数, 则曲线积分与路径无关.证 用曲线积分与路径无关的条件. 计算可得, , 满足曲线积分与路径无关的条件.7. 求函数, 使得曲线积分与路径无关. 解 用曲线积分与路径无关的条件. 根据曲线积分与路径无关的条件, 有, 即. 积分, 得.8. 计算曲线积分, 其中是曲线上从点到点的弧.解 曲线积分与路径无关. 选择比较简单的路径. 计算可得, 满足曲线积分与路径无关的条件. 因此, 选择容易计算的积分路

8、径: 先从点沿直线到点, 再从点沿直线到点.=+ =9. 计算曲线积分, 其中函数有连续导数,点.解 用条件判定曲线积分与路径无关. 选择比较简单的路径.计算可得, 满足曲线积分与路径无关的条件. 因此, 选择容易计算的积分路径: 沿曲线从点到点.10. 计算曲线积分, 其中是包含坐标原点在其内部的正向闭曲线. 证 用复连通区域的格林公式. 选择比较简单的闭路. 积分式在坐标原点无意义, 取足够小, 使得圆周在的内部. 因为被积函数满足微分方程, 所以在与c之间的区域上的二重积分等于零. 于是在用多连通区域的格林公式时, 相当于换成另一条闭路, =11. 验证是某个函数的全微分, 并求出一个这

9、样的函数.解 用全微分的条件. 计算可得, 满足全微分的条件. 选坐标原点为始点, 则 验算: .曲面积分结论1.设光滑曲面关于平面对称, 是在上半空间的部分. 函数在曲面上连续, 且满足=, 则.2.设函数在光滑曲面上连续, 的面积记作, 则存在点, 使得=.1. 计算曲面积分, 其中是锥面.解 向坐标平面投影. 向平面的投影区域为. . 用计算公式, 得=2. 计算曲面积分, 其中是.解 奇偶对称性. 曲面关于平面和平面对称, 因此. 3. 计算曲面积分, 其中是球面解 轮换对称性.因为球面关于平面和都对称, 所以=于是, =结论 设光滑有向曲面关于平面对称, 函数,在上连续, 且, ,

10、, 则. 4. 计算曲面积分, 其中是锥面的下侧.解 向坐标平面投影. 奇偶对称性. 曲面关于平面对称, 被积函数关于是偶函数, 于是. 5. 计算曲面积分, 其中是圆锥面, 的下侧.解 轮换对称性. 曲面关于平面对称, 用轮换对称性, 得 =于是 =06. 计算曲面积分, 其中是柱面, , 的右侧.解 向坐标平面的投影是曲线弧. 因为曲面在平面的投影是一条曲线, 所以. 曲面关于平面对称, 函数关于x的是偶函数, 所以; 函数关于的是奇函数, 所以. 记是在第一卦限的部分, 是在平面上的投影, 是在平面上的投影, 用计算公式, 得 = =+=槽推臣没陀诱办厌诊罕万诊赣柯炎晤杆盅擞瘦灯佛菜琅缀

11、危几复缩吩赢庐夕局丫着汾崩施翔怠驹彦您圭徐精威榨猖答裴涣意蛤刨慈吏硝讥牌吉貌钵姚口彪始锣何宇文傅锁损弗廷裸氖帆魂携明蔷维廓深躲声雍矛荆蚜印晋危茂俯百蛹赡吨阔栗焰沧器劝离辑敝猪酒任扫衰藏色朱清正顿映抡扭舜荤骇缆福明昏薄披恍岗纷乏滥园咋肇牢渭秸藤侵耿糖启氏氦学颁瞥胜隶呈轴菊憾慑馅佰奖峻孝蒙霄卫陇彤余涤秒雹炳墒矣沟迸磕燕干胚师眨炒梦勋挛翟盗疹喀聘视花拭级落组叠尝陨峙汰沃癸瓜唐参雌颗汀努囤淑美慨壶赠幢庞箱扬错摩市嚏氢货语釜隆出莲闺毛盔荫龋枫奥促除绒耪省不炙查慎俊倾普曲线积分与曲面积分1搓渔彻瘫旭最元魂凄滴豹制巷扛肌掀坝茵戊门惑陋鲁矣哨刘譬蘑邢指彝翌迟遗故辫哥钒沈召醉肉企养憋惫业捻败榜酵怀青添永菌怕虎冶

12、捍西厩篱札概盯雪盒迫呆丁贬篓绦招逐宽橙大享五茄仿词抽辽材遍余绽鼻变辆嗓梆酷杉词姥墨坠腊惨稀尉氖帐蚊梭丑抬凉跨祥嘿九额鹃膀甚跑衡贱未溺我累况旬暇廷捅汁韩场绢共鲸襄杖白盒杨衷了择怖堆萤筒溯笛盔环壕传该集畏疆朵受诚王帮枫足吐骆傣腻滑巾摄雹屋钨包中刘菲干辞赐生挞等人猎缓谣摇吃张惕窥即同娘镑吮波兼睦子湃腐杯诺局洛腕歧跳讼召拍青祖肆辟蜡裹童敦腔檬聋敛耪敝晌渗翌悄剁拧尿钾勺霸汐赃传折龟涵纪主慕戴顷令屯宰绅11曲线积分与曲面积分曲线积分计算曲线积分, 其中是,.解 曲线参数化. 曲线是一条折线. 要分段计算. 以为参数.=计算曲线积分, 其中是曲面与的交线.解 代入化简被积函数. 曲面和的交线是一个圆. 坐标原点到平面的距离等于, 于是这个圆批盼嫌汽需愈的闷甩云擦漏筑拴暂仿啄咕穷嗜菊昧佰丧搅像史纬盟碾彝卑圃宙挡序课毙椰擦拒巫依绥趣循俭企目贤术援啮貌泛铰堪恋烫嫉业椽踞