第一节导数的概念

1、经济数学-微积分教案第一节 导数的概念教学目的：理解导数的概念，了解导数的几何意义，了解可导与连续之间的关系，能用导数描述一些实际问题中的变化率。教学重点：导数的概念,导数的几何意义。教学难点：导数概念的理解。教学内容：在自然科学的许多领域中，当研究运动中的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度；而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题，所有这些问题在数量关系上都归结为函数的变化率，即导数。本节以速度问题和切线问题作为实际背景来建立导数概念。一、引例1变速直线运动的瞬时速度对于匀速运动来说，我们有速度公式：速度V=但是，实际问题中，运

2、动往往是非匀速的，因此，上述公式只是表示物体走完某一路程的平均速度，而没有反映在出任何时刻物体运动的快慢，要想精确地刻画出物体运动中的这种变化，就需要进一步计论物体在运动过程中任一时刻的速度，即所谓瞬时速度。引例1 设物体作变速直线运动，其运动方程（路程s与t之间的函数关系）为：现在要求物体在时刻t0的瞬时速度。解： 当时间由变到时，物体经过的路程为，于是比值就是物体在t0+t这段时间内的平均速度，记作, 即=.由于变速动动的速度通常连续变化的，所以从整体来看，运动是变速的，但从局部来看，在一段很短的时间内，速度变化不大，可以近似地看作是匀速的，因此当很小时,可作为物体在t0时刻的瞬时速度的近

3、似值。容易理解到，越小，就越接近于物体在t0时刻的瞬时速度，并且，当无限小时，就无限接近于物在t0时刻的瞬时速度，即.2平面曲线的切斜率在平面几何里，圆的切线被定义为“与圆只相交于一点的直线”，对一般曲线来说，能否把与曲线只相交于一点的直线定义为曲线的切线呢？比如与轴平行的直线均和曲线只相交于一点，但这些直线均不是曲线的切线，因此，需要给曲线在一点处的切线下一个普遍适用的定义。定义1： 设为曲线上一定点，在曲线上另取一点作割线，当沿曲线移动而趋向于时，若割线的极限位置存在，则称其极限位置为曲线在点处的切线。引例2 设函数的图像为曲线，为上一点，在点存在切线，试求切线的斜率。解： 记点坐标为，设

4、为曲线上另一点。与到轴的垂足分别为和，作垂直并交于，则.而比值是割线的斜率（为割线的倾斜角）当时，沿曲线直线趋于，（为切线的倾斜角），从而得到切线的斜率=.总结：以上两例，虽然它们的具体意义各不相同，但从科学结构上看，却具有完全相同的形式，在自然科学和工程技术领域内，还有许多其他的量都具有这种形式，即函数的增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限，实际上，研究这种形式的极限不仅是由于解决科学技术中的各处实际问题的需要，而且对数学中的很多问题在作理论性的探讨时也是不可缺少的，为此，我们把这种形式的极限定义为函数的导数。二、导数的定义1.函数在一点可导与导函数定义2：设函数在点的某个邻域内有

5、定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即，也可记作，或。评注： 如果定义2中极限不存在，我们说函数在点处不可导。 若令，则当时，有，故函数在处的导数也可表示为 有了导数这个概念，前面两个引例中的问题可以重述为： 变速直线运动在时刻的瞬时速度，就是路程在处对时间的导数，即.平曲线的切线斜率是曲线纵坐标在该点对横坐标的导数，即 上面讲的是函数在一点可导，如果函数在开区间内的每一个点处都可导，就称在区间内可导。这时对区间内的每一个确定的值，都对应着的一个确定导数，这样就构成了一个新的函数

6、，这个函数叫原来函数的导函数，记作或。导函数的定义式为，其中。评注：导函数也常简称为导数；若在区间内可导，则，都有。2.求导举例由导数定义可知，求函数的导数可以分为以下三个步骤：（1）求增量：；（2）算比值：；（3）取极限：.例1： 求函数（C是常数）的导数解：（1）求增量：因为，即不论取什么值，的值总等于C，所以=0；（2）算比值：；（3）取极限：这就是说，常数函数的导数等于零。例2： 求函数的导数。解：（1）求增量：y=（x+ （2）算比值：,（3）取极限： 即.更一般地有.例3： 求对函数的导数.解（1）求增量：,（2）算比值：,（3）取极限：这里，由对数函数的连续性，根据重要极限，得：

7、,即例4： 求函数的导数解： ，即 。这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。用类似的方法，可求得，这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。例5： 求函数（）的导数。解：即 。这就是指数函数的导数公式。特殊地，当时，因，故有。上式表明，以为底的指数函数的导数就是它自己，这是以为底的指数函数的一个重要特性。3左导数与右导数根据函数在点处的导数的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限 及 都存在且相等。这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作及，即，。命题：函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。如

8、果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导。评注：分段函数分段点求导数，如果在分段点左右两侧函数表达式不一样，必须先求左、右导数，然后利用命题得到分段点处的可导性。例6： 讨论在点连续性与可导性解： 在可导，当然在点连续。例7： 讨论在的可导性解： 在连续 在不可导。三、导数几何意义由引例2及导数的定义可知，函数在点处的导数等于函数所表示的曲线上在相应点处的切线斜率，这就是导数的几何意义。有了曲线在点处的切线斜率，就很容易写出曲线在该点处的切线方程，事实上，若存在，则曲线在点处的切线方程就是：.若 则切线垂直于轴，切线方程就是轴的垂线.若，则过点的法线方程是，而当时，法线为轴的垂线=.例8： 求曲线在中点处的切线方程和法线方程。解： 因为，由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率为，所以所求的切线方程为：，即.法线方程为,即.四、函数可导与连续的关系设函数在点处可导，即存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道，其中当时为无穷小。上式两边同乘以，得。由此可见，当时，。这就是说，函数在点处是连续的。所以，如果函数在点处可导，则函数在该点必连续。另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该