高中数学高考导数题型分析及解题方法(二)

1、大风起会云飞扬生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和 空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。泰戈尔导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值 。1 . f (x) x3 3x2 2在区间1,1上的最大值是22上2 .已知函数y f(x)x(x c)在x 2处有极大值，则常数c= 633 .函数y 1 3x x有极小值1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切

2、线方程31 31 .曲线y 4x x在点1, 3处的切线方程是y x 242 .若曲线f(x) x x在P点处的切线平行于直线 3x V 0,则P点的坐标为 (1, 0)43,若曲线y x的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，则l的方程为4x y 3 04 .求下列直线的方程：一.322 (1)曲线y x x 1在P(-1,1)处的切线；(2)曲线y x过点P(3,5)的切线；解.(1) 点P( 1,1)在曲线 y x3x21上，y/3x2 2x ky/|x1321所以切线方程为y 1 x 1，即x y 2 0(2)显然点P (3,5)不在曲线上，所以可设切点为A(x0，y0),则y0x。2

3、又函数的导数为y/2x,所以过A(x0,y0)点的切线的斜率为k y/|x x0 2x0 ,又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有2x0 3x0 3，由联立方程组得,x01 或 x0Vo1 y0525 ,即切点为(1, 1)时，切线斜率为2x0 10 ；所以所求的切线有两条，方程分k1 2x0 2;当切点为(5, 25)时，切线斜率为k2I 大风起今云飞扬另lj为 y 1 2(x 1)或y 25 10(x 5),即y 2x 1 或y 10x 25题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值321 .已知函数f(x) x ax bx c,过曲线yf (x)上的点P(1, f (1)的切

4、线方程为y=3x+i(I)若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；(n)在(I)的条件下，求函数 y f(x)在3, 1上的最大值；(出)若函数y f(x)在区间2, 1上单调递增，求实数 b的取值范围解.(1)由 f x3 ax2 bx c,求导数得 f (x) 3x2 2ax b.过y f (x)上点P(1, f (1)的切线方程为：y f (1) f (1)(x 1),即 y (a b c 1) (3 2a b)(x 1).而过y f (x)上P1, f(1)的切线方程为y 3x 1.3 2a b 3 Rn 2a b 0即故ac3a c 3. y 川在*2时有极值，故f ( 2

5、) 0, 4ab 12 由得 a=2 , b=- 4, c=532f(x) x 2x 4x 5.2(2)f (x) 3x2 4x 4 (3x 2)(x 2).3 x2时，f(x) 0;当 22x 1 时，f(x) 0. f(x)极大32一， 一x 鼻时，f(x) 0;3f(2) 13 又 f 4,f(x)在3, 1上最大值是13。2(3) y=f(x)在2, 1上单调递增，又 f (x) 3x 2axb,由知2a+b=0。依题意 f (x)在2, 1上恒有 f (x) >0,即 3x2 bx b 0.x当61 时,f(x)minf (1) 3 b b 0, b 6I大风起令云飞扬x b2

6、日t f (x)min f ( 2) 12 2b b 0, b当 6;22 6 1 时，所0,则0 b 6.当 b12综上所述，参数b的取值范围是°，)322 .已知三次函数f(x) x ax bx c在x 1和x1时取极值，且f( 2)4求函数y f(x)的表达式；(2)求函数y f(x)的单调区间和极值； 若函数g(x) f(x m) 4m(m 0)在区间m 3，n上的值域为4，16,试求m、n应满足 的条件. 2解：(1) f (x) 3x 2ax b ,由题意得，1，1是3x2 2ax b 。的两个根，解得，a 0，b 3.3再由 f( 2)4 可彳导 c 2f (x) x

7、3x 22 2) f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)当 x1 时，f (x) 0 ；当 x 1 时，f (x) 0 .当 1 x 1 时，f (x) 0 ；当 x 1 时，f (x) 0 .当x 1时，f (x) 0. .函数f(x)在区间(，1上是增函数；在区间1，1上是减函数；在区间1，)上是增函数.函数f(x)的极大值是f( 1) °,极小值是f4.(3)函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移 m个单位，向上平移 4m个单位得到的，所以，函数f(x)在区间3，n m上的值域为4 4m，16 4m (m 0).而 f( 3)20 ,4 4m 20 ,即 m 4

8、.于是，函数f(x)在区间3，n 4上的值域为20，0.令f(x) 0得x1或x 2 .由f(x)的单调性知，1制n 4 2,即311n 6综上所述，m、n应满足的条件是： m 4,且3制n 6.3 .设函数 f(x) x(x a)(x b)(1)若f(x)的图象与直线5x y 8 0相切，切点横坐标为2 ,且 f(x)在x 1处取极值，求实数a，b的值；(2)当b=1时，试证明：不论 a取何实数，函数f (x)总有两个不同的极值点.2解：(1)f (x) 3x 2(a b)x ab.由题意f (2)5，f0,代入上式，解之得：a=1, b=1.2(2)当 b=1 时，令f (x) 0得万程

9、3x 2(a 1)x a 0.2因4(aa 1) 0,故万程有两个不同实根x1,x2.''不妨设x1x2,由f (x) 3(x x1)(x x2)可判断f (x)的符号如下：当 x x1 时，f (x) > 0 .当 x1 x x2 时，f (x)<0.当 x x2 时，f (x) > 0因此x1是极大值点，x2是极小值点.，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的 极值点。题型四：利用导数研究函数的图象1 .如右图：是f (x)的导函数，f/(x)的图象如右图所示，则 f (x)的图象只可能是(A)(B)(Q(D)y 1x3 4x 1的图像为2

10、.函数 3( A )大风起今云飞扬70在(0,2)内根的个数为3.方程 2x3 6x2A、0题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围f(x)1.设函数13-2-2-x 2ax 3a x b,0 a 1.3(1)求函数f(x)的单调区间、极值.(2)若当x a1,a2时，恒有1f (x) | a ,试确定a的取值范围.解：(1)f (x)4ax23a = (x 3a)(xa),令 f(x) 0 得 a, x23a列表如下:(-00, a)(a,3a)3a(3a, +°0)f (x)f(x)极小极大 f(x)在3a)上单调递增，在(-°0, a)和(3a, +

11、6;°)上单调递减x a时,f极小(x),43b -a3x 3a时，及小(x) f (x)4ax 3a2 .0 a 1, .对称轴x 2a a 1. f (x)在a+1,a+2上单调递减fMax (a一221) 4a(a 1) 3a 2a 13,2 2 2,_、 一 2(a 2) 4a(a 2) 3a 4a 41| a,14a 4| a依题 I f (x) | a | fMax | a , 1fmin 1a 即 12a大风起令云飞扬4 a解得51，又 0 a 14 ,1)a的取值范围是522.已知函数f (x) =x3+ax2+bx+c在x= 3与x= 1时都取得极值(1)求a、b的

12、值与函数f (x)的单调区间 若对x 1,2，不等式f (x) c2恒成立，求c的取值范围。解：(1) f (x) = x3+ ax2+bx+c, f (x) =3x2+2ax+b2123)=94 a+ b = 031(1) = 3+ 2a+b = 0得a=2 , b= 2x2(一 ,-3)232(-3 , 1)1(1, + )f (x)十0一0十f (x)极大值极小值f (x) =3x2 x2= (3x + 2) (x1),函数f (x)的单调区间如下表:22所以函数f (x)的递增区间是(一 ，3)与(1,+ )，递减区间是(一 3,1)1222(2) f (x) = x3 2 x2 2x

13、 + c, x 1, 2，当 x= - 3 时，f (x) = 27 +c为极大值，而f (2) =2+c,则f (2) = 2+c为最大值。要使 f (x) c2 (x 1, 2)恒成立，只需 c2 f (2) =2+c,解得 c 1 或 c 2题型六：利用导数研究方程的根v 1.已知平面向量a=(3, 1).1、,3v b=(2, 2).v vvuvvvvv(1)若存在不同时为零的实数k和t ,使x = a+(t2 3) b , y =-k a +t b , x ± y ,试求函数关系式k=f；(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t) k=0的解的情况.vvvv vv v

14、v解：(1) xx y , x y =0 即a+(t2-3) b (-k a+tb)=0.v2v vv2整理后得-k a +t-k(t2-3)a b + (t2- 3) - b =01vvv2 v2ab=0,a=4, b =1, 上式化为-4k+t(t2-3)=0,即 k=4t(t2-3)11(2)讨论方程4 t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t尸4 t(t2-3)与直线y=k的交点个数.33于是 f' (t)=4(t2-1)=4(t+i)(t-i).令f' (t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f' (t)、f(t)的变化情况如下表:t(-

15、 oo , -1)-1(-1,1)1(1,+ 8)f' (t)+0-0+F(t)极大值极小值1当t= 1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2 .1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-21函数 他)=4 t(t2-3)的图象如图1321所示,可观察出：11当k> 2或k< 2时，方程f(t) k=0有且只有一解;(2)当k= 2或k=- 2时，方程f(t) k=0有两解;11 当一2 v kv 2时，方程f(t) k=0有三解.题型七：导数与不等式的综合31,设a 0,函数f(x) x ax在1,)上是单调函数.(1)求实数a的取值范围；设 x0 >1,

16、 f (x) >1,且 f (f (xo) x0,求证：f(xo) x0.22解：(1) y f (x) 3x a,若f(x)在1,上是单调递减函数，则须y0,即a 3x ,这样的实数a不存在.故f (x)在1,上不可能是单调递减函数若f(x)在1, 上是单调递增函数，则 aw 3X2,2 一由于X 1,，故3X3.从而0<aw 3.(2)方法1、可知f (X)在1,上只能为单调增函数. 若1wX0 f(X0) 则f(X0)f(f(X0)X0 矛盾，若 1wf (Xo)Xo,则 f (f(Xo)f(Xo)，即 Xof (Xo)矛盾,故只有f(X。) X0成立.方法 2 :设f(Xo

17、)u,则f(u)X03X03ax0u, u auX0,两式相减得(X(3 u3) a(X0u) uXo(X0 u)(x2XoU2u 1 a) 0,x0、0'0 > 1,u >1 ,22X0X°uu3,又0o23X0x°u:2.已知a为实数,M f (X)函数23(X 2)(X a)(1)若函数f(X)的图象上有与x轴平行的切线,a的取值范围f'( 1) 0(I)求函数f(X)的单调区间(n)证明对任意的x1、x2( 1,0),不等式I f(Xi)f (X2)|16恒成立3Q f (x) x3 解：233aX X a f '(x)22 ,3

18、x232ax 一2函数f (x)的图象有与X轴平行的切线,f'(X)0有实数解4a2a的取值范围是f'( 1) 0f '(x) 0,x2af'(X)3x213(X 2)(X 1)f'(X)0, 1 xf(x)的单调递增区间是1),( 2,);单调减区间为1，i)大风起令云飞扬2514927f( 1)f( -)f(0) 易知f(x)的最大值为8 , f(x)的极小值为216 ,又 8Mf(x)在1,0上的最大值2749m8 ,最小值 16对任意x1, x2( 1,0),恒有|f(x1) f(x2)| M m27 49581616解：设OO1为x m ,则1

19、 x 4由题设可得正六棱锥底面边长为:2。到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大?故底面正六边形的面积为:33.36 ( Q 222 (84. 8 2x x ) = 22xx2),(单位:帐篷的体积为:V (x)33(8 2x x2)3(x 1) 13(162_312x x )(单位:题型八：导数在实际中的应用1 .请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点/ 、32V'(x)(12 3x )求导得2令V'(x)0,解得x2 (不合题意，舍去)，x 2 ,当 1 x 2时，V'(x)。，V

20、(X)为增函数;当2 x 4时，V'(x) 0, V (x)为减函数。.当x 2时，V(x)最大。y (升)关于行驶速度 x (千米/答：当OO1为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为eJ13 m3。2 .统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量小时)的函数解析式可以表示为:13y x1280003x 8(0 x 120).80已知甲、乙两地相距 100千米。(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(II )当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升?解：(I)当x 40时,100汽车从甲地到乙地行驶了402.5小时,要耗没(12800033403 一 40 8) 2.5 17.580100(II )当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升,h(x)依题意得800,133(x 一 x12800080100128).xx 128015 (0 x 120),4x h'(x)640800 x3 80