单自由度系建立振动方程

1、单自由度体系建立振动方程重重 点：建立方程点：建立方程难难 点：达朗贝原理建立方程点：达朗贝原理建立方程 柔度系数、刚度系数柔度系数、刚度系数单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 自由振动自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。：体系在振动过程中没有动荷载的作用。静平衡位置静平衡位置m获得初位移获得初位移ym获得初速度获得初速度 y自由振动产生原因自由振动产生原因：体系在初始时刻（：体系在初始时刻（t=t=0 0）受到外界的干扰。受到外界的干扰。研究单自由度体系的自由振动重要性在于：研究单自由度体系的自由振动重要性在于：1 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。、它代表

2、了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。2 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性。自由振动反映了体系的固有动力特性。频率、周期、振型等频率、周期、振型等应用条件：微幅振动（线性微分方程）应用条件：微幅振动（线性微分方程）1. 阻尼力阻尼力 称为粘滞阻尼力，阻尼力与运动方向相反称为粘滞阻尼力，阻尼力与运动方向相反 )(tycfd一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括: :材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失周围介质对结构的

3、阻尼（如，空气的阻力）周围介质对结构的阻尼（如，空气的阻力）节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力通过基础散失的能量通过基础散失的能量 一、刚度法建立振动方程：一、刚度法建立振动方程： p(t) y(t) ei考虑图示单质点的振动过程。杆件的刚度为考虑图示单质点的振动过程。杆件的刚度为eiei，质点的质量为质点的质量为m, m, 时刻时刻 t t 质点的位移质点的位移y(t)y(t)考虑质点任意时刻的受力考虑质点任意时刻的受力 平衡平衡阻尼器简介阻尼器简介位移感应位移感应 电流（电压）变化电流（电压）变化 液体粘性变化液体粘性变化 磁流变阻尼器磁流变阻尼器 p线圈

4、 p普通油压阻尼器普通油压阻尼器 应用实例应用实例构造说明构造说明2. 弹性恢复力弹性恢复力 f fe e= - k y(t)= - k y(t)，k k为侧移刚度系数，弹性恢复力与运动方向相反为侧移刚度系数，弹性恢复力与运动方向相反 3惯性力惯性力 f fi i= = ，为质点运动加速度，惯性力与运动，为质点运动加速度，惯性力与运动方向相反方向相反 )(tym 4动力荷载动力荷载 p(t)p(t)，直接作用在质点上，它与质点运动方向相同，直接作用在质点上，它与质点运动方向相同 5振动方程的建立振动方程的建立 fdfefip(t)m p(t) y(t) ei 0tpfffedi tptkyty

5、ctym 例题例题1:已知，阻尼系数为已知，阻尼系数为c3112aeik aeik42adefgcei=mk1k1k2试建立体系的运动微分方程试建立体系的运动微分方程解：解：1 1）动力自由度为）动力自由度为1 1， 设设e e处的竖向位移是处的竖向位移是y(t)y(t) adefgcei=mk1k1k2y(t)adefgcei=mk1k1k2adefgcei=mk1k1k2adefgcei=mk1k1k2efgxy(t)rk1y(t)/2dxm2)考虑考虑efg部分的受力部分的受力 ltyklr2)(210)2)(20 xltxydxml由由mg=0 得：得： adefgcei=mk1k1k

6、23）考虑）考虑abde部分的受力部分的受力 由由ma=0 得得 xc /3)(ty 2k1y(t)/3y(t)dxmader0)3)(3)(3)(23)(233021 xxltydxmltykltycltyklrl由以上两式消去由以上两式消去r后整理得后整理得 0)(79)()(1534teiytycltyml m.yj.yd静平衡位置质量质量m在任一时刻的位移在任一时刻的位移 y(t)=yj+ydk力学模型力学模型.ydmmws(t)i(t)+重力：重力： w弹性力：弹性力： )()()(djyyktkyts恒与位移反向恒与位移反向惯性力：惯性力：)()()(djyymtymti wyyk

7、yymdjdj)()( (a)其中其中 kyj=w 及0jy 上式可以简化为上式可以简化为0ddkyym 或或).(.0bkyym 注意：注意：振动方程中的振动方程中的 仅仅是动力作用下产生的，不包括静位移。可认仅仅是动力作用下产生的，不包括静位移。可认为为 是从静平衡位置算起的。以后，我们也只计算是从静平衡位置算起的。以后，我们也只计算动位移动位移 ty ty例题例题2 2 试建立图示结构的振动方程，质点的质量试建立图示结构的振动方程，质点的质量m , ei=m , ei=常数常数 llm tym tkym ty原理：任意时刻受力平衡原理：任意时刻受力平衡 0tkytym kk16i/l6i

8、/l324leik k练习题练习题1解解:振动形态振动形态meameilll解解:振动形态振动形态meameiby(t)xdx022220 xlxydxmlylealyml 0bm建立振动方程，阻尼建立振动方程，阻尼器的阻尼系数为器的阻尼系数为c c 练习题练习题2 ei1= mcp(t)eiei振动形态振动形态 ei1= mllcp(t) eiei ei1= mcp(t)eiei振动形态振动形态y(t)k1k324leik )(tpkyycym li 6li6li6ym ycky)(tp例题例题3-刚度法建立方程刚度法建立方程试建立图示结构的振动方程，质点的质量都是试建立图示结构的振动方程，

9、质点的质量都是m , ei=常数常数 llp(t)质点受力质点受力：1. 惯性力，惯性力，2. 刚架的弹性恢复力，刚架的弹性恢复力，3. 动荷载。动荷载。1. 惯性力惯性力)(2tym 负号表示方向向左负号表示方向向左刚度法建立方程的依据：刚度法建立方程的依据： 质点在任意时刻受力平衡质点在任意时刻受力平衡2. 2. 刚架的弹性恢复力刚架的弹性恢复力ky侧移刚度侧移刚度k:k:质点单位侧移需施加的力质点单位侧移需施加的力11 k要求要求k, k, 就要取水平力的平衡就要取水平力的平衡y y 变形图abcdvbavdck因而，就要确定因而，就要确定2 2个柱的剪力，这就要作出个柱的剪力，这就要作

10、出结构在侧移为结构在侧移为1 1 时的弯矩图。时的弯矩图。支座水平移动单位位移下支座水平移动单位位移下引起的柱间剪力引起的柱间剪力 = k/2= k/2k/21等价问题等价问题1k问题问题=1取半结构取半结构即，即，“支座移动支座移动”结构内力的计算问题结构内力的计算问题1r6i/l6i/l4i2i6ir等价问题等价问题1位移法方程：位移法方程：r11+ r = 0 ，解得，解得 lb53vbak/23584leik 24i/5l18i/5lm图14i2i6ir1r6i/l6i/l柔度法求柔度法求 k 1 求刚架在求刚架在p=1p=1下产生的位移，再取倒数下产生的位移，再取倒数1/2用力法作出

11、弯矩图用力法作出弯矩图 4l/143l/14p=1leil8453eilk84513位移位移/ /力力柔度柔度力力/ /位移位移刚度刚度3. 振动方程振动方程 )()(584)(23tptyleitym y y 变形图abcdp(t)fefieameilll先看一个问题先看一个问题:列出振动方程列出振动方程eaeilp=12eilealllleieal32432212223质点位移由谁产生？质点位移由谁产生？ tymty 二、二、柔度法建立振动方程柔度法建立振动方程p(t)lll/2l/2例题例题4 : -柔度法建立方程柔度法建立方程ei =常数，质点质量为常数，质点质量为m,建立结构的振动方

12、程建立结构的振动方程 解：用柔度法建立方程的解：用柔度法建立方程的依据依据质点位移质点位移 y(t)，由质点惯性力与动力，由质点惯性力与动力荷载共同产生。荷载共同产生。1. 求惯性力为求惯性力为1时质点的位移时质点的位移1 p=1问题问题求位移的方法：求位移的方法：1. 用位移法求位移用位移法求位移2. 用变形体系虚功原理用变形体系虚功原理 21)(tptymty y(t) p(t) 与刚度法对应，弹性恢复力会产生位移吗？与刚度法对应，弹性恢复力会产生位移吗？用位移法求位移用位移法求位移 mp图 1m2mr1p r2p 1 r11 r21 r12 r22r1p=0, r2p= -1 , r11

13、=10 i , r21= r12= 3i/l r22=18i/l2 解位移法方程得：解位移法方程得：1=10l3/171ei 2. 求动力荷载为求动力荷载为1时在质点处产生的位移时在质点处产生的位移21mp图 1m2mr1p r2p 1 r11 r21 r12 r22用位移法用位移法解位移法方程得：解位移法方程得：2= 37l3/1368ei 3. 质点惯性力与动力荷载共同产生的位移质点惯性力与动力荷载共同产生的位移 y(t) 为：为： 21)(tptymty mtptymleity80)(37101173 y(t) p(t)能否用刚度法求解能否用刚度法求解?p(t) lll/2l/2建立方程

14、的依据：建立方程的依据：时刻时刻t t 结构体系受力平衡结构体系受力平衡注意：动荷载不作用在质点上，注意：动荷载不作用在质点上，怎么考虑受力平衡？怎么考虑受力平衡？考虑振动过程中考虑振动过程中, ,由动载及惯性力产生结点转角与位移，由动载及惯性力产生结点转角与位移，用位移法的思想建立方程用位移法的思想建立方程r1p= -p(t)l/8 , r2p= - p(t)/2 +my/, r11=10 i , r21= r12= 3i/l，r22=18i/l2 当结点转角为当结点转角为，水平位移为，水平位移为y y（t t）时）时mp图 1m2mr1p r2p p(t) r11 r21 r12 r22f

15、i 02)(08)(22211211tptymtyrrltptyrr mtptymleity80)(37101173 mp图 1m2mr1p r2p p(t) r11 r21 r12 r22fi练习题练习题3llmeillmeiym kyk 为梁提供的弹性恢复力系数为梁提供的弹性恢复力系数-刚度系数刚度系数振动方程：振动方程：0 kyym k1k的意义k1kv左v右065liil56li 5/18li 5/63524leik rir5i 4i 2ikrli 6li 6lir6llmeieaeieaei共同形式的振动方程：共同形式的振动方程：0 kyym eaeillmeieaei杆长都是l三杆并联刚度三杆并联刚度:lealeik324eaeik1li