时域离散信号和系统的频域分析

1、1时域离散信号和系统的频域分析the frequency-domain analysis of the discrete time signal & system2内容提要时域离散信号的傅里叶变换周期序列的傅里叶级数序列的z变换讨论z变换的定义和收敛域逆 z变换z变换的定理和性质系统的频率响应系统函数的零极点分布特殊系统的系统函数及特点3v信号和系统的分析方法：时域分析和频域分析v模拟信号：连续时间函数表示信号，微分方程表示系统，ft或lt表示其频域v时域离散信号：序列表示信号，差分方程描述系统，ft或z变换表示其频域42.2.1 时域离散信号的而f(j)的傅里叶反变换定义为： 连续时

2、间信号f(t)的傅里叶变换定义为：5时域离散信号x(n)的傅里叶变换定义为 x(ej)的傅里叶反变换定义为 在物理意义上，x(ej)表示序列x(n)的频谱，为数字域频率。 x(ej)一般为复数，可用它的实部和虚部表示为或用幅度和相位表示为 ()( )jj nnx ex n e(2.2.1) 6例2.9 求下列信号的傅里叶变换 解： 时域离散信号的傅里叶变换具有以下两个特点：(1)x(ej)是以2为周期的的连续函数。(2)当x(n)为实序列时，x(ej)的幅值| x(ej) |在02区间内是偶对称函数，相位argx(ej)是奇对称函数。7note：并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。

3、条件：只有当 序列x(n)绝对可和，即时，式(2. 2.1)中的级数才是绝对收敛的，或x(n)的傅里叶变换存在。 8(1) ft的周期性 2.2.2 时域离散信号傅里叶变换的性质(2)()( ),jjm nnx ex n en, m为整数 (2.2.6)因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数， 周期是2。 x(ej) 是傅里叶级数的形式， x(n)是其系数。 (2) 线性 设则9(3) 时移和频移特性 设则0000( ()()( )()j njjnjft x nnex eft ex nx e (2.2.8) (2.2.9) (4) 序列的折叠 设则10(5) 序列乘以n 设则(6) 序列的复共轭

4、 设则11(7) 序列的傅里叶变换的对称性 首先定义两个对称序列： 共轭对称序列xe(n)，定义为xe(n)=xe*(-n)；共轭反对称序列xo(n)定义为xo(n)=-xo*(-n)，此处上标*表示复共轭。 其中 共轭对称序列的实部是偶函数， 而虚部是奇函数 共轭反对称序列的实部是奇函数， 而虚部是偶函数12序列的傅里叶变换x(ej)可以被分解成共轭对称与共轭反对称两部分之和，即 其中13v ft的对称性 (a) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行ft， 得到 x(e j)=xe(e j)+xo(e j) 式中 结论：序列分成实部与

5、虚部两部分， 实部的ft具有共轭对称性， 虚部和j一起对应的ft具有共轭反对称性。 14(b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.25) 其中： 1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn15将上面两式分别进行ft，得到 ftxe(n)=1/2x(ej)+x*(ej)=rex(ej) =xr(ej) ftxo(n)=1/2x(ej)-x*(ej)=jimx(ej) =jxi(ej)结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着ft的实部xr(ej)， 而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着

6、ft的虚部（包括j）。 所以：x(ej)=xr(ej)+jxi(ej) (2.2.26)16v分析实序列h(n)的对称性 ft只有共轭对称部分he(ej)，共轭反对称部分为零。 h(ej)=he(ej) h(ej)=h*(e-j) 实序列的ft的实部是偶函数，虚部是奇函数， 用公式表示为 hr(ej)=hr(e-j) hi(ej)=-hi(e-j) 17v实序列h(n)分解为共轭对称部分和共轭反对称部分h(n)=he(n)+ho(n)则： he(n)=1/2h(n)+h(-n) ho(n)=1/2h(n)-h(-n) 因为h(n)是实因果序列( )eh n (0),01( ),021(),02

7、hnh nnhnn(2.2.27) 18( ),01( ),021(),02h onh nnhnn( )oh n (2.2.28) 实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)= he(n)u+(n) (2.2.29) h(n)= ho(n)u+(n)+h(0)(n) (2.2.30)2,01,00,0nnn( )u n(2.2.31)19(8) 序列的卷积 设则(9) 序列相乘设则20(10) parseval定理 2212jnx nx ed 帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。212.3 周期序列的离散傅里叶级数设 是以n为周期的周期序列， 由于是周期

8、性的， 可以展成傅里叶级数2( )jknnkkx na e(2.3.1)( )x n其基波频率为：用复指数表示：第k次谐波为：22由于是周期序列，且k次谐波也是周期为n的序列：因此，对于离散傅里叶级数，只取下标从0到n-1的n个谐波分量就足以表 示原来的信号。这样可把离散傅里叶级数表示为 式中，乘以系数1/n是为了下面计算的方便； 为k次谐波的系数。23将上式两边乘以 22211111()0000011( )nnnnnjmnjmnjk m nnnnnnkknx n ex k ex kenn 2jmnne21()0,0,njk m nnnn kmekm由复指数序列的正交性：所以， 210( ),

9、njmnnnx kx n ek 24210210( ) ( )( )1( ) ( )( )njknnnnjknnnx kdfs x nx n ex kidfs x kx k en(2.3.6)(2.3.7) 得到周期序列的离散傅里叶级数表达式：如果将n当作时间变量，k当作频率变量，则第一式表示的是时域到频域的变换，称为dfs的正变换。第二式表示的是频域到时域的变换，称为dfs的反变换。由于故 是周期为n的离散周期信号。周期序列的信息可以用它在一个周期中的n个值来代表。252.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式0( )jtax te00()( )2()jtj taaxjft x teedt (2

10、.3.8) 假定其ft的形式与(2.3.8)式一样，但由于n取整数， 下式成立00(2),jnjr neer 取整数模拟系统中，令0( )jnx ne时域离散系统中，令26说明：复指数序列的ft是在02r处的单位冲激函数，强度为2，如图2.3.2所示。因此e j0n的ft为00()2(2)jnjrx eft er (2.3.9) 0jne若上述假定成立，则按照式(2.2.4) 的逆变换必须存在， 且唯一等于 ， 下面进行验证。27图 2.3.2 的 ft 0jne280jne001()()2jnjjj nex eedift x e( )x n2( )/)jknnx xn e22( )/(2)r

11、x knkrn 观察图2.3.2， 在区间， 只包括一个单位冲激函数， 等式右边为 ， 因此得到下式：结论：证明了式(2.3.9) 是ej0n的ft.对一般周期序列 ， 按式(2.3.4) 展开dfs， 第k次谐波为其ft为29式中k=0, 1, 2 n-1, 如果让k在之间变化，上式可简化成102( )2() ( )(2)njkrx kx eft x nkrnn 21022()( ) ()( )( )jknjknnnx ex kknnx kx n e (2.3.10) 因此 的ft如下式( )x n30 表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换 31例 2.3.3 令 ， 2/0为有理数， 求其

12、ft。 解： 将 用欧拉公式展开0( )cosx nn( )x n00000001( )2()cos12 (2)(2)2(2)(2)jnjnjrrx neex eftnrrrr (2.3.11) 按照式(2.3.9) ， 其ft推导如下： 32图 2.3.4 cos0n的ft 0 0 0x(ej)22332.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 v 模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式()( )1( )()2j taaj taaxjx t edtx txjedt (2.4.1)(2.4.2) 其中，t与的域均在之间。34v 连续信号和采样信号v 采样信号 和连续信号xa

13、(t)的傅里叶变换之间的关系( )() ()aanxtx nttnt( )axt1()()aasnxjxjjkt 35v 时域离散信号x(n)， 或称序列x(n)： x(n)=xa(nt) n取整数，否则无定义。 vx(n)的一对傅里叶变换用式(2.2.1)和式(2.2.4) 表示： ()( )1( )()2jj nnjj nx ex n ex nx eed36v 讨论x(e j)与xa(j)的关系 数字频率与模拟频率(f)之间的关系1()()2j ntaax ntxjed(2.4.4) (21)/(21)/1()()2rtj ntaartrx ntxjed 将t=nt代入式模拟信号的傅里叶变

14、换式中， 得到并将其表示成无限多个积分和，每个积分区间为2/t37 令 ， 代入上式后， 再将用代替， 得到2rt /2/12()()212()()2n tj ntjrnaatrn tj ntaatrx ntxjr eedtx ntxjr edt 式中， 因为r和n均取整数， e-j2rn=1， 交换求和号和积分号得到(2.4.5) 38v若序列是由一模拟信号取样产生， 则序列的数字频率与模拟信号的频率(f)成线性性关系， 即： =t 式中t是采样周期t=1/fs， 将其代入式(2.4.5)得到 112()()212()()j naarjarx ntxjjr edtttx exjjrttt现在

15、对比(2.2.4)式和(2.4.6)式， 得到(2.4.6) (2.4.7) 39v结论：序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系， 与采样信号的ft和模拟信号的ft之间的关系一样，都是xa(j)以周期s=2/t进行周期延拓，且在频率轴上进行归一化（ 对 归一化）。频率轴上取值的对应关系用式(1.2.10) 表示。 fsf40图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系0.5 100.510.5 100.510.5 100.51 fs2sffsff 2s2sf2sss0002241v例 2.4.1 设xa(t)=cos(2f0t)， f0=50 hz，以采样频率fs=200 hz对

16、xa(t)进行采样， 得到采样信号 和时域离散信号x(n)， 求xa(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的ft。解： ( )axt( )axt0002200()( )cos212 (2)(2)aaj tjf tjf tj txjft x tf tedteeedtff (2.4.8) 42以fs=200 hz对xa(t)进行采样得到采样信号 ， 按照式(1.5.2) ， 与xa(t)的关系式为 ( )axt( )axt0( )cos(2) ()anxtf nttnt 的傅里叶变换用式(1.5.5) 确定， 即以s=2fs为周期， 将xa(j)周期延拓形成， 得到： ( )axt4300()( )1() (2)(2)aaasksskxjft xtxjjktkfkft (2.4.9)将采样信号转换成序列x(n)， 用下式表示： x(n)=xa(nt)=cos(2f0nt)按照式(2.4.7) ， 得到x(n)的ft，