相似三角形综合题练习

1、相似三角形综合题练习类型一 相似三角形中动点问题例1：如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？变式：如图，在ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为2单位/秒，有一动点Q从C沿CA移动到A，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，PQA与BCA相似.例2：如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q

2、两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t2时，判断BPQ的形状，并说明理由；（2）设BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR/BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，APRPRQ？ 变式：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第t秒时，EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的

3、取值范围.（3） 若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由例3：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高为4动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t（秒）（1）当MN/AB时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，MNC为直角三角形变式：如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，D=90o，ACBC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时

4、以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)（1）求证：ACDBAC；（2）求：DC的长；（3）试探究：BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由例4：如图，在ABC中，ABBC5，AC=6. ECD是ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QRBD，垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；当线段BP的长

5、为何值时，PQR与BOC相似？变式：如图，在RtABC中，A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQ=x，QR=y（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；ABCDERPHQ（3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由类型二 结合坐标系的解析几何例1：如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6），B（8，0），P从A开始在线段AO上以每秒1个单

6、位长度的速度向O移，同时Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移，设P，Q移的时间为t（s）当t为何值时，APQ与AOB？并求出此时P与Q的坐标 变式：如图，已知直线的函数表达式为，且与轴，轴分别交于两点，动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为秒OPAQByx（1）求出点的坐标；（2）当为何值时，与相似？（3）求出（2）中当与相似时，线段所在直线的函数表达式例2：已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90°，点A、C的坐标分别为A(-3,0)，C(1,0)， ,

7、（1）求过点A、B的直线的函数表达式；（2）在X轴上找一点D,连接DB，使得ADB与ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得APQ与ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由ACOBxy变式：如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足（1）求点，点的坐标（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接

8、写出点的坐标；若不存在，请说明理由 例3：如图直线y=-x+10与x轴、y轴分别交于A、B两，P从A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原O运动直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EFx轴），并且分别与y轴、线段AB交于E、F（当A运动到O时，直线EF随之停止运动）连接FP，设P与直线EF同时出发，运时间为t秒（1）当t=1秒时，求APF的面积；（2）设t的值分别取t1、t2时（t1t2），所对应的三角形分别为AF1P1和AF2P2试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断；变式：如图，A的坐标为（1，1），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过C作C

9、Dx轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF连接AF并延长交x轴的正半轴于B，连接OF，若以B，E，F为顶的三角形与OFE相似，则B的坐标是类型三 动态几何中的相似例1、在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，1=2=45°（1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB图2ADOBC21MN图1ADBMN12图3ADOBC21MNO求证：AC=BD，ACBD；（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值变式：已知在RtABC中，ABC90º，A30º，点P在AC上，

10、且MPN90°.当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PEAB于点E，PFBC于点F，可证tPMEtPNF，得出PNPM（不需证明）当PCPA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明例2：等腰ABC，AB=AC=8，BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时求证：BPECFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情

11、形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F探究1：BPE与CFP还相似吗？（只需写出结论）探究2：连接EF，BPE与PFE是否相似？请说明理由；设EF=m，EPF的面积为S，试用m的代数式表示S作业练习：1.如图，四边形ABCD中，ADCD，DABACB90°，过点D作DEAC，垂足为F，DE与AB相交于点E.（1）求证：AB·AFCB·CD（2）已知AB15cm，BC9cm，P是射线DE上的动点.设DPxcm（x0），四边形BCDP的面积为ycm2.求y关于x的函数关系式；当x为何值时，PBC的周长最小，并求出此时y的值. 2. 如图所示，在ABC中

12、，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x.（1） 当x为何值时，PQBC？（2） 当，求的值；（3）APQ能否与CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由。3.已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P，Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.(1)填空：菱形ABCD的边长是 ，面积是 ，高BE的长是 ；(2)探究下列问题：若点P的速度为每秒1个单位

13、，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值.若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值. 4将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD(1)填空：如图1，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.(2)请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图2，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，保持ABD不动，将ABC向x轴的正方向平移到FGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，FBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围.EDCHFGBAPyx图102DCBAE图14在直角坐标系中，点A(5，0)关于原点O的对称点为C（1）请