随机振动地震分析

1、随机结构激励模型及随机振动反应分析结构在服役期间，必将受到各种荷载的作用。对于建筑结构，在服役期间不 可避免的会受到风力的作用，而且甚至会受到地震的作用；海洋上的结构，如海 上风力发电高塔，海洋平台等，会受到海洋波浪的作用；行驶在路面上的车辆， 由于路面的不平顺使得车辆受到动力作用； 飞机在飞行中由于大气的自由流动也 会受到扰动。这些作用在结构上的荷载，不仅随着时间发生变化，而且具有明显 的随机性。而对于随机动力荷载下结构响应的问题，确定性的动力分析无法考虑随机性，随机振动理论应运而生。equation chapter 1 section 1随机振动的物理数学基础早在 30年代已基本奠定。18

2、27年brown对悬浮在 水中微小花粉粒子杂乱运动的观察，为最早的系统对随机激励响应的实验研究。19世纪后期maxwell和boltzmann用统计方法描述系统可能状态和达到的概率， 但没有考虑统计随时间的演化。1919年rayleigh用“随机振动” 一词描述一等 价于平面随机行走的声学问题。用随机方法研究动力学行为始于1905年，einstein从理论上解释了 brown运动，1915年smoluchowski扩展了 einstein的结果 并进行实验研究。1908年langevin导出含有随机项的微分方程，成为随机微分 方程的第一个例子，fokker于1915年、plank于1917年、

3、k o ji m o r市1931b 年、伊藤于1946年都对随机微分方程的研究作出贡献。1933年a h a p。等应b 用随机微分方程讨论随机扰动下一般动力系统的运动。1920年taylor引入相关函数概念，wiener于1930年和x n h q# 1934年分别建立了谱的理论，这些数 学工具首先应用于通讯和控制系统而不是结构和机械的强度分析，因为工程技术尚无此要求。随机振动的研究始于 50年代中期。由于喷气和火箭技术的发展在 航空和航天工程中提出一系列问题，如大气湍流引起的飞机颤振，喷气噪音导致 的飞行器表面结构声疲劳，传动系统中滚动件不光滑而啮合不完善的损伤积累， 火箭推进中运载工具

4、有效负载可靠性等，都促使研究者运用已有数学工具，并借鉴这些工具在通讯等学科中的应用以解决面临的工程问题。miles于1954年和powell于1955年分别研究了飞行器结构颤振损伤积累的时间无规和空间涨落。1955年morrow和muchmore把谱分析引进随机振动并建立了结构随机响应等基 本概念。1957年erigen研究了连续体的随机振动并讨论振型相关性。1958年crandall主编随机振动的出版标志着随机振动这一振动力学分支的诞生。60年代以来，随机振动在应用和理论方面都发展迅速。振动测试技术是随机振动应 用的前提。在70年代之前基本采用模拟式仪器。由于计算机技术的迅速发展及1965年

5、cooley和tukky发明快速fourier变换算法，70年代以来数字式测试设备广泛采用。在此基础上系统的识别与诊断及随机振动实验技术有很大发展，应用范围也愈来愈广泛，由飞机和火箭扩展到汽车、船舶及高层建筑、海洋工程结 构等。在理论研究中，非线性随机振动备受重视。1959年caughey研究提出随机等效线性化方法，而该方法在 1954年便被booton应用于控制系统。1961年 crandall 建立随机摄动法。1966 年以后，stratonovich、khasminskii、papanicolaou 与kohler等发展了随机平均法。结构随机振动分析，一方面要研究随机激励模型，地震、海浪

6、、风等荷载形 式都是极为复杂的，模拟这些随机动力荷载，即要掌握大量的数据资料，也要把 握其内在的物理机制，这些工作都不是轻而易举能够解决的；另一方面研究随机振动分析方法。对于线性的结构，由于服从叠加原理，能够较为容易的解决。而 非线性结构，对于实际的结构，即使是确定性的动力问题，都是难以求解的，随 机振动更是困难。1.随机结构激励的一般模型随机激励的一般模型可分为平稳模型和非平稳模型两种。平稳模型就是平稳 随机过程。结构随机激励的平稳模型记为 fs(t),则fs(t)的均值是常数、相关函 数只依赖于时间差，即mfs (t)= mfs , rfs(t1,t2)= rfs(t) (t = t2-

7、t1)(1.1)当mf(t)=0时，fs(t)的相关函数与其谱密度sf(w)之间有如下关系：rfs()=:生('甘 d-；-(1.2)1sfs( ) = - .:;rfs( )e d即rfs和sfs构成fourier变化对。当mf)1 0时，fs(t)的协方差函数 展与其sfs(。)之间有上述关系式(1.2)。对于结构随机激励的平稳模型，我们只要知道它的均值和相关函数、或者均值和谱密度就可完全确定这个模型的统计特性。在确定具体的结构随机激励平稳 模型时，我们总是根据大量的实测时程曲线去统计确定均值和相关函数的具体表 达形式、或者均值和谱密度的具体表达形式，二者只要知道其中一个，即可由关

8、系式(1.2)求得另一个。不同的平稳随机模型主要反映在相关函数或谱密度的具体 表达形式上的不向。结构随机激励的平稳模型就是非平稳随机过程，可以分为两类：均匀调制非平稳模型和调制非平稳模型。(1)均匀调制非平稳随机模型：这种随机模型又称为可分离式非平稳随机模 型，它可以表示为确定性函数与平稳随机过程的乘积，即f«)= f(t)fs(t)(1.3)式中f (t)是表示随机激励非平稳特性的确定性函数；fs (t)是平稳随机过程。假定用英型(1.3)中f(t)的均值mf (t)= 0因此,平稳随机过程fs(t)的均值m,(t)= 0。 对于均值不为零的非平稳随机激励f'(t),我们取

9、f(t)= f'(t)- mf,(t),从而有模型 (1.3)的形式。当已知fs(t)的相关函数rid或者谱密度&侬)时，非平稳随机干 扰f (t)的相关函数和谱密度可容易地求得为rf(t)= f & )f，2 )rs(t) (1.错误!未找到引用源。)2sf( ) = f t sfs( )(1.5)与平稳随机模型类似，非平稳随机模型的统计特性也完全由其均值和相关函 数或者是均值和谱密度所确定。在工程实际中，为了建立起这种随机激励的非平 稳模型，在大量实测记录统计分析的基础上，首先合理确定平稳随机过程rfs(t)统计特性一一相关函数或者谱密度，其次合理确定反映该随机干扰

10、非平稳待性 的确定性函数f(t)。(2)调制非平稳随机模型：这种非平稳随机模型可以表示为 ¥ ,f(t)= 0? a(t,w)e-lwtdz(w)(1.6)式中a(t,w)是时间t和频率w的确定性函数，称为调制函数；z(w)是均值为零的正交增量过程，它通过下式与某个平稳过程 rf«)联系起来: s(1.7)隹 2|z(w)= sfs (w)dw式中sfs(w)是fs的谱密度。这里假定模型(1.6)中f)的均值mf (t)= 00对于均值不为零的非平稳随机激励f'(t),总可以取f(t)= f'(t)- mf.(t),从而有模型(1.6)的形式。调制非平稳随机

11、模型的相关函数和谱密度可分别表示为rf (32)= 61 a(ti，w)a* (t2,w)sfs (w)ew(t2-tl)dw(1.8)，、 ，、2 ，、 ，一sf (t,w)= a(t,w) sfs (w)(1.9)式中*表示复共腕。因此，调制非平稳随机模型的统计特性完全由调制函数 a(t,w)和平稳过程fs (t)统计特性一一相关函数或谱密度完全确定。1.1.脉动风速随机模型风荷载是高耸结构(如烟囱、电视塔、输电线塔和桅杆等卜高层建筑、大跨 和桥梁结构等的主要荷载。作用于结构的风力主要与风速有关。脉动风速的随机模型：实测资料表明，在一次大风过程中，在风速最强的时 段内，任意固定高度处的风速

12、总是围绕其平均值平稳地变化， 因此，风速v(乙t)可 以分解为两部分：平均风速va(z)和脉动风速vd(z,t),即风速可以表示为v(z,t)= va (z)+ vd (z,t)(1.10)平均风速沿高度的变化规律一般符合指数律或对数律。(1)指数律：根据实测结果的分析，davenport等人提出的指数律可以表示 为(1.11)"s式中zs和uas分别是标准高度及标准高度处的平均风速；a是地面粗糙度(指数律用)。地面粗糙的程度愈大，a亦愈大。(2)对数律：根据近地风速摩擦层的理论研究和实测结果的分析，tah a h h等人提出的对数律可以表示为(1.12)va (z) = lnz-

13、lnz0vas1nzs- 1nz°式中z0是风速等于零的高度，随地面粗糙程度而变化，因而也称为地面粗糙度(对 数律用)。地面粗糙的程度愈大、z0愈大。脉动风速是随机的，可以用随机过程来表示，而且大量的实测分析结果表明， 它是平稳随机过程，且由(1.10)知，脉动风速的均值是零。利用风速实测记录统计确定脉动风速的相关函数或谱密度的方法通常有两种：一种是将强风记录进行相关分析直接得到相关曲线，然后通过曲线拟合求得相关函数的具体表达形式；另一种是将强风记录通过超低频滤波器直接得到谱曲 线，然后通过曲线拟合求得谱密度的具体表达形式。1.2.地震地面运动的随机模型由于地震发生、震源机制、传播途

14、径与场地条件等因素的随机性，使观测地震动加速度时程具有显著的随机性。 地震动的随机性包括两个层面：一是地震活 动的随机性，地震活动性指的是地震活动的时、空、强度和频度的规律；另一层 面是地震动过程的随机性。基于随机过程理论研究地震动源于真实强震记录的获 得，1947年housner针对强震记录所表现出的强烈不规则性，提出用随机过程 理论解释和描述地震动的加速度时程。至今，已有多种随机地震动模型提出。按 所提出的随机地震动模型平稳与否，可以将现有的描述地震动随机性的方法归纳 为平稳地震动随机模型和非平稳地震动模型。鉴于非平稳模型的不成熟性，在此只讨论平稳模型。(1)时域平稳模型1947年，hou

15、sner提出用平稳脉冲序列模拟真实地震动， 假定地震动加速度 可以简化成一系列集中脉冲的集合，每个脉冲的大小一定，但到达时刻是随机的， 其分布是均匀的。加速度的表达式为：ag(t)= ? vd(t- t)(1.13)i式中，ag(t)为t时刻的加速度，v表示集中速度脉冲，d(t)为dirac函数， ti表示第i个脉冲的到达时刻。尽管这个模型存在着一些问题，但作为一个开创 性工作是值得充分肯定的。goodman等推广了 housner的概念，仍然假定地震动 加速度为一系列集中脉冲，但不仅每个脉冲的到达时刻是随机的， 而且大小也是 随机的。彼此独立，有相同的分布。时域平稳模型只能在现象上获得和真实

16、地震 动相似的时间序列，但是真实地震动的特征，如能量在频域的分布等，无法通过 这种方法体现。因此，在工程上时域平稳模型没有得到广泛的应用。(2)频域平稳模型和时域上模拟相比，在频域上进行地震动模拟的研究更为活跃。 针对地震动 加速度时程功率谱并不是常数这一特点，kanai提出了过滤白噪声模型。他假定基岩传来的地震波是白噪声，基岩上的土层为单自由度体系，求这个单自由度体 系的绝对加速度功率谱，并用这个谱来模拟地表加速度功率谱。谱的表达式为：sa (w)=(1.14)式中，wa,xa分别为场地土卓越频率和阻尼比，s0为白谱强度，这个谱具有 g g单峰形状。后来tajimi用上式求解了建筑物结构的最

17、大反应。1964年，housner 和jennings根据美国若干地震动记录确定了 kanai公式中的参数，并证明了无阻 尼速度反应谱和功率谱有近似关系。由kanai-tajimi模型可容易地得到地面运动速度和位移的功率谱函数(1.15)(1.16)2sv(w) = w sa (w)4，、sx(w) = w sa(w)但是，当w=0时，sv(w)和sx(w)出现明显的奇异点，它使地面速度和位移 无界，这显然是与实际不符合的。为了克服这一缺点，胡聿贤和周锡元引入一低频减量风，提出一种修正模型:sa(w)=42wg + (2xgwgw)(w2-2、22w ) + (2xgwgw)njwsk n n

18、 s0w + w c(1.17)式中，$0为白噪声功率谱密度;x为地基过滤器阻尼比；w为地基过滤器圆频 g g率；wc为低频减量；n为参数,取46。为了保持kanai-tajimi谱的原有特征, 低频的模型：ruiz和penzien建议了另外一种削减sa(w)= 一 (1-22 w1+ 4xg wg4 w4 w122示2w、2“ 2 ww、22) + 4xg2 (1 -2) +ww wgg12 so “ 2 w 4天2w1(1.18)其中，频率参数w和阻尼参数x1是为了给出所需要的过滤特征而选择的。针对过滤白噪声模型无法反映基岩加速度频率特性的问题，松岛丰在过滤白噪声模型的基础上，将基岩地震动

19、的谱密度由白噪声过程修正为马尔柯夫有色 谱：sa (w)=2 w21+ 4xg2wg2(1- w2)2+wg2/ 2 w 彳4xg 2 1 +wg1 s2 s0w2wh(1.19)式中，wh是反映基岩特性的谱参数，可取为 wh = 8p (rad/s),这一模型仍然有 kanai谱同样的缺点，即地面速度和位移的方差无界。由上述随机地震动模型可以看出，以平稳过程功率谱密度函数描述的随机地 震动模型的发展，实际上是一个基于白噪声模型或过滤白噪声的改进过程。同时应该指出，过于复杂的模型形式并没有在本质上改善模型精度，反而是形式最简 单的kanai-tajimi模型应用最广泛。虽然，该模型积分将使地面

20、速度和位移功率 谱无界，但是由于现在更多的将随机振动问题转化到时域处理，该缺点已经显得无足轻重。但是，当w= 0时，sv(w)和sx(w)出现明显的奇异点，它使地面速度 和位移无界，这显然是与实际不符合的。2 .线性体系随机振动的反应分析2.1. 单自由度体系的随机振动 时域分析(20)单自由度体系的运动微分方程为：mu&t) + ci&t) + ku(t) = p(t)式中m为质量，c为阻尼，k为刚度，p(t)为外力，u(t)为质点位移响应。将上 式两边同除以m ,可写成常用的标准形式，&t) + 2%w1i&t) + w：u=f(t)(21)式中：w1= j

21、k,单自由度体系的自振频率; mxi =c2 *m，阻尼比；f(t) =p(t)m单位质量的外激励。对于大多数工程结构而言，x1 = 1 ,此时方程的解为:> j.1 t- xw (t- t ),u(t)= 蟒(t)h(t- t)dt = o f(t)e 11( ,sinw1(t- t)dt (22)式中：1- x w th(t) =:e 1 1 sinw1,t ? 0(23)必数学期望:(24)¥eu(t)= 0? ef(t- ti)h(ti)dt1自相关函数:ru(ti，t2)= eu(t)u(t2)= 蝌 ？ ef(ttjft- t2)小(t，小(t2)dtidt2(25

22、)=蛆? rf(l - tj- ti)h(ti)h(t2)dtidt2由以上两式，只要输入 ef(t- t1)、rf(t1 - t1,t2- t2)已知，通过脉冲响应函数h(t),即可求出有关的值。如果f(t)为平稳随机过程，则ef(t- t1)及rf(t1- t1,t2- t2)与t无关，通过积分后，仍然与t无关，即输入是 平稳的，输出亦是平稳的。同理，输入如是各态历经的，则输出亦是各态历经的。频域分析在时间域计算统计值一般比较复杂，常涉及繁琐的积分运算，因而常把它变 换到频域中去，可有一定的简化。利用维纳-辛钦关系式可得频域的功率谱密度 为：sx(w)=12p-iwt 一o? ruedt?

23、1- iwt2"蝌? ? rf(t + ti- t2)h(ti)h(t2)edtidt2dtpiwt- iwt蝌 h(ti)e dtig ? h(t2)e2dt 2g? ? sf (w)eiwtdt(26)¥o?h (i w) sf(w)eiwtdw式中:¥(27)(28)-iwth (iw) = 0? h(t )e dt6? h (i w)eiwtdw1h(t)= -2ph (i w)是h(t)的傅立叶变换。h(t)是系统对于单位脉冲函数(即6函数)的 响应，称为脉冲响应。因此h(iw)亦有相应的意义。实质上，因为 h(iw)是f(t -s会由 即f(t) =

24、eiwt = 1时、系统的位移响应u(t),因此，如设输入f(t)= eiwt时，系统的平稳响应为：y(t) = h(iw)eiwt(29)h(t)是系统对于单位脉冲函数的响应，称为脉冲响应，表征着时域内的响应特性，如果取f(t)=eiwt = 1时的系统的位移响应，表征着频域内的响应特性， 一般我们称它为系统的频率响应(或频率响应函数)。因此线性系统的特性可以 用脉冲响应或者频率响应来表示。当系统输入 f(t)时，通过h(iw)的传递可得出 输出的响应，对于位移响应u(t)来说，它表示了振幅的放大率，因此频率响应函 数也常称为传递函数。对于单自由度体系：传递函数可表示为：1h (i w) =

25、 -2 w1 - w + i 2xw1w(30)输入f (t)为白噪声时的响应(31)当输入f(t)为白噪声时，其功率谱密度应为：sf (w) = s0- ? w<由于很多物理现象如地震等，可以用白噪声近似地来表达，它具有很简单的 功率谱，即功率谱密度为常数，如公式(31)所示，所以是理论分析经常利用的平 稳随机过程的一个重要的数学模型。位移响应的功率谱密度可以表示为：2su(w) = h (iw) sf(w)由于eu = 0,所以方差值等于均方值，即:s2 = du = eu2 = ru(0)=¥q? su(w)dw=2 6 ?w1dw(33)pso2xw132.2. 多自由

26、度体系的随机振动(34)多自由度体系的振动方程应为:m&&+ cu&+ ku = p(t)(35)(36)最常用的解法是振型分解法，由于它具有正交性，因而根据需要，用很少几项, 就能有效的描述所求的位移响应。设位移按振型分解为：u = <dq式中中为振星，q为广义坐标。将上式代入(34),并利用正交性，可以得到：mq&+ cq&+ kq = p (t)式中：m =tm ，c=tc，k =tk，p (t)=tp(t)(37)上式中m、c、k、p依次表示广义质量、广义阻尼(设为瑞雷阻尼)、广义刚度、 广义荷载，除p外其它矩阵均为对角矩阵。根据对角矩阵的

27、特点，上式可以变成 若干个振型计算结果的叠加。对于第j个振型，上式为：mjqj cjqj y=pj(t)(38)或：.2pj(t)qj 2 j ,瓶=j=fj(t)(39)m j对于n个自由度的体系，这样的独立方程共有n个。对于位移响应，由式(35),可得：nu(t)- j z qj(t)(40)j i为了表示广泛起见，对于某处任何响应量 r(z,t)可表示为：nr(z,t) ='、aj(z)qj(t)(41)j i式中aj(z)为第j个振型，的响应函数，它等于第j个振型上的惯性力m j«j2*j (z) 所引起响应量。经简化可得到：n¥(42)r(z,t) = ?

28、 aj(z)fj(t- ti)hj(ti)dti j = i'n ¥r(z,t+ t)= ? ak(z) 6, fk(t + t - t2)hk(t2)dt2 k= 1- -因此，自相关函数可表示为：rr(z,t) = er(z,t)r(z,t + t)旦< n . ?(43)= 遛 蝌 ？入化小甲行 +t/t2)hj3)h<2)dtidt2j = 1 k=1相应的谱密度公式为：c1¥- iwtsr(z,w) = 丁 0 rr(z,t)e dt2p 3?1 n n?= 丁蝌遛 ? ? aj(z)ak(z)rfjfk(t + ti- t2)hj(ti)h&

29、#171;2)e iwtdtidt2 2p - j= i k=in niwt,- iwt c= 逋aj(z)ak(z)蝌 %(tje dti/卜匕"dt 2j=i k=ii ¥ - 一、-iwt3 rg2p o? rfjfk(t 3)edt 3n n= 遛aj(z)ak(z)hj(- iw)hk(iw)sffk(w)j=i k=ij(44)对于小阻尼体系，由振型j产生的响应同振型k产生的响应几乎是独立的。这样, 上式中各交叉项都相对地小，可以略去。这样就只保留脚标相同的各项，得：n2sr(z,w)? ? aj hj(iw)j = 12sff(w)j j(45)式中sff(w

30、)常写成sf (w) 0 j jjsff (w)根据fj(t)的定义可求得： 'j' kjspp(w)fjspp(w)fjsf f (w)=fjfkmmmmj kj k式中：l sp p (w)1 nl spp (w)2nm ml spp (w) n nfj = fj1,fj2,l ,fjntspp(w) 二i ip (w) 1p (w)1mp (w)1sp p (w)1 2spp(w) 厂2厂2mspp(w)nr2(46)(47)得到功率谱密度sr(z,w),根方差sr就可以容易的写出了，具值为各个振型影响 的叠加，即：22.2sr = .sr1 + sr2 + l + sr

31、ni蝌 a2hl(iw)(sf(w)dw +a 2,-,? a2 h 2(iw) s(w)dw + l(48)22+ o? an hn(iw) sfn(w)dw当系统受到多个集中力或分布力输入同时激振时，除了给出各个输入的功率谱密度或相关函数外，还必须给出各个输入之间的互谱密度或互相关函数。 只有 各个输入毫不相关而独立时，才可按各个输入分别求出响应，然后叠加。3 .非线性体系随机振动的反应分析严格地说，结构体系的振动总不同程度地具有某种非线性， 只是在小变形的 微幅振动下大多数体系的非线性特征不明显， 我们可以较好地用线性的模型来捞 述。但是，对于大变形振动或本身含有非线性元件的体系振动，我

32、们必须用非线性的模型来描述，并探讨非线性反应分析的相应方法。 结构非线性振动的反应分 析比线性的情况要复杂和困难得多.根本的原因是叠加原理对非线性振动不适 用。由于这个原因，致使对线性振动反应分析非常有效的duhamel积分法和振型分解法对非线性振动都不适用。 此外，线线性随机振动还有一大困难，就是体 系在正态型随机下，由于非线性的影响，反应也不一定是正态型的。这就使得我 们不能由反应的二阶统计量来直接得到反应的概率分布。理沦上，对于非线性随机振动，当体系的状态反应是 m a p k通程矢量时， 出于反应的转移概率密度满足 fpk方程，因此，在一定的初始条件下，我们可 以通过求解fpk方程来得

33、到反应的概率密度，这种方法称为fpk方程法。但是, fpk方程的解析解只对很少一类问题才能求得，止匕外，也只有在体系的干扰是白 噪声或过滤白噪声的情况下，状态反应才是 ma p k通程矢量，因此，人们为了 揭示一般的非线性随机振动的运动规律而不得不寻求其它的近似方法。非线性随机振动分析的基本方法主要有 fpk方程法、统计矩截断法、随机摄动法和随机 等价线性化法。3.1. fpk方程法由于单自由度和多自由度非线性体系在白噪声或过滤白噪声激励下随机振 动的运动方程都可以化成ito)型状态微分方程：(49)y&(t)= f (t),t)+ g(y (t),t)w (t)(t?t;y (t0)

34、 y 0或y0)所以体系的状态反应y (t)是矢量ma p k试程。因此，y (t)的转移概率密度满 足fpk方程。考虑非线性随机振动的一般状态方程(49),令体系状态反应y (t)的转移概率密度为p(y,t y。上)，满足如下fpk向前方程:?pi=1yiaky，t)p +n n2? 732 i=i j=i w %jy，t)p(50)式中导出矩ai (y,t)和aj(y,t)(i,j = 1,2,n )与体系的状态方程(49)有关，其 具体表达式为：a (y,t)= fi (y,t) aij(y ,t)= 2 gdg t(51)( = 1,2. n)(i j = 1,2. n)其中是fi(y

35、,t)矢量函数f (y,t)的第i个分量；g = g (y,t) ； d = ps , s是矢量白噪声w (t)的谱密度矩阵；|dgt jj是矩阵gdgt的第i行、第j列的元 素。fpk方程(50)的初始条件有两种情况：1)当状态方程(49)的初始条件y 佃)=y0(52)是矢量随机变量时，则fpk方程(50)的初始条件是p(y,t y。,t0)t=t0 = p(y。乙)(53)式中p(y0,t。)是矢量随机变量y0的联合概率密度。2)当状态方程(49)的初始条件y (t°)= y0(54)是矢量常量时，则fpk方程(50)的初始条件是p(y,t y。,t0)t=t0 = ?od(y

36、i- yi0)(55)fpk方程(50)的边界条件由分布在整个实轴上的概率密度的基本性质确定，即p(y,t y。，t0,=饱=0(i = 1,2,., n)(56)由于状态矢量y (t)的转移概率密度p(y,t y0 ,t0)是从体系运动的初始状态y (t0)= y0转移到x (t)= x的概率密度，因此1)当状态方程是式(54)那样的确定性初始条件时，p(m y0 ,t0)就是体系状态 欠量y (t)的概率密度。2)当状态方程是式(52)那样的随机初始条件时，则体系状态矢量y (t)的概率 密度可由全概率公式求得为¥p(y，t)= o? p(y,t y。,to)p(y0lyy。(5

37、7)特别地，当体系的状态方程(49)中 fy qt)二 f(t)，g (y (t),t)= g (y (t)不显含t时(如通常的非线性随机振动那样)，则由式(51) 知，导出矩ai (y,t)= ai (y) aij (y,t)= aij (y)与1无关。在这种情况下，当t变大 时反应y (t)趋于平稳。平稳状态反应y (t)的转移概率密度p (y,t y0,t0)= ps (y) 与初始条件和时间都无关，并满足如下稳态的 fpk方程：n 抖左女 n n 2-蹲方副丫 )ps(y) + 2 1?1 v?taj(y，t)ps(y )= 0(58)i= i yi2 i = i j = i yi y

38、j因此，稳态的fpk方程的求解只需要边界条件.平稳状态反应y (t)的转移概率密度ps(y )与初始条件无关，显然，ps(y )就 是y (t)的平稳概率密度；止匕外，由于ps(y)与时间t无关，因此。y (t)还是严格 平稳的。状态矢量y (t)的概率密度能完整地反映体系状态运动规律的随机信息，由 它可以求得y (t)的各阶统计矩。非线性随机振动的 fpk方程法就是要通过求解 体系的状态矢量或扩充了的状态矢量(在过滤白噪声激励下)的fpk方程来得到 状态矢量或扩充了的状态矢量的联合概率密度。因此，从理论上来说，fpk方程法是非线性随机振动分析最严密、 最完美的方法。然而，遗憾的是，ppk方程

39、的 精确解对于非线性体系的非平稳反应只是在少数一阶体系的情况下才能得到；即使对于平稳反应的情况，也只有少数几类特殊的单自由度和多自由度体系才能得 到。因此，对于比较一般的非线性随机振动问题，还只能用近似的分析方法。3.2. 随机等价线性化方法随机等价线性化法是非线性确定性振动的等价线性化法对随机问题的推广。 它的基本思想是把受随机激励的非线性体系的运动方程用一个等价的线性方程 来近似，然后使两个方程之差的误差项的某种量度最小的原则来确定等价线性方 程中的参数。这种方法既适用于弱非线性体系， 也适用于强非线性体系，在工程 实际中应用较广，是目前解决工程结构非线性随机振动问题最有效的方法。考虑如下

40、单自由度非线性体系(59)(60)mx&+ g (&x)= f (t) x (0) = x(0)= 0式中激励f (t)是任意的随机过程。设与方程(59)等价的线性方程为mx&+ cex&+ kex = f (t) x (0) = x&(0) = 0其中的参数ce和ke称为等价线性阻尼和等效线性刚度，它们要选择得使构造的等 价线性方程“最优”地逼近原来的非线性方程 (59)的解。因此，现在的中心问题 就是要在某种准则下“最优”地确定参数ce和ke。一旦这些参数确定，我们就可 以用线性随机振动的理论通过求等价线件体系的反应来作为原非线性体系的近 似反应。令

41、e(t)表示原方程(59)和等价的线性方程(60)之差的误差项，即e(t)= g(x,x)- cex&- kex(61)误差项e(t)是一个随机过程。为了使误差最小，等价线性化通常的准则是使误差 过程e(t )的平方的期望最小，并按此准则来确定参数 ce和ke o由式(61),得e(e2)= ei(x，x&)-cex&- kex2(62)根据多元函数求极值的方法，可以证明使e2e (e2)取极小的充分必要条件是-e£)=0ke(63)利用这个条件并注意期望与导数的可交换性，得e|g(x,x)- cee(&2)- kee(xx)= 0e|g(x，x)-

42、cee-)- kee(x2)= 0以上方程联立求解，可得所要求的参数(64)cece3畸”)-e(xx)咋")ef)e(x2)- i(xx)；£件卢丽(人旭)-上。呼母6%)e(x2)e(x2)- i(xx)2(65)用式(65)确定参数ce和ke时，需要知道等式右边的那些期望值。在不作任何假设的情况下，这些期望值是很难求得的，们为它们一月要求知道x(t)和登)的 联合概率密度p(x,t;x&t),这是未知的。当激励f (t)是平稳过程时，一般在平稳反应的状态下来确定等价线性体系的阻尼ce和ke 。在这种情 况下，由于平稳位移和速度反应互不相关，即e (x (t)x

43、&t)= 0 ,于是式(65)变成cee(x2)(66)(68)(69)(70)(71)在随机等价线性化中，通常用等价线性体系反应的联合概率密度代替原非线 性体系反应的联合概率密度来确定式(65)或(66)(中的那些期望。因此，当激励是 正态非平稳或乎稳过程时，由等价线性方程(60)可容易地确定反应*«)和姿)的 联合概率密度px&(x,x),然后将其代人式(65)或(66)求期望，即可求得等价阻尼ce 和ke。当f (t )是零均值的正态过程(可以是严稳或非平稳的)时，假定g(x,x)满足正 态截断法的条件，令tty =仅诙 = x,x(67)则式(64)可以写成e

44、 翻 )y t - 1 臌 t =0 可求得e !(y )t =e翻 gy)e yy t将式(69)代人式(68),两边右乘e - 1篇丫 t，得|ece =e|y g(y)即式(71)右端的期望可以重复利用正态截断法降阶，直到表示为x和)&的一阶矩、二阶矩和二阶联合矩的函数。由于激励 f(t)的均值是零，因此，x和x的一阶矩 (均值)也为零，而它们的二阶矩和二阶联合矩可容易地由等价线性方程(60)求得。由于式(65)、(66)和(71)右端的那些期望是由等价线性方程(60)求得的.因此，这些期望表达式个总含有ce和ke。为了求得ce和ke的具体值，一般需用选代法求解。对于非平稳随机干

45、扰的情况，由式(65)或(71)可明显地看出，由于ce和ke, 直接与反应的统计矩有关，而非平稳反应的统计矩是时间 t的函数，因此，体系 的等价阻尼和刚度ce = ce(t)和ke=ke(t)是随时间变化的。这时等价阻尼和刚度 以及体系反应统计矩，需要从t1= dt的离散时刻起骤迭代求解，一直算到所需 要的时刻tk = kdt。由单自由体系就可以清楚了解随机等价线性化方法，多自由体系求解不再赘述。3.3. 随机摄动法随机摄动法是非线性确定性振动的摄动方法对随机问题的直接推广，它可用来确定弱非线性体系受随机激励的近似反应的统计矩。考虑如下单自由度非线性体系mx&+ c0x&+ k

46、x + eg (x, x) = f (t)(72)式中e= 1, f(t)是正态平稳随机过程。按照摄动法的基本思想，假设方程(72)的解可以展开成参数e的幕级数：(73)x(t)= xo(t)+ exl(t)+ e2x2 (t ) +将g(x,x&)在x0和x0附近展成talyor级数后，把式(73)代入方程(72),令e的同事 次项相等，则得如下一系列线性方程：mx% + c(x)+ kx。= f (t)mx&+ c0x& + kx1 = - g(x0,x%)(74)(75)8 o庙(xo，x%)g(xo，x&lmx& + c + kx = -x -x

47、&f q 2 拣01 x&m令是线性微分算子m 工+cd+kdt2 dt的单位脉冲反应，则方程(74)的解可以按顺序依次求得，其平稳解可以表示为 tx0(t)= 0? h(t- t)3 (t)dt txi(t)= - o? h(t- tg(x0(t),x&(t)dt(76)m于是，体系反应x(t)的统计矩可由式(73)和(76)求得。由式(73),得反应均值ei(t)二 £翩)3|«)+&|«)+.(")式中eio(t)= o h(ti(t- t)dtei(t) = y¥h纥g(x0(t- t)，x&(t

48、- t)dt(78)m其中e jg(x0,x&)可按正态截断法降阶后由xo(t)和x&(t)的前二阶矩表示出来，也 可按如下求期望的公式计算：ei(x0,)&)=蝌 ? g(xo,>&>(x0,x0)dx0d>&(79)由于假定激励f (t)是正态过程，所以反应x0(t)和&(t)也是正态过程，因此它们的平稳联合概率密度p(x0,x&,)由它们的一阶和二阶矩唯一确定。 这些一阶和 二阶矩可由式(76)的第一式容易地求出。由式(73)得反应的相关函数为e (< (t)x(t + t )= e (x0(t)x0(t+ t)+ ee (x0(t)xi (t