第二十一讲齐次线性方程组解的结构

1、1 1 1第四讲第四讲 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质二、齐次线性方程组基础解系及其求法二、齐次线性方程组基础解系及其求法第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2 2 2一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质1.回忆：线性方程组解的理论 )(有解元非齐次线性方程组bxannm1若若nbarar ),()(, 则方程组有无穷解.),()(barar若若nbarar ),()(,则方程组有唯一解,其中，充分必要条件是系数矩阵的秩r(a)n. 元齐次线性方程组 amn x=0 有非零解的 (2)n充分必要条件

2、是系数矩阵的秩r(a)=n.元齐次线性方程组 amn x=0 只有零解的n3 3 32.解向量的概念设有齐次线性方程组组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若记,aaaaaaaaaamnmmnn 212222111211 nxxxx21（1）4 4 4则上述方程组可写成向量方程.ax0 1212111nnxxx ,若若为方程为方程 的的解，解，0 ax则则 121111nx 称为方程组（1）的解向量解向量，它也就是向量方程（2）的解(2)5 5 53齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 21 x,x0 ax

3、21 x0 ax也是 的解.证明 02121 aaa0021 a,a.axx的解的解也是也是故故021 6 6 6证明： .kkaka0011 证毕. .分析：方程组(2)(2)的全体解向量所组成的集合记为s s，如果能求得解集s s的一个最大无关组:0s, ,21r 则方程（2 2）的任意解都可由, 2211rrkkkx 都是方程（2 2）的解。因此上式就是方程（2 2）的通解。最大无关组 线性表示；0s的性质，最大无关组 的任何线性组合0s（2 2）若 为 的解， 为实数，则，则1 x0 axk1 kx 0 ax 也是 的解反过来，由解向量7 7 7基础解系的定义二、基础解系及其求法二、基

4、础解系及其求法如果解系 ，的解；线性表出。的基础称为齐次线性方程组（2 2） ,21r 的一组线性无关是方程（2 2） ,21r （1 1）的任一解都可由 ,21r （2 2）方程（2 2）也即： ,21r 是方程（2 2）解集的最大无关组8 8 8rrkkkx 2211结论：结论：0ax为齐次线性方程组如果 ,21r 的通解可表示为那么的一组基础解系0,ax.,21是任意常数其中rkkk9 9 9 2.基础解系的求法 求解 n元齐次线性方程组 amn x=0的基础解系 及通解的步骤（设r(a)= rn）：1. 用初等行变换把 a 化成行最简形矩阵b；3. 令 n - r 个自由未知量分别取如

5、下n-r组值：2. 写出 a的行最简形矩阵b所对应的方程组 bx=0；1，0，0； 0，1，0； 0，0，1.101010的基础解系.1 122,n rn rxccc所得到的n r个向量记为12,.n r 就是方程组 12,n r .,21 是任意常数其中n-rccc0ax 4. 写出通解:111111例例1 1 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解.解解111125327731a对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简形矩阵，有a求齐次线性方程组11112210754701410831rrrr 1212121111075401410811110754014108322111107540000rr 13423423,77 54.77xxxxxx便得111172015 74 70000r 102 73 712015 74 70000rr 131313,100143 及及令令xx,7473757221 及及对应有对应有xx,107473,01757221 即得基础解系即得基础解系141414).,( ,107473017572 21214321rccccxxxx 并由此得到