线性代数ppt课件

1、用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112

2、112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aaaaaaaad 数数aij(i=1, 2; j=1, 2)称为行列式（称为行列式（5）的元素或元。元素）的元素或元。元素aij的第一个下标的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第称为行标，表明该元素位于第i行第二个下标

3、行第二个下标j称为列标，表明该元素位于第称为列标，表明该元素位于第j列。位于第列。位于第i行第行第j行列的元素行列的元素称为行列式（称为行列式（4）的（）的（i，j）元。）元。11a12a22a21a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211abab

4、d .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababd .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babad 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababddx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaddx . 12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223 d)4(3 , 07 112121 d,14

5、 121232 d,21 ddx11 , 2714 ddx22 . 3721 二、三阶行列式二、三阶行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的. .323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列

6、式的计算322113312312332211aaaaaaaaa d333231232221131211aaaaaaaaad . .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaad 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 2 2. . 三阶行列

7、式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .2-43-122-4-21d 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 d4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxd, 652 xx解得由0652 xx3.2 xx或或一、概念的引入一、概念的引入引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三

8、个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有6123 利用了乘法原理（讲课时加以解释）利用了乘法原理（讲课时加以解释）.二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数同的排法？同的排法？，共有几种不，共有几种不个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列把把 n问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.nn 个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常

9、用用 表示表示.nnp由引例由引例1233 p. 6 npn )1( n)2( n123 !.n 同理同理 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序. nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.例如例如

10、 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.例例4 4 求排列求排列32514

11、的逆序数的逆序数.解解在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1; 5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1;3 2 5 1 40 1 0 3 1于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为13010 t. 5 （补充例题）例（补充例题）例1 1 计算下列排列的逆序数，并计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性讨论它们的奇偶性. 217

12、9863541解解453689712544310010 t18 此排列为此排列为偶排列偶排列.54 0100134 321212 nnn解解12 ,21 nn当当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,4 kkn当当 时为奇排列时为奇排列.34 , 24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn1 n 2 n kkkkkk132322212123 解解0 t kkk 21112,2k 当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，k当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.k1 1 2 kkk 112 kkkkk0 1 1 2 2 k2 2 排列具有奇

13、偶性排列具有奇偶性.1 1 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n!.n三、小结三、小结一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaad 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下

14、标排列例如例如322113aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 211312 t322311aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号 ,负号负号 .)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaadaaannnn212222111211212.)1(21 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由定义定义).det(

15、ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaad212121212122221112111 说明说明1、行列式是一种特定的算式、行列式是一种特定的算式;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn5、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 4

16、、 的符号为的符号为nnpppaaa2121 .1t （补充例题）例（补充例题）例1 1计算对角行列式计算对角行列式0004003002001000分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例例2 2（类似第（类似第7 7页例页例6 6） 计算上计算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa000222112

17、11分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解nnnnaaaaaa00022211211（补充例题）（补充例题）例例3?8000650012404321 d443322118000650012404321aaaad .1608541 （注：第（注：第7页例页例6）同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa321222111

18、00000.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4（第（第7 7页例页例5 5） 证明证明对角行列式对角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记,1, iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 证毕证毕n 211 、行列式是一种特定的算式、行列式是一种特定的算式.2、 阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决定

19、列的逆序数决定.nn!n三、小结三、小结已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系数的系数求求 x思考题解答思考题解答解解含含 的项有两项的项有两项,即即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 4334221112341aaaat 443322111aaaat ,1344332211xaaaat 343342211123421xaaaat . 13 的系数为的系数为故故 x一、对换的定义一、对换的定义定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两

20、个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab二、对换与排列的奇偶性的关系二、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. . 由定理由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,知推论成立知推论成立.

21、证明证明而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),因此因此 nppptnaaad21211 定理定理2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为n其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数. .tnppp21定理定理3 3 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为n nnqpqpqptaaad22111 其中其中 是两个是两个 级排列，级排列， 为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和. .nnqqq,ppp2121nt例例1 1 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.;)1(651456423123a

22、aaaaa.)2(256651144332aaaaaa解解651456423123)1(aaaaaa431265的逆序数为的逆序数为012201 t, 6 所以所以 前边应带正号前边应带正号.651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa行标排列行标排列341562的逆序数为的逆序数为列标排列列标排列234165的逆序数为的逆序数为400301 t所以所以 前边应带正号前边应带正号.256651144332aaaaaa256651144332)2(aaaaaa6400200 t 1. 1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇

23、偶性变奇偶性2.2.行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法 nppptnaaad21211 nnqqqtaaad21211 nnqpqpqptaaad22111 三、小结三、小结其中其中 是两个是两个 级排列，级排列， 为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和. .nnqqq,ppp2121nt思考题思考题证明证明 在全部在全部 级排列中级排列中 , ,奇偶排列各占奇偶排列各占一半一半. . n 2 n思考题解答思考题解答证证 设在全部设在全部 阶排列中有阶排列中有 个奇排列个奇排列, , 个偶个偶排列排列, ,现来证现来证 . . nstts 将将 个奇排列

24、的前两个数对换个奇排列的前两个数对换, ,则这则这 个奇排个奇排列全变成偶排列列全变成偶排列, ,并且它们彼此不同并且它们彼此不同, ,所以所以ss. ts 若将若将 个偶排列的前两个数对换个偶排列的前两个数对换, ,则这则这 个偶排列个偶排列全变成奇排列全变成奇排列, ,并且它们彼此不同并且它们彼此不同, ,于是有于是有tt. st 故必有故必有. ts 一、行列式的性质一、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. tdd记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa d2121nnaa

25、annaaa2112 tdnnaaa2211证明证明 的转置行列式的转置行列式记记ijaddet ,212222111211nnnnnntbbbbbbbbbd , 2 , 1,njiabjiij 即即按定义按定义 .1121212121 nppptnpppttnnaaabbbd 又因为行列式又因为行列式d可表示为可表示为 .12121 nppptnaaad故故.tdd 证毕证毕 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .设行列式设行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbd 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地

26、位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的, ijaddet ji,于是于是 njinpjpipptbbbbd1111 njinpipjpptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1为为自自然然排排列列其其中中nji.1的逆序数的逆序数为排列为排列njippppt,11tppppnij的的逆逆序序数数为为设设排排列列则有则有即当即当 时时,jik, ;kpkpab 当当 时时,jik, ,ipjpjpipabab 例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行

27、列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 d,dd ,111tt 故故 .11111daaaadnijnpjpippt 证毕证毕,571571 266853.825825 361567567361266853 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所

28、有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaad)()()(2122222211111211 则则d等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和

29、：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaad 122211111122211111例如例如性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如 例例（类似第（类似第12页例页例7）2101044614753124025973313211 d二

30、、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 d3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 132rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr

31、133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式（第（第12页例页例8的推广）的推广）nabbbbabbbbabbbbad 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 d将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 23111131111311113 d abbbabbbabbbbna1111)

32、 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna例例3 3（第（第1313页例页例9 9）dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbad 3610363234232计算计算解解 从第4行开始，后行减前行：cbabaacbabaacbabaadcbarrrrrrd 363023200122334cbabaacbabaacbabaadcbarrrrrrd 363023200122334baabaacbabaadcbarrrr 300200023344340002000aabaacbabaadcbarr 注注1：当把几个运算写在一起时，运算次序

33、一定不能颠倒，这是因为后一次运算是作用在前一次运算结果上的缘故。;1221badbcarrdcdbcarrdcba 例如例如;2112bdacdbcarrbdacbarrdcba bdacdbcarrrrdcba 1221再例如再例如这样的运算结果是这样的运算结果是错误的。错误的。注注2：运算运算ri+rj与运算与运算rj+ri是有区别的，同样不能把是有区别的，同样不能把记号记号ri+krj写作写作krj+ri 。例例4 4（第（第1414页例页例1010）nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaad1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaad ,)de

34、t(11112nnnnijbbbbbd .21ddd 证明证明证明证明;0111111kkkkkpppppd 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11dkrrdji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22,dkccdji .0111112nnnknqqpqqd 设为设为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppd 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对dkccnkrrkdjiji, nnkkqqppd1111 故故.21dd ,2ddccbbaadn 例例5

35、 5（第（第1515页例页例1111）计算计算2n阶行列式阶行列式其中未写出的元素均为其中未写出的元素均为0。dcdcdcbababa0000000000000000dcdcbabadcbadcdcbabadcba0000000022 n22 n,00000000)1()22(22ddcbacbadcbadnn 由上例的结果，可得由上例的结果，可得解解 把把d2n中的第中的第2n行一次与第行一次与第2n-1行、第行、第2n-2行、行、第、第2行对调行对调（共做（共做2n-2次相邻对换）次相邻对换），再把第，再把第2n列一次与第列一次与第2n-1列、第列、第2n-2列、列、第、第2列对调列对调（

36、共做（共做2n-2次相邻对次相邻对换）换） ，得，得)1(2)1(222)( nnndbcadddd依次作递推公式，即得依次作递推公式，即得nnnnnbcaddbcaddbcaddbcadd)()()()(21)3(23)2(222 (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6个性质个

37、性质,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij

38、1 nija.mij ，记记ijjiijma 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaad 44424134323114121123aaaaaaaaam 2332231ma .23m .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 i

39、jijaad niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaad .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaad21222211100 根据第根据第14页例页例10，即有即有.1111mad 又又 1111111ma ,11m 从而从而.1111aad 再证一般情形再证一般情形, 此时此时nnnjnijnjaaaaaaad1111100 ,1,2,1行对调行对调第第行行第第行行行依次与第行依次与第的第的第把把 iiid得得 nnnj

40、nnijiiijiaaaaaaad1, 1, 11 , 11001 ijaija,1,2,1对对调调列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjjd得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaad1, 11, 1, 1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ijaija中的余子式在行列式元素nnnjnjnnjnijijiijinijijiijinjjjijijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa11111111111111111

41、11111111110000,ijaijannnjnjnjnnijijijiiijnijijijiinjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa11111, 1, 1111 , 111, 11111 , 1111111110000 中的余子式中的余子式ijm相同相同故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaad1, 11, 1, 1001 .1ijijijijjiaama 于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijma ijaija定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式

42、乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiaaaaaad 2211 ni, 2 , 1 证证nnnniniinaaaaaaaaad212111211000000 二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiaaaaaa 2211 ni, 2 , 1 例例1（第（第18页中间的计算）页中间的计算）3351110243152113 d03550100131111115 312 cc 34cc 05511111

43、15)1(33 055026115 5526)1(31 .40 12rr 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxd 12xx , )(12 jijixx）式成立）式成立时（时（当当12 n例例2 （第（第18页例页例12）证明范德蒙德证明范德蒙德(vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxd)1(，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(001111121323122211331221131211221111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

44、xrxrrxrrxrdnnnnnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi )()()(211312jjininnxxxxxxxxd ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,aaaaaajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnj

45、jaaaaaaaaaaaa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jadij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaaaaa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiaaaaaajninjiji 同理同理).(, 02211jiaaaaaanjnijiji 相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,22111jijiddaaaaaaaaijnjnijijinkkjki当当当当 ;,jijiddaaaaaaaaijjninjijinkjkik当当02211

46、1 .,0,1jijiij当当，当当其中其中为了更好的利用代数余子式的性质，下面给出两个公式：为了更好的利用代数余子式的性质，下面给出两个公式：inniinnnniinniinabababaaaabbaaaa 22111,11 ,11,11 ,1111njnjjnnjnnjnnnjjabababaabaaaabaa 22111,1,111,111,111（1）（2）例例3 （第（第21页的例页的例13） 设设3142313150111253 d解解 按（按（1）式可知）式可知a11+a12+a13+ a14等于用等于用1,1,1,1代代替替d的第的第1行所得的行列式，即行所得的行列式，即d的的

47、(i,j)元的余子式和代数余子式依次记作元的余子式和代数余子式依次记作mij和和aij，求求a11+a12+a13+ a14及及m11+m21+m31+ m41。314231315011111114131211 aaaa01122251100112022501111111334 rrrr4205200120252112 cc4131211141312111aaaammmm 0010313150111251314131315011125134 rr03115015012311501121)1(31 rr按（按（2）式可知）式可知 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则

48、是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. ;,0,. 21jijiddaaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiddaaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中三、小结三、小结 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组设线性方程组,21不全为零不全为零若常数项若常数项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;,21全为零全为零若常数项若常数项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次与

49、齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念一、克拉默法则一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaad212222111211 0 .ddx,ddx,ddx,ddxnn 232211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jddjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaad11111111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 1二、重要定理二、重要定理定理定理1 1 （注：第（注：第24页定理页定理4） 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解, ,且解是唯且解是唯一的一的 . . 1 1, 0 d定理定理2 2 （注：第（注：第24页定理页定理4）如果线性方程组如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. . 1齐次线性方程