空间解析几何与向量代数习题课

1、第七章 空间解析几何与向量代数习题课1、主要内容2、经典例题一、主要内容一、主要内容（一）向量代数（一）向量代数（二）空间解析几何（二）空间解析几何向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积混合积混合积向量的积向量的积向量概念向量概念（一）向量代数（一）向量代数1 1、向量的概念、向量的概念定义定义: :既有大小又有方向的量称为既有大小又有方向的量称为向量向量.自由向量自由向量、 相等相等向量、向量、 负负向量、向量、向径向径.重要概念重要概念:零向量零向量、向量的向量的模模、单位向量单位向量、平行平行向量、向量、(1) 加法加法：cba 2 2、向量的线性运

2、算、向量的线性运算dba ab(2) 减法减法：cba dba (3) 向量与数的乘法向量与数的乘法：设设 是是一一个个数数，向向量量 a与与 的的乘乘积积 a 规规定定为为 , 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa 向量的分解式向量的分解式：),(zyxaaaa .,投投影影轴轴上上的的分分别别为为向向量量在在其其中中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,向量的向量的坐标表示式坐标表示式：向量的向量的坐标坐标：zyxaaa,3 3、向量的表示法向量的表示法

3、向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 222|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式)1coscoscos(222 4 4、数量积数量积 c

4、os|baba 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角(点积、内积点积、内积)zzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式5 5、向量积向量积 sin|bac 其其中中 为为 a与与 b的的夹夹角角 c的的方方向向既既垂垂直直于于 a， 又又垂垂直直于于 b， 指指向向符符合合右右手手系系. (叉积、外积叉积、外积)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式ba

5、zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 6 6、混合积混合积直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系（二）空间解析几何（二）空间解析几何x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o1 1、空间直角坐标系空间直角坐标系空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyxxyoz空空间间直直角角坐坐标标系系共有一个原点共有一个原点,三个坐标

6、轴三个坐标轴,三个坐标面三个坐标面,八个卦限八个卦限. 21221221221zzyyxxmm 它们距离为它们距离为设设),(1111zyxm、),(2222zyxm为为空空间间两两点点两点间距离公式两点间距离公式:曲面方程的定义：曲面方程的定义：如果曲面如果曲面s与三元方程与三元方程0),( zyxf有下述关系：有下述关系：(1) 曲面曲面s上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；那那么么，方方程程 0),( zyxf就就叫叫做做曲曲面面 s 的的方方程程，而而曲曲面面 s就就叫叫做做方方程程的的图图形形. 2 2、曲面曲面(2) 不在曲面不在曲面s上的点的坐标都不满足方程；上的

7、点的坐标都不满足方程；研究空间曲面的两个基本问题：研究空间曲面的两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.1 旋转曲面旋转曲面定义：以一条平面曲线绕定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.方程特点方程特点:0),()2(0),()1(00),(:2222 yzxfylzyxfxlzyxfl方方程程为为轴轴旋旋转转所所成成的的旋旋转转曲曲面面绕绕曲曲线线方方程程

8、为为轴轴旋旋转转所所成成的的旋旋转转曲曲面面绕绕曲曲线线设设有有平平面面曲曲线线2 柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线c移动的直线移动的直线l所形成的曲面称之所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的的准线准线，动直线叫，动直线叫柱面的柱面的母线母线.从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征： 只含只含 x、y 而缺而缺 z 的方程的方程 f(x,y)=0，在空间直角坐，在空间直角坐标系中表示母线平行于标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为轴的柱面，其准线为 xoy 面面上曲线上曲线 c. (1) 平面平面 xy 3 二次曲面二次曲面定义定义

9、:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面）椭球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面)(同号同号与与qpzqypx 2222（3）马鞍面）马鞍面)(同号同号与与qp（4）单叶双曲面）单叶双曲面1222222 czbyax（5）圆锥面）圆锥面222zyx 3 3、空间曲线、空间曲线 0),(0),(zyxgzyxf1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 22222)21()21(1yxyxz 2sinsin2121cos21tztytx

10、如图空间曲线如图空间曲线一般方程为一般方程为参数方程为参数方程为3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxgzyxf消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxh设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程： 00),(zyxh曲线在曲线在 面上的投影曲线满足面上的投影曲线满足xoy 00),(xzyr 00),(yzxt面上的投影曲线面上的投影曲线yoz面上的投影曲线面上的投影曲线xoz4 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体空间立体曲面曲面4 4、平面、平面）（cban, ),(0000zyxmxyzon0mm1 平面的点法式

11、方程平面的点法式方程0)()()(000 zzcyybxxa2 平面的一般方程平面的一般方程0 dczbyax1 czbyax3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa4 平面的夹角平面的夹角222222212121212121|coscbacbaccbbaa 5 两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( 0212121 ccbbaa21)2( /212121ccbbaa 1 1n2 2n 5 5、空间直线、空间直线0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa 00:22221111dzcybxadzcybx

12、al1 空间直线的一般方程空间直线的一般方程xyzo1 2 lxyzosl0m m 3 空间直线的参数方程空间直线的参数方程pzznyymxx000 2 空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程 ptzzntyymtxx000),(0000zyxm),(pnms 直线直线:1l111111pzznyymxx 直线直线:2l222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmll 两直线的夹角公式两直线的夹角公式4 两直线的夹角两直线的夹角5 两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(ll 0212121 ppnnmm21)2(ll/

13、212121ppnnmm pzznyymxxl000: 0: dczbyax6 直线与平面的夹角直线与平面的夹角222222|sinpnmcbacpbnam 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式)20( 7 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 l)1(pcnbma l)2(/0 cpbnam二、典型例题二、典型例题例例1 1解解共面共面且且，使使，求一单位向量求一单位向量，已知已知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 设设由题设条件得由题设条件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 例例2

14、 2解解.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程组成组成且与平面且与平面求过直线求过直线 zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即由题设知由题设知114cosnnnn 222222)1 (5)1 ()8()4(1)8()1 ()4(51)1 ( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程为代回平面束方程为. 012720 zyx例例3 3解解.1243:,12:)1 , 1 , 1(210lxzxylxzxylm都相交的直线都相交的直线且与两直线且与两直线求过点求过点 1243:

15、,12:21tztytxltztytxl的的交交点点分分别别为为与与设设所所求求直直线线21, lll).12 , 43 ,()1,2 ,(222111 tttbttta和和,)1 , 1 , 1(0三点共线三点共线与与bam即有即有,00对应坐标成比例对应坐标成比例于是于是bmam,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt, 2, 021 tt解之得解之得)3 , 2 , 2(),1, 0 , 0(ba ,)3 , 2 , 2()1 , 1 , 1(0上上同在直线同在直线和和点点lbm的的方方程程为为故故 l.211111 zyx).(00为实数为实数故故 bmam l例例4 4解解.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxl的的平平面面束束方方程程为为过过直直线线 l, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2( , 014 即即41 故故,代入平面束方程代入平面束方程将将 . 013 zyx得得所求投影直线方程