高一数学集合函数知识点总结相应试题及答案

1、第一章集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1) 元素的确定性如：世界上最高的山2) 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合 H,A,P,Y3) 元素的无序性 : 如： a,b,c 和 a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示： 如： 我校的篮球队员 ， 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合： A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集N* 或 N+整数集 Z有理数集Q实数集R1 ） 列举法： a,b,c 2

2、 ） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR| x-3>2 ,x| x-3>23） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4） Venn 图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例： x|x 2 = 5 二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：AB 有两种可能（1 ） A是B 的一部分，；（2 ） A与B是同一集合。反之 :集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A, 记作AB 或BA2 “相等”关系：实例：设A=x|xA=B 2 -1=0(5 5 ，且B=-1,

3、155 ，则 5=5)“元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果 AB,且AB 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)如果AB,BC,那么AC如果AB同时BA那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有 2 n 个子集， 2n-1 个真子集三、集合的运算运算交集并集补集类型定由所有属于 A 且属由所有属于集合 A 或设 S 是一个集合， A 是义于 B 的元素所组成属于集合 B 的元素所S 的一个子集，由 S 中的集合 ,叫做 A,B 的组成的集合，叫做 A

4、,B所有不属于 A 的元素交集 记作 AB的并集 记作： A B组成的集合， 叫做 S 中（读作A 交 B）， （读作 A 并 B），子集 A 的补集（或余即 AB= x|xA，即AB =x|x A ，集）且 xB或 xB)记作 CS A，即CSA= x | x S, 且x A韦恩ABAB图 1图 2SA图示性A A=AAA=A(C uA)(CuB)A =A =A= C u (A B)A B=BAAB=BA(C uA)(CuB)A B AA B = C u (A B)质A BBABBA(Cu A)=UA(Cu A)= 例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（）A 某班所有高个子的学生B 著名的

5、艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合 a ， b ， c 的真子集共有个3.若集合 M=y|y=x2 -2x+1,xR,N=x|x0 ，则 M 与 N 的关系是.4.设集合 A= x 1 x2 ，B=x xa ，若 AB，则 a 的取值范围是5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40 人，化学实验做得正确得有31 人，两种实验都做错得有4 人，则这两种实验都做对的有人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m 2-19=0,

6、若 BC，A C= ，求 m 的值(1) 已知 A= x -3<x<5 ,B= x x<a ,若满足 A B,则实数 a 的取值范围是;(2) 已知集合 = xx2+x-6=0,集合 = y ay+1=0 ,若满足 BA, 则实数 a 所能取的一切值为.（3 ）已知集合 A x | a x5 ，B x | x 2 ，且满足 AB ，求实数 a 的取值范围。二、函数的有关概念1 函数的概念： 设 A 、B 是非空的数集， 如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应， 那么就称 f ：A B 为从集合 A

7、 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x) ，x A 其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值， 函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域注意：1 定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3) 对数式的真数必须大于零；(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6) 指数为零底不可以等于

8、零，(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致(两点必须同时具备)(见课本 21 页相关例2)2 值域: 先考虑其定义域(1) 观察法(2) 配方法(3) 代换法3. 函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x A) 中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A) 的图象 C 上每一点的坐标 (x，y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 (x，y

9、) ，均在 C上.(2) 画法A 、描点法：B、 图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4 区间的概念（ 1 ）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（ 2 ）无穷区间（ 3 ）区间的数轴表示5 映射一般地，设A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ： AB 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：A B 来说，则应满足：(1) 集合A中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合A中

10、不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6.分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2) 各部分的自变量的取值情况(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(xA), 则 y=fg(x)=F(x)(xA)称为f 、 g 的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性 (局部性质 )（1 ）增函数设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果对于定义域内的任意两个自变量x1， x2，当 x1 <x 2 时，都有I 内的某个区间Df(x

11、 1 )<f(x 2 )，那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间.如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1 ， x2 ，当x 1<x 2时，都有f(x 1 )f(x 2)，那么就说f(x) 在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x) 的单调减区间 .注意：函数的单调性是函数的局部性质；（ 2 ） 图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3). 函数单调区间与单调性的判定方法

12、(A) 定义法：1 任取 x ，x D ，且 x <x ；12122 作差 f(x 1 )f(x 2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x 1 ) f(x 2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x) 在给定的区间D 上的单调性）(B) 图象法 ( 从图象上看升降 )(C) 复合函数的单调性复合函数 f g(x) 的单调性与构成它的函数 u=g(x) ， y=f(u) 的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 .8 函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数 f(x) 的定义

13、域内的任意一个x，都有 f( x)=f(x) ，那么 f(x) 就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个x，都有 f( x)= f(x) ，那么 f(x) 就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2 确定 f( x)与 f(x) 的关系；3 作出相应结论：若f( x) =f(x)或 f( x) f(x)= 0 ，则 f(x)是偶函数； 若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0 ，则 f(x) 是奇函数注意

14、：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 .若对称， (1) 再根据定义判定; (2) 由 f(-x) ±f(x)= 0 或 f(x)f(-x)= ±1 来判定 ; (3) 利用定理，或借助函数的图象判定.9 、函数的解析表达式（ 1 ） .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 .（ 2 ）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10 函数最大（小）值（定义见课本p36 页）1 利用

15、二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x) 在区间 a ，b 上单调递增，在区间b ， c 上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b处有最大值f(b) ；如果函数y=f(x) 在区间 a ，b 上单调递减，在区间b ， c 上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b处有最小值f(b) ；例题：1.求下列函数的定义域： yx 22 x 15 y1x12x 33()x12.设函数 f (x) 的定义域为 0，1 ，则函数 f ( x 2 ) 的定义域为 _ _3.若函数 f (x1) 的定义域为 2

16、， 3，则函数 f (2 x1) 的定义域是4.函数x2( x1)，若 f (x)3 ，则 x =f ( x)x2( 1x2)2x( x2)5.求下列函数的值域： yx22 x3(xR) yx22x3x 1,2(3)yx12x(4)yx24x56.已知函数 f (x1)x24x ，求函数 f (x)， f (2x1)的解析式7.已知函数 f(x)满足 2f (x) f ( x)3x4，则 f ( x) =。8.设 f (x)是 R 上的奇函数，且当x0,) 时, f (x)x(1 3 x) ,则当 x (,0) 时 f (x)=f (x)在 R 上的解析式为9.求下列函数的单调区间：yx22x

17、3 yx22x3yx26 x110.判断函数 yx31 的单调性并证明你的结论11.设函数 f ( x)1x2判断它的奇偶性并且求证：21xf ( 1 )f ( x) x（数学 1 必修）第一章（上）集合基础训练A 组 一、选择题1下列各项中，不可以组成集合的是（）A 所有的正数B等于 2 的数C接近于0 的数D 不等于 0的偶数2下列四个集合中，是空集的是（）A x | x 3 3B( ,) |y2x2 ,x,x yy RC x | x 20D x | x 2x 1 0, x R3下列表示图形中的阴影部分的是（）ABA (AC )( BC )B (AB)( AC )C(AB)( BC )CD

18、(AB)C4下面有四个命题：（ 1）集合 N 中最小的数是 1；（ 2）若 a 不属于 N ，则 a 属于 N ；（ 3）若 aN ,b N , 则 a b 的最小值为2 ；（ 4） x 212x 的解可表示为 1,1 ；其中正确命题的个数为（）A0个B 1个C2个D3个5若集合 Ma,b,c中的元素是 ABC 的三边长，则ABC 一定不是（）A 锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D 等腰三角形6若全集 U0,1,2,3且CUA 2，则集合 A 的真子集共有（）A 3个B 5个C 7个D 8个二、填空题1用符号“”或“”填空（ 1 ） 0 _N ,5 _N ,16 _N1_ Q, e _ CR

19、Q （ e是个无理数）（ 2）_ Q,2（ 3 ）2323 _ x | xa6b, aQ,bQ2. 若集合 Ax | x6, xN ， B x | x是非质数 ， CAB ，则 C 的非空子集的个数为。3若集合4设集合Ax |3x7 ， Bx | 2x10 ，则 ABA x3x2 , B x 2k1x2k1 ,且 AB ，则实数 k 的取值范围是。5已知 Ay yx22x1 , By y2x 1，则 AB_。三、解答题1已知集合 AxN |8N ，试用列举法表示集合A 。6x2已知 A x 2x5， B x m1x2m1， BA ,求 m的取值范围。3已知集合 Aa2 , a1,3 , Ba3

20、,2a1,a21，若AB3 ，求实数 a 的值。4设全集UR，Mm |方程 mx2x10有实数根，Nn |方程 x2xn0有实数根,求 CUMN .（数学 1必修）第一章（上）集合 综合训练B 组一、选择题1下列命题正确的有（）（ 1）很小的实数可以构成集合；（ 2）集合y | yx 21 与集合 x, y | yx 21 是同一个集合；（3） 1, 3, 6 ,1,0.5 这些数组成的集合有5个元素；242（ 4）集合 x, y | xy0, x, y R 是指第二和第四象限内的点集。A0个B 1个C2个D3个2若集合 A 1,1 ，B x | mx1，且 ABA ，则 m 的值为（）A1

21、B 1C1或 1D1或 1或 03若集合 M( x, y) xy 0 , N( x, y) x2y20, x R, y R，则有（）AMNMBMNNCMNMDMNxy 14方程组y 2的解集是（）x29A 5,4B5,4C5,4D5,4 。5下列式子中，正确的是（）A RRB Zx | x0, xZC空集是任何集合的真子集D 6下列表述中错误的是（）A若 AB,则ABAB若 ABB，则 ABC (AB)A( AB)DCUABCUACUB二、填空题1用适当的符号填空（ 1）3 _x | x2 , 1,2 _x, y| y x 1（ 2）25 _ x | x 23，（ 3）x |1x, xR_x

22、| x3x0x2设 UR, Ax | axb ,CU Ax | x4或x3则 a _, b _ 。3某班有学生55 人，其中体育爱好者43 人，音乐爱好者34 人，还有 4 人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人。4若 A1,4, x , B1, x2且ABB ，则 x。5已知集合 A x | ax23x20 至多有一个元素，则a 的取值范围；若至少有一个元素，则a 的取值范围。三、解答题1设 yx2axb, Ax | yxa, Ma,b, 求M2设 A x x24x0, B x x 22(a1)xa 2 10 ,其中 xR ,如果 ABB ，求实数 a的取值范围。3

23、集合 Ax | x2axa2190，Bx | x25x60，Cx | x22x 8 0满足 AB, ， AC, 求实数 a 的值。4设 UR，集合 Ax | x23x20 ， Bx | x2(m1)xm 0；若 (CU A)B，求 m的值。（数学 1必修）第一章（上）集合 提高训练 C 组一、选择题1 若集合 X x | x1 ，下列关系式中成立的为（）A 0XB 0XCXD 0X2 50 名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40 人和31 人，2 项测验成绩均不及格的有4 人， 2 项测验成绩都及格的人数是（）A 35B 25C 28D153已知集合Ax | x2mx 1

24、0 , 若 A R则实数m的取值范围是（），A m4B m4C 0m4D 0m 44下列说法中，正确的是（）A 任何一个集合必有两个子集；B 若 AB,则 A,B 中至少有一个为C 任何集合必有一个真子集；D 若 S 为全集，且 AB S,则A BS,5若 U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）（1）若 AB ,则CUA CUB U（2）若 AB U,则CUA CUB（3）若 AB，则A BA0个B 1个C2个D3个6设集合 M x | xk1Z，N x | xk1Z ，则（）2, k4, k42A MNBMNC NMD MN7设集合 A x | x2x0, B x | x2x0 ，则集

25、合 AB（）A 0B0CD 1,0,1二、填空题1已知 My | yx24x3, xR ， Ny | yx 22x8, x R则 MN_ 。2用列举法表示集合：M| 10Z, mZ =。m1m3若 Ix | x1, x Z ，则 CI N =。4设集合A1,2 ,B1,2,3, C2,3,4则B） C。（ A5设全集 U(x, y) x, yR集合M( x, y)y21， N(x, y) yx 4,x2那么 (CUM ) (CUN) 等于。三、解答题1若 A a, b , Bx | x A , MA ,求CBM.2已知集合 Ax | 2xa , By | y2x 3,xA , Cz| z x2

26、 , xA ,且 CB ,求 a 的取值范围。3全集 S1,3, x33x22 x ， A1, 2x1 ，如果 CS A0 , 则这样的实数 x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由。4设集合A1,2,3,.,10 , 求集合 A 的所有非空子集元素和的和。（数学 1 必修）第一章（中）函数及其表示基础训练A 组一、选择题1 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） y1( x3)( x 5)x 5x， y2；3 y1x 1 x 1， y2( x 1)( x 1) ； f ( x)x ， g( x)x 2 ； f ( x)3x4x3 ， F (x)x 3 x1 ； f1 ( x)

27、(2x5) 2 ， f2 (x)2x5 。A 、B、CD、2 函数 y f (x) 的图象与直线x 1 的公共点数目是（）A1B0C0或1D1或 23 已知集合 A1,2,3, k , B4,7, a 4 , a23a，且 a N * , xA, yB使 B 中元素 y 3x1 和 A 中的元素 x 对应，则 a, k 的值分别为（）A 2,3B 3,4C 3,5D2,5x2( x1)4 已知 f (x)x2 (1x 2) ，若 f ( x)3 ，则 x 的值是（）2x( x2)A 1B1或 3C1， 3 或3D 3225 为了得到函数 y f (2x) 的图象，可以把函数yf (1 2x)

28、的图象适当平移，这个平移是（）A 沿 x 轴向右平移 1个单位1个单位B沿 x 轴向右平移2C沿 x 轴向左平移1 个单位1个单位D 沿 x轴向左平移26 设 f ( x)x2,( x10)则 f (5) 的值为（）f f ( x 6), ( x10)A 10B 11C 12D13二、填空题1 x1(x0),1设函数 f ( x)2若 f (a)a. 则实数 a 的取值范围是。1( x0).xx2。2函数 y的定义域x243若二次函数 yax2bx c 的图象与 x 轴交于 A(2,0), B(4,0) ，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是。( x1)0。4函数 y的定义域是xx5函

29、数f (x)x 2x1的最小值是。三、解答题1求函数2求函数f ( x)3 x1 的定义域。x1yx2x 1 的值域。3 x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程x22(m1)xm1 0 的两个实根， 又 yx12x22 ，求 yf (m) 的解析式及此函数的定义域。4已知函数 f (x)ax22ax3b( a 0) 在 1,3 有最大值 5 和最小值2 ，求 a 、b 的值。（数学 1必修）第一章（中）函数及其表示综合训练 B 组 一、选择题1设函数 f ( x)2 x3, g ( x2)f (x) ，则 g (x) 的表达式是（）A 2x1B 2x1C 2x3D 2x72函数 f (x)

30、cx, (x3x, 则常数 c等于（）) 满足 f f ( x)2x32A 3B3C 3或3D 5或33已知 g (x) 12x, f g( x)1x 20) ，那么1) 等于（）x2(xf (2A 15B 1C3D 304已知函数 yf ( x1) 定义域是 2，3 ，则 yf (2 x1) 的定义域是（）A 0， 5B. 1，42C. 5，5D. 3，75函数 y2x24 x 的值域是（）A 2,2B1,2C 0, 2D 2,26已知 f (1x)21x，则 f( x) 的解析式为（）1x1x2xB2xA x 21x212xD xCx21 x 21二、填空题3x24( x0)1若函数 f

31、( x)( x0)，则 f ( f (0) =0( x0)2若函数 f (2x1)x 22 x，则 f (3) =.3函数 f (x)21的值域是。x22x34已知 f (x)1, x0，则不等式 x ( x2)f (x 2) 5 的解集是。1, x05设函数 yax2a1，当1x1时， y 的值有正有负， 则实数 a 的范围。三、解答题1设 , 是方程 4x24mxm20,( xR) 的两实根 ,当 m 为何值时 ,2 2 有最小值 ?求出这个最小值 .2求下列函数的定义域x211x2（ 1） yx83x（ 2） yx11（ 3） y1111xx3求下列函数的值域3x（2 ） y5（ 1） yx2x2（ 3） y1 2x x44x 34作出函数 yx 26 x 7,x3,6 的图象。函数及其表示 提高训练C 组 一、选择题1 若集合 Sy | y3x2, xR， Ty | yx2 1,xR，则S T是()A SB. TC.D. 有限集2已知函数yf ( x) 的图象关于直线x1对称，且当 x(0,) 时，有 f ( x)1 , 则当 x(, 2)时， f (x) 的解析式为（）1x111BCDA 2x2