高一数学教材解析

1、优秀学习资料欢迎下载高一数学各章知识点总结新课改第一章集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由 HAPPY的字母组成的集合 H,A,P,Y(3) 元素的无序性 :如： a,b,c和 a,c,b是表示同一个集合3. 集合的表示： 如： 我校的篮球队员 ， 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合： A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集N* 或 N+整数集

2、Z有理数集Q实数集 R1） 列举法： a,b,c 2） 描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 x R| x-3>2 ,x| x-3>23） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形4） Venn 图 :4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合2= 5(3)空集不含任何元素的集合例： x|x二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集注意：AB 有两种可能 （ 1）A 是B 的一部分， ；（ 2）A 与B 是同一集合。反之 :集合 A 不包含于集合B, 或集合 B 不包含集合A, 记作 AB 或2“相等”关系：

3、A=B (5 5，且 5 5，则 5=5)2即：任何一个集合是它本身的子集。A ABA真子集: 如果A B, 且 A B那就说集合A 是集合B 的真子集，记作AB( 或BA)如果 AB,BC,那么 AC 如果A B 同时B A那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n 个子集， 2n-1 个真子集优秀学习资料欢迎下载三、集合的运算运算交集并集类型定由所有属于A 且属由所有属于集合 A 或义于 B 的元素所组成属于集合 B 的元素所的集合 , 叫做 A,B 的组成的集合， 叫做 A,B交集 记作 A B

4、（读的并集记作： A B作 A 交 B），即（读作 A 并 B），补集设 S 是一个集合， A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A的元素组成的集合， 叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作 CSA，即AB= x|xA，且即 AB =x|xA， x| xS, 且x AxB或 xB) CSA=韦恩ABABSA图示图 1图 2性AA=AAA=A(CuA)(C uB)A =A =A= Cu (AB)AB=BAAB=B A(CuA)(C uB)AB AAB质A B BA B B= Cu(A B)A(C uA)=UA(C A)= u例题：1. 下列四组对象，能构成集合的是（）A 某班所有高个子的学

5、生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2. 集合 a ， b， c 的真子集共有个3. 若集合 M=y|y=x2R,N=x|x 0 ，则 M与 N 的关系是.-2x+1,x4. 设集合 A= x 1 x2 ， B= x xa ，若 AB，则 a 的取值范围是5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31 人，两种实验都做错得有4 人，则这两种实验都做对的有人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.7. 已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x|2 2x -m

6、x+m-19=0, 若 B C ， A C= ，求 m的值优秀学习资料欢迎下载二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作： y=f(x) ，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(

7、1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3) 对数式的真数必须大于零；(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .(6) 指数为零底不可以等于零，(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 ( 两点必须同时具备 )( 见课本 21 页相关例 2)2值域 :先考虑其定义域(1) 观察法(2) 配方法(3) 代换法3. 函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系

8、中，以函数y=f(x) ,(x A) 中的x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点P(x ， y) 的集合 C，叫做函数 y=f(x),(xA)的图象C 上每一点的坐标(x， 均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)y)的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 (x ， y) ，均在 C 上 .(2)画法A、 描点法：B、 图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4区间的概念（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（ 2）无穷区间（ 3）区间的数轴表示5映射一般地， 设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个

9、元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ： AB 为从集合A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射 f ： A B来说，则应满足：(1) 集合 A 中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6. 分段函数优秀学习资料欢迎下载(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2) 各部分的自变量的取值情况(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果

10、 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),则y=fg(x)=F(x)(x A)称为f 、 g的复合函数。二函数的性质1. 函数的单调性 ( 局部性质 )（ 1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1<x 2 时，都有 f(x 1)<f(x2) ，那么就说f(x) 在区间D 上是增函数 . 区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x 1) f(x 2) ，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数 . 区间 D 称为

11、 y=f(x) 的单调减区间 .注意：函数的单调性是函数的局部性质；（ 2） 图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数， 那么说函数 y=f(x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3). 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1任取 x ， x D，且 x <x ；12122作差 f(x 1) f(x 2) ；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x ) f(x ) 的正负）；125下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）(B) 图象法 ( 从图象上看升

12、降 )(C) 复合函数的单调性复合函数 f g(x) 的单调性与构成它的函数u=g(x) ，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间, 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8函数的奇偶性（整体性质）（ 1）偶函数一般地， 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f( x)=f(x)，那么f(x) 就叫做偶函数（ 2）奇函数一般地， 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f( x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数（ 3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断

13、函数奇偶性的步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2 确定 f( x) 与 f(x)的关系；3 作出相应结论：若f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对优秀学习资料欢迎下载称， (1) 再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)= 0 或 f(x) f(-x)=±1 来判定 ; (3) 利用定理，或借助函数

14、的图象判定.9、函数的解析表达式（ 1） . 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（ 2）求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10函数最大（小）值（定义见课本p36 页）1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间 a ， b 上单调递增，在区间b ， c 上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b) ；如果函数y=f(x)在区间 a ， b 上单调

15、递减，在区间b ， c 上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b) ；例题：1. 求下列函数的定义域：x 22 x15 yx1)2 y331 (1xx2. 设函数3. 若函数4. 函数f (x) 的定义域为 0，1 ，则函数f ( x 2 ) 的定义域为 _ _f ( x1)的定义域为 2， 3 ，则函数 f (2 x1) 的定义域是x2( x1)3 ，则 x =f ( x)x2( 1，若 f (x)x 2)2x( x2)5. 求下列函数的值域： yx22x 3(xR) yx22x 3x1,2(3)y x12 x(4)yx24x56.已知函数 f (x 1)x 24x ，

16、求函数f(x)，f (2x的解析式1)7.已知函数 f(x)满足 2f (x)f ( x) 3x4，则 f ( x) =。8.设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x0,) 时 , f (x)x(1 3 x ) , 则当 x (,0) 时 f (x) =f (x) 在 R上的解析式为9. 求下列函数的单调区间：yx22x3 yx22 x3yx26 x110. 判断函数 yx3 1 的单调性并证明你的结论11. 设函数 f ( x)1x2判断它的奇偶性并且求证：f ( 1 )f (x ) 1x 2x第二章基本初等函数优秀学习资料欢迎下载一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念： 一般地，

17、如果 xna ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n >1，且 n N * 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作 n 00。当 n 是奇数时， n a na ，当 n 是偶数时， n a na(a0)| a |(a0)a2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：ma nna m (a0, m, nN * ,n1)，m11an(a0, m, n*, n 1)mNa nnam0 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（ 1） a r · a rar s( a0, r, sR) ；（ 2） (ar ) sa rs( a0, r, s

18、R) ；（ 3） (ab) ra r as( a0, r, sR) （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数ya x (a 0,且 a1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a>10<a<166554433221111-4-20246-4-22460-1-1定义域 R定义域 R值域 y 0值域 y 0在 R 上单调递增在 R 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定函数图象都过定点（ 0， 1）点（ 0， 1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（ 1

19、） 在 a ， b 上 ， f (x)a x (a 0且 a1) 值 域 是 f (a), f (b) 或 f (b), f (a) ；优秀学习资料欢迎下载（ 2）若 x0 ，则 f ( x )1； f ( x) 取遍所有正数当且仅当xR ；（ 3）对于指数函数 f (x)ax (a0 a1)，总有 f (1)a；且二、对数函数（一）对数1对数的概念： 一般地， 如果 a xN(a0, a 1)，那么数x 叫做以a 为底 N 的对数， 记作： xlog a N （ a 底数， N 真数， log a N 对数式）说明：1 注意底数的限制a 0 ，且 a1 ；2a xNlogaNx ；log a

20、 N注意对数的书写格式3两个重要对数：1 常用对数：以 10 为底的对数 lg N ；自然对数：以无理数e 2.71828为底的对数的对数ln N2指数式与对数式的互化幂值真数ab Nlog a N b底数指数对数（二）对数的运算性质如果 a0 ，且 a 1， M0， N0 ，那么：1(M·N)log aM log a N ； log a2log aMlog a M log aN ；N3log a M nn log a M(nR) 注意：换底公式loglog a blogccb0 ，且 a1； c0 ，且 c1 ； b0 ）（ aa利用换底公式推导下面的结论（ 1） log am b

21、nn loga b ；（ 2） log a b1mlog b a（二）对数函数1、对数函数的概念：函数ylog a x(a0，且 a1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（0， +）注意： 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， 注意辨别。 如：y 2 log 2 x ， y log 5 x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数52 对数函数对底数的限制：(a0 ，且 a1) 2、对数函数的性质：a>10<a<1优秀学习资料欢迎下载332.52.5221.51.51 1110.50.5-112345678-10123456780-011.5-0.5

22、-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域 x0值域为 R在 R上递增函数图象都过定点（ 1， 0）定义域 x 0值域为 R在 R上递减函数图象都过定点（1， 0）（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如y x( aR) 的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（ 1）所有的幂函数在（ 0， +）都有定义并且图象都过点（1， 1）；（ 2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 0,) 上是增函数 特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；（ 3）0 时，幂函数的图象在区间(0,) 上是减函数在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当 x 趋于时，图象在 x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴例题：1. 已知 a>0 ，a0 ，函数 y=a x 与 y=log a(-x) 的图象只能是()2.计算： log 32; 2 4log 2 3 =； 2531 lo