第六节线性微分方程解的结构58089

1、第六节第六节 线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构二、线性齐次微分方程解的结构二、线性齐次微分方程解的结构 三、线性非齐次微分方程解的结构三、线性非齐次微分方程解的结构 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消当重力与弹性力抵消时时, 物体物体处于平衡处于平衡状态状态, 例例 质量质量为为m的的物体自由悬挂在一端固定的弹簧物体自由悬挂在一端固定的弹簧上上,力作用下作往复运动力作用下作往复运动, ,xxo解解阻力的大小与运动速度阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开下拉物体使它离开平衡位置后放开平衡位置后放开,若用手

2、向若用手向物体在弹性力与阻物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点取平衡时物体的位置为坐标原点, ,如图建立坐标系如图建立坐标系. .设时刻设时刻 t 物物体体位移为位移为x = x(t).1. 弹性弹性恢复力恢复力物体所受的力有物体所受的力有: :,xcf 成成正比正比, 方向方向相反相反.建立位移满足的微分方程建立位移满足的微分方程. .2. 阻力阻力,ddtxr 据牛顿第二定律得据牛顿第二定律得,dddd22txxctxm ,2mck ,2mn 令令则得有阻尼则得有阻尼自由振动方程自由振动方程: :. 0dd2dd222 xktxntx二阶线性微分方程二阶线性微分方程).()()(x

3、fyxqyxpy ,0)(时时当当 xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程;二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程./,0)(时时当当 xfn 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为的一般形式为).()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn ,0)(时时当当 xf n 阶线性齐次微分方程阶线性齐次微分方程; n 阶线性非齐次微分方程阶线性非齐次微分方程./,0)(时时当当 xf复习复习: : 一阶线性方程一阶线性方程)()(xqyxpy 通解通解: : xexqexxpxxpd)(d)(d)( xxpecyd)(非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通

4、解y y y二、线性齐次微分方程的解的结构二、线性齐次微分方程的解的结构定理定理1 1.)1(),(,)1()()(21221121的解的解也是也是是任意常数是任意常数则则的两个解的两个解是方程是方程与与若函数若函数ccycycyxyxy )1(0)()( yxqyxpy问题问题: :一一定定是是通通解解吗吗？2211ycycy 例：设例：设 y1 为为 (1) 的解的解 , 则则 y2=2 y1 是是 (1) 的解的解,但但是是 , y=c1 y1+c2 y2 不为不为 (1) 的通解的通解 .(解得叠加原理解得叠加原理) 为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, ,下面引入下面引入函数的

5、线性相关函数的线性相关与线性无关与线性无关概念概念. . )(11 ycxp )(11 ycxq证证)()(2211xycxycy 将将代入方程左边代入方程左边, , 得得 11 yc22yc 22yc 22yc)()(1111yxqyxpyc )()(2222yxqyxpyc . 0 定义定义)(,),(),(21xyxyxyn设设是定义在是定义在区间区间 i 上上的的 n 个函数个函数,21nkkk使得使得ixxykxykxyknn , 0)()()(2211则称则称这这 n个函数在个函数在 i 上上线性相关线性相关, , 否则称为否则称为线性无关线性无关. .例如：例如： ,sin,co

6、s,122xx在在( , )上都有上都有0sincos122 xx故它们在任何区间故它们在任何区间 i 上都上都线性相关线性相关;又如：又如：,12xx若在某若在某区间区间 i 上上,02321 xkxkk则根据二次多项式至多只有两个则根据二次多项式至多只有两个零点零点 ,321,kkk必需必需全为全为 0 ,可见可见2,1xx故故在任何在任何区间区间 i 上都上都线性线性无关无关. .若存在若存在不全不全为为 0 的常数的常数)(),(21xyxy线性相关线性相关存在不全存在不全为为 0 的的21, kk使使0)()(2211 xykxyk.)()(21常数常数 xyxy)(),(21xyx

7、y线性无关线性无关)()(21xyxy常数常数思考思考: :)(),(21xyxy若若中有一个恒为中有一个恒为 0, 则则)(),(21xyxy必线性必线性相关相关两个两个函数在区间函数在区间 i 上线性上线性相关与线性无关的相关与线性无关的充要条件充要条件: :定理定理 2 2 如果如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)的两个的两个线性无关线性无关的特解的特解, , 那么那么2211ycycy 就是方程就是方程(1)的通解的通解. . 例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy 有解有解,tan12常数常数且且 xyy.sincos21为方程的通解为方程的通解xcxcy 推论推

8、论nyyy,21若若是是 n 阶线性齐次微分方程阶线性齐次微分方程 0)()()(1)1(1)( yxayxayxaynnnn的的 n 个线性无关解个线性无关解, 则方程的通解为则方程的通解为)(11为任意常数为任意常数knncycycy 三、线性非齐次微分方程解的结构三、线性非齐次微分方程解的结构 )(* xy设设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, )(*)(xyxyy y (x) 是相应是相应齐次方程的通解齐次方程的通解, ,定理定理 3)()()(xfyxqyxpy 则则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 . .证证 将将)(*)(xyxyy 代入方程代入方程左端左

9、端, , 得得)*( yy)*( )( yyxp)*)(*)(*(yxqyxpy )()(yxqyxpy )(0)(xfxf )*( )(yyxq )(*)(xyxyy 故故是非齐次方程的解是非齐次方程的解, ,又又y 中含有中含有两个独立任意常数两个独立任意常数, ,例如例如, 方程方程有特解有特解,*xy ,sincos21xcxcy 对应齐次方程对应齐次方程有通解有通解因此该方程的通解为因此该方程的通解为xxcxcy sincos21因而因而 是通解是通解 .xyy 0 yy.,0,1的通解的通解求求的一个特解的一个特解为为又又的两个解的两个解为二阶线性非齐次方程为二阶线性非齐次方程已知

10、已知例例xyyxyyxyyyeexx 例例2 设设 是二阶线性非齐次方程的三个是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解，试用线性无关的解，试用 表示方程的通解表示方程的通解.321,yyy321,yyy 1322313yycyycyy xxececxy 21例例3已知已知 y = x 及及 y = sinx 为某二阶线性齐次为某二阶线性齐次 方程的解方程的解 , 求该方程求该方程 .解解,0)()( yxqyxpy设方程为设方程为,为其解为其解xy )1(,0)()( xxqxp有有,sin为为其其解解xy )2(,0)(sin)(cossin xxqxxpx有有解得：解得：联立联立, )2(

11、, )1(,cossinsin)(,cossinsin)(xxxxxxqxxxxxp ,0)(cossinsincossinsin: yxqxxxxyxxxxy故所求方程为故所求方程为.)2(;)(),()1(:,1)()(2此方程的通解此方程的通解的表达式的表达式试求试求的齐次方程有一特解为的齐次方程有一特解为对应对应有一特解为有一特解为设设xfxpxxxfyxpy 例例4 4解解(1)由题设可得：由题设可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得解此方程组，得.3)(,1)(3xxfxxp (2)原方程为原方程为.313xyxy , 1221的两个线性无关的特

12、解的两个线性无关的特解程程是原方程对应的齐次方是原方程对应的齐次方显见显见xyy 是原方程的一个特解，是原方程的一个特解，又又xy1* 由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为.1221xxccy 定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函 数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxqyxpy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxqyxpy )()()(2xfyxqyxpy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. . (非齐次方程之解的叠加原理非齐次方

13、程之解的叠加原理) n 阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn 二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广: :定定理理 设设*y是是 n 阶阶非非齐齐次次线线性性方方程程 )()()()1(1)(xfyxpyxpynnn 的的一一个个特特解解, , y是是与与其其对对应应的的齐齐次次方方程程的的 通通解解, , 那那么么*yyy 是是 n 阶阶非非齐齐次次线线性性微微分分 方方程程的的通通解解. . 四、小结四、小结主要内容主要内容2、二阶线性微分方程解的结构定理、二阶线性微分方程解的结构定理1、函数的线性相

14、关与线性无关；、函数的线性相关与线性无关；思考题思考题已知已知31 y，223xy ，xexy 233都是微分都是微分方程方程)1(6)22()2()2(22 xyxyxyxx 的解，求此方程所对应齐次方程的通解的解，求此方程所对应齐次方程的通解. 解解321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy 212xyy 是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,21223xeyyyyx 常数常数所求通解为所求通解为.221xcecx )()(122231yycyycy 补充内容补充内容可观察出一个特解可观察出一个特解0)()( yxqyxpy, 0)()()1( xxqxp若若;xy 特解

15、特解, 0)()(1)2( xqxp若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xqxp若若.xey 特特解解一、一、 验证验证21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并写出该方程的通并写出该方程的通解解 . .二、二、 证明下列函数是相应的微分方程的通解证明下列函数是相应的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常数是任意常数ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常数是任意常数cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .练练 习习 题题