数列极限第一课时

1、学习目标 了解数列极限的概念 会判断一些简单数列的极限 培养从有限认识无限，从已知认识未知，从近似认识精确的数学方法。 na nb na：剩余的长度：剩余的长度 nb：截去的总长度：截去的总长度214387 nb0814183218543871x1 na nb0 0214387123nn从从1的左侧无限趋近的左侧无限趋近1是什么？是什么？的变化趋势分别的变化趋势分别和和的无限增大，的无限增大，随着项数随着项数nnban0814183218543871x na从从0的右侧无限趋近的右侧无限趋近0表示的点的变化趋势表示的点的变化趋势和和nnban21n211123n123nn1nanb0 0214

2、387nn210 na1 nbn2111 1214181n21na无限趋近常数无限趋近常数0， 无限地接近于无限地接近于0 0 na无限趋近常数无限趋近常数1， 无限地接近于无限地接近于0 nb1 nb1 1214181n210-131 21 ，n1013101310132（1） ，1433221nn（2） ，nn)1(3111（3）分析当分析当n无限增大无限增大时，下列数列的项时，下列数列的项 的变化趋势及的变化趋势及共同特征共同特征:na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .共同特性：共同特性：不论这些变化趋势如何，

3、随着项数不论这些变化趋势如何，随着项数 n 的的无限增大无限增大，数列的项，数列的项 无限地趋近于无限地趋近于常常数数 ana3递减递减无限趋近无限趋近1递增递增无限趋近无限趋近0无限趋近无限趋近摆动摆动n 趋向于无穷大趋向于无穷大aann lim数列极限的描述性定义数列极限的描述性定义 na一般地，如果当项数一般地，如果当项数 无限增大时，无穷数列无限增大时，无穷数列的项的项 无限地趋近于某个常数无限地趋近于某个常数 ，(即即 无限地无限地接近接近0),nnaaaan 那么就说数列那么就说数列 以以 为极限，或者说为极限，或者说 naaa na是数列是数列 的极限的极限 na（1） 是无穷数

4、列是无穷数列n（2） 无限增大时，无限增大时， 不是一般地趋近于不是一般地趋近于 ，而是，而是naa“无限无限”地趋近于地趋近于 a（3）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的读作读作 “当当n 趋向于无穷大时，趋向于无穷大时， 的极限等于的极限等于a ”na或或 “limit 当当n 趋向于趋向于 无穷大时等于无穷大时等于a ”na1x2213443562,6556433421,n11+（-1)n+1这个数列的各项与这个数列的各项与1的差的绝对值依次是的差的绝对值依次是 1， ., n 1 , 3 1 , 21. .10101 nn解解得得令令 )( nn

5、n111111 . .100000101 nn解得解得令令. .313333000301 nn解解得得令令是是这这个个数数列列的的极极限限1.例11x221344356 一般地，对于数列一般地，对于数列 an，如果存在，如果存在一个常数一个常数a，无论预先指定多么小的正，无论预先指定多么小的正数数，都能在数列中找到一项，都能在数列中找到一项 a n ，使，使得这一项后面的所有项与得这一项后面的所有项与a的差的绝对的差的绝对值都小于值都小于（ 即当即当 nn 时，时，|an-a| 恒恒成立），就把常数成立），就把常数a叫做叫做数列数列 an的极的极限限，记作，记作 an=a nlim：2,655

6、6433421,n11+（-1)n+1aan nna lim数列数列是否存是否存在极限在极限若存在极限若存在极限 99. 0nna 100)(n 1 nan 2 nanna)1( 14nnan aann lim存在存在不存在不存在存在存在存在存在不存在不存在4 1n00020数列的极限是唯一的数列的极限是唯一的有穷数列没有极限有穷数列没有极限0 99. 0n)( lim为常数为常数cccn aan nna lim数列数列是否存是否存在极限在极限若存在极限若存在极限aann limnan1 nan nann3)1( nna)31(5 9999. 0nna 如果如果 ，那么，那么 1| a nna

7、lim0存在存在存在存在存在存在存在存在不存在不存在5000na“无限无限”地趋近于一个常数地趋近于一个常数 an)31( n31n1 9999. 0n0000)( lim)2(是是常常数数ccn nn1lim)1(0c, )3(时时当当1 a0lim nan 对于无穷数列对于无穷数列an，如果当如果当n无限增大时无限增大时，an无限趋向于某一个常数无限趋向于某一个常数a，则称则称a是数列是数列 an 的极限的极限。 问题1：数列an = n2有极限吗？ n问题2：数列有极限吗？ 是奇数是偶数nnnnnan,1,1是奇数是偶数nnnan,1, 0n问题3：数列有极限吗？ 没有没有没有没有有，有

8、，为为02、给出下列命题：、给出下列命题：（1）有穷数列没有极限；）有穷数列没有极限；（2）无穷数列不一定有极限；）无穷数列不一定有极限；（3）无穷递减数列一定有数列；）无穷递减数列一定有数列；（4）无穷递增数列一定没有数列；）无穷递增数列一定没有数列；（5）左右摆动的数列一定没有极限。）左右摆动的数列一定没有极限。其中是真命题的序号有其中是真命题的序号有（1）、（）、（2）3.请列出请列出3个以个以2为极限的数列为极限的数列.0 1 21 21 ) (0)1(lim4xxxxxxxnn的取值范围是，则、若a.b.c.d.x0yy1、总体密度曲线、总体密度曲线设想样本容量无限增大，分组的组距无

9、限缩小，设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线线总体密度曲线总体密度曲线2、求球的表面积、求球的表面积数列极限思想的运用数列极限思想的运用割割 圆圆 求求 周周 三国时的刘徽提出的三国时的刘徽提出的 的方法的方法.他把圆周他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、 这样继这样继续分割下去续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长所得多边形的周长就无限接近于圆的周长. 割之弥细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不

10、可割，则与圆合体而无与圆合体而无所失矣所失矣. .1、数列极限的直观描述性定义、数列极限的直观描述性定义 ），无无限限地地接接近近（即即，无无限限地地趋趋近近于于某某个个常常数数的的项项无无穷穷数数列列无无限限增增大大时时，一一般般地地，如如果果当当项项数数0 aaaaannnn 的的极极限限是是数数列列或或者者说说为为极极限限，以以那那么么就就说说数数列列nnaaaa aann lim2、利用定义求数列极限、利用定义求数列极限4、常用数列的极限、常用数列的极限)( lim)2(是常数是常数ccn nn1lim)1(0c, )3(时时当当1 a0lim nan3、不是任何数列都有极限，但如果有极限，、不是任何数列都有极限，但如果有极限，则极限是唯一的则极限是唯一的aann lim1、若、若 ，则下面几个结论中，正确的是（，则下面几个结论中，正确的是（ ） 0 的的极极限限是是数数列列一一定定是是递递减减数数列列数数列列一一定定是是递递增增数数列列数数列列一一定定是是递递减减数数列列数数列列aaaaaaaannnn a.b.c.d. 11 0 1 lim2aaaann或或、11a 不存在不存在3：判断下列数列哪些有极限？如果有的话，极限等于多少？如果没有，说说你的理由。 113nn11nn sin2n133n11nnn110n12345678项号项号 边数边数