第六节泰勒公式

1、 返回第六节第六节 泰勒公式泰勒公式一、多项式代替一、多项式代替二、泰勒公式二、泰勒公式第六节第六节 泰勒公式泰勒公式 导言：在理论分析和实际计算中我们经常用简单的函数近似表示和代替复杂的函数，由于多项式函数是最简单的一类函数，它具有任意阶导数，并且运算简单. 因此，想到用多项式函数近似代替复杂的函数.泰勒公式提供了用多项式函数代替函数的一种有效形式. 它是拉格朗日中值定理的进一步推广. 几何意义为: 在点 的附近用曲线y=f (x)在点 处的切线来代替曲线y=f (x). 即进行线性代替. 线性代替：由微分的概念知道，如果y=f (x)在点 处可导，则有一、多项式代替)()()()(0000

2、 xxoxxxfxfxf |0很小时，有近似公式当xx 0 x，即)(dxoyy. )()()(000 xxxfxfxf)(,(00 xfx0 x0 x 线性代替公式的不足：精度往往不能满足实际需要；用它作近似计算时无法估计误差.)( )()(0002处相等在xxfxp)( )()(0002处有相同的切线在xxfxp)( )()(0002曲方向处两条曲线有相同的弯xxfxp 二次多项式代替：以 代替函数 ，设 f (x)在含 的某区间(a ,b)内有二阶导数,为了使 与 f (x)尽可能接近，应使0 x22102)(xaxaaxp)(xf)(2xp用 在点 附近来逼近 f (x)，可以提高代替

3、精度,为了进一步提高精度,需要采取多项式代替.0 x，002)(axp，102)(axp202! 2)(axp 由),( 00 xfa 可得，)(01xfa)(!2102xfa .)(! 21)()()( 2000002xxxfxxxfxfxp 所以)(2xpnnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 来近似表达函数 f (x),并使得当 时， 为比 高阶的无穷小, 且能写出 的具体表达式, 以便能估计误差.这样的 如何？0 xx )()(xpxfnnxx)(0)()(xpxfn多项式代替：用简单的多项式函数进行代替.即用)(xpn, )()(00 xfxpn, )()(00

4、 xfxpn, )()(00 xfxpn )()(0)(0)(xfxpnn 设 f (x)在含 的某区间(a ,b)内有n+1阶导数, 为了使 与 f (x)尽可能接近，应使)(xpn0 x, )()(00 xfxpn ，00)(axpn，10)(axpn，20! 2)(axpn ,!)(0)(nnnanxp对多项式函数求导得,! 3)(30axpn ),( 00 xfa ),(!10)(xfnann由此可得，)(01xfa),(! 2102xfa ),(! 3103xfa .)(!1)(! 21)()()( 00)(200000nnnxxxfnxxxfxxxfxfxp 所以且有余项).)()

5、()()(0nnnxxoxpxfxr 定理（泰勒公式） 设函数f (x)在含x0的某区间(a,b)内具有直至n+1阶导数, 则当 时有泰勒展开式 ),( )()()(!1 )(! 21)()()(00)(200000 xrxpxrxxxfnxxxfxxxfxfxfnnnnn . )()(0nnxxoxr余项常用的余项有佩亚诺型),(bax.)(,)(为泰勒多项式为泰勒展开式的余项并称xpxrnn10)1()()!1(1)(nnnxxfnxr拉格朗日型余项).(0之间与介于xx二、泰勒公式 马克劳林公式 若在泰勒公式中令 ，则有),()0(!1)0(! 21)0()0()()(2xrxfnxfx

6、ffxfnnn 00 x,)()!1(1)(1)1(nnnxfnxr（ 介于0与x之间）.此展开式称为马克劳林公式 .,)0(!1)0(! 21)0()0()()(2nnnxfnxfxffxp 称为马克劳林多项式 . 称为余项. 且有)(xrn拉格朗日型余项. )()(nnxoxr佩亚诺型余项 例 设f (x)=cos x，写出f (x)在点x=0处的1次、2次、4次、6次泰勒多项式.2cos)0( ),2cos()()()(nfxnxfnn).(1cos1xpx).(211cos22xpxx解 由泰勒多项式为),(! 4! 21cos442xpxxx),(! 6! 4! 21cos6642x

7、pxxxx)(1xp)(2xp)(4xp)(6xp)(8xp)(xf 例 设 写出带有拉格朗日余项的马克劳林公式.xexf)(1)0( ,)()()(nxnfexf解 由) 10( )!1(! 2112nxenxxxenxnx所以， 带有拉格朗日余项的马克劳林公式为xexf)(),(! 3! 21332xpxxxex).(11xpxex).(! 21122xpxxex!1! 2111ne时，当1x718281. 2, 9en常用的泰勒公式12)!1(!2!1enxnxxnenxxx1212153)!12(2) 12(sin)!12() 1(! 5! 3sinnnnxnnxnxxxxx)!2() 1(cos)!2() 1(! 4! 21cos2242nxmxnxxxxnnn)() 1(32)1ln(132nnnxonxxxxx例 求极限 xxxxx30sincossinlim解 将分子分别用马克劳林公式表示)0(sin