高一数学上册第三章函数的应用之函数与方程知识点及练习题(含答案)

1、学习必备欢迎下载3.1 函数与方程1、先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：方程 x 22x30 与函数 yx22x3方程 x 22x10 与函数 yx22x1方程 x 22x30 与函数 yx 22x3推广到一般的一元二次方程ax 2bxc0 和二次函数 y ax 2bxc(a 0) ，使用判别式来把两者的关系联系起。一、函数零点的概念对于函数 y f ( x)( xD ) ，把使 f ( x)0成立的实数 x 叫做函数 y f (x)( xD ) 的零点。函数零点的意义：函数 yf (x) 的零点就是方程f ( x)0实数根，亦即函数 yf ( x) 的图象与 x 轴

2、交点的横坐标。即：方程 f ( x) 0 有实数根函数 yf ( x) 的图象与 x 轴有交点函数 yf (x) 有零点。函数零点的求法：求函数yf (x) 的零点：（代数法）求方程f ( x) 0的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf ( x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。二次函数的零点：yax 2bxc(a0) ，方程 ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点。 ，方程 ax2bxc0有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。 ，方程 ax2bxc0无实根，二

3、次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。1. 探索函数零点存在性定理零点存在性的探索观察二次函数f ( x)x 22x3 的图象：在区间 2,1 上有 _1 个 _零点；f (1)_-4_, f (2) · f (1) _ _0（或） 。在区间 2,4 上有 _1 个 _零点；f ( 2)f ( 2)·_5_，f (4) _0（或） 。观察下面函数yf ( x) 的图象在区间 a,b 上 _有 _(有 /无 )零点；f (a) · f (b) _ _0（或）。在区间 b,c 上 _有 _(有 /无 )零点； f (b) · f (c) _ _0（或）

4、。在区间 c,d 上_有 _( 有 /无 )零点； f (c) · f ( d ) _0（或）。零点存在性定理如果函数yf ( x) 在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数yf ( x) 在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c(a, b) ，使得 f (c)f (a) · 0 ，这个f (b) 0，c 也就是方程 f (x) 0的根。函数零点的性质从“数”的角度看：即是使从“形”的角度看：即是函数若函数f (x) 的图象在 xf ( x)0 的实数；f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标；xx0 处与轴相切，则零点x0 通常称为不变号零点；若函

5、数f (x)的图象在 xx0 处与x 轴相交，则零点x0 通常称为变号零点。学习必备欢迎下载函数与方程（ 1）1、函数 f(x)=2x+5 的零点是 _2、已知关于x 的一元二次方程2x2+px+15=0 有一个零点是 -3，则另一个零点是_3、函数 y=-x 2+8x-16 在区间 3,5 上零点个数是_2x2, x1,)14、设函数 f ( x)22 x, x(,1)，则函数 f ( x)x4的零点是 _5、函数 f(x)=ax+b 有一个零点是2，那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是 _6、求证：方程5x2-7x-1=0 的根在一个在区间（-1,0）上，另一个在区间(1,2)上。7

6、、已知函数f(x)=2(m-1)x 2-4mx+2m-1（ 1） m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个不同的交点；（ 2）如果函数的一个零点在原点，求m 的值。8、函数 f(x)=3x-16在区间 3,5 上有 _个零点9、已知 f(x) 的图象是连续不断的，有如下的x 与 f(x) 的对应值表：x123456f(x6.3.-1.-12113)3623760.0.61则函数 f(x) 存在零点的区间是 _10、已知关于 x 的二次函数 f(x) x2 (2t 1)x 12t.(1)求证：对于任意t R，方程 f(x) 1必有实数根；(2)若1 t 3，求证：方程f(x) 0 在区间 ( 1,

7、0)及 (0，1)内各有一个实数根24211、设 f (x)3ax22bx c ，若 a bc 0 ， f (0) 0 ， f (1) 0 求证：（ 1） a 0且 2b1 ；（ 2）方程f ( x) 0 在 (0,1) 内有两个实根a学习必备欢迎下载参考答案函数与方程（1）1、52、53、 1224、9 ,155、0，18226、设 f(x)=5x 2-7x-1f(-1)>0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0且 y=f(x) 的图象在（ -1， 0）和（ 1， 2）上是连续不断的曲线所以 ,方程的根在（ -1， 0）上，另一个根在（ 1， 2）上7、（ 1） m1 且 m 131（ 2） m28、 09、（2， 3）（4， 5）10.证明： (1)由 f(1) 1 知 f(x) 1 必有实数根证明： (1) 由 f(1) 1 知 f(x) 1 必有实数根1 t 3时，因为f( 1) 3 4t 4(3 t) 0，(2)当 2441f(0) 1 2t 2( t) 0，1113t 0，f( ) (2t 1) 1 2t2424所以方程 f(x) 01在区间 ( 1,0)及(0， )内各有一个实数根211、证明：（ 1） Q f (0)c 0 ， f (1) 3a2bc 0 ，由 abc0 ，得