多面体内切外接球问题

1、此类问题是高考的热点，主要考查多面体、球的结构特征及有关计算，考查学生的理解水平和应用能力，考查空间想象能力、计算求解能力、转化与化归能力和分析问题解决问题的能力试题源于教材、高于教材，解决此类问题的关键是找到球心、 计算出球半径笔 者在多年的教学中总结出解决此类问题的求解策略如下教学中，在引导学生掌握“球”的体积与表面积的计算公式的同时，要帮助学生掌握“球”的接切问题如何突破突破点就是两个知识点其一，球面可以看作空间中到一个定点距离等于定长的点的集合其二，用一个平面去截一个球，截面是一个圆，圆心与球心连线、截面圆半径、球半径构成直角三角形（垂径关系）关键点是怎样帮助学生学会画球的截面图高考命

2、题专家喜欢考球面题目，是因为球面题最能考出所谓的“空间想象能力”，球的题我们永远也画不清楚，除非画出截面图，从而将立体问题转化为平面问题，能正确分析 出图形中的基本元素及其相互关系，而这也正是立体几何教学的能力要求关于球的题都比较难，解题突破点都是：学生要有能力看到球面就能画出截面图，然后寻找与球心的关系因此从知识层面上来说，都没有超过我们所说的两个知识点 但这两 个知识点在教科书上又都是没有的，需要教师引申、拓展因此高三阶段在复习 “球”的内容时，需要做一个专题，球与三棱锥、球与四棱锥，球与三棱柱，球与四棱柱（长方体、 正方体），球与圆柱等的内接、外切都要研究清楚一.掌握确定球心位置、计算球

3、半径的常见结论对于一些规则的多面体而言，其外接球和内切球的球心位置或半径都有规律可循1. 长方体的外接球球心为体对角线的交点；半径为体对角线长的一半2. 正方体的外接球、内切球及与各棱相切的球 外接球：球心是正方体中心；半径r=于a （ a为正方体的棱长）内切球：球心是正方体中心；1半径r= $ a（ a为正方体的棱长）与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；V2-半径r= 2 a （ a为正方体的棱长）3. 正四面体的外接球与内切球（正四面体可以看作是正方体的一部分）外接球：球心是正四面体的中心；半径r= 4 a （ a为正四面体的棱长）.内切球：球心是正方体中心；半径r= 12 a （ a为

4、正四面体的棱长）.4. 正棱柱、圆柱的外接球和内切球外接球和内切球的球心在上、下底面中心连线的中点处5. 正棱锥的外接球正棱锥的外接球的球心在其顶点和底面中心的连线上，设正棱锥的底面四边形外接圆r 2 亠 h 2 半径为r,高为h，则其外接球半径 R=不,R2 = r2 +（ h - R）2 .对于一般不规则的外接球球心不好找，放到长方体中不失为一种很好的方法！二.确定球心位置、计算球半径的特殊方法对于某些特殊形状的多面体，有一些巧妙的方法来解1. 若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，则可将这个三棱锥补成一个长方体，长方体的 对角线长度、中点即为该外接球的直径、球心2. 另一种特殊三棱锥也可补成长

5、方体，如三棱锥D- ABC中，DA与平面ABC垂直,AE与EC垂直，可构图求之.3. 正四面体也可补成正方形 （如图）.正四面体的棱长为a,则正方体的棱长为a,外接球的棱长为-3 a.4. 一般四面体外接球可找相邻面，过外心与相应面垂直的垂线交点即为外接球球心.例1.已知三棱锥 P-ABC的正视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 4 nB. 12 nC.1664D. 3 n例2.如图四面体A-BCD中，AB=AD=CD=1,BD=三,BD丄CD，平面A BD丄平面BCD，若四个顶点在同一球面上，则该球的体积为（）2_3_A. 3 nB. 3 n C. 2 nD. 2 n

6、例3.在菱形ABCD中，A=60° , AB = - 3 ,将？ABD沿BD折起到？PBD的位置若二面2角P-BD-C的大小为 3 n，则三棱锥 P-BCD的外接球体积为 例4. 一个棱长为6.2的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体 的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是（）A. 4二 B. 6二 C. 12二 D. 24二练习：1 . 2009年新课标I 理科第15题（5分）直三棱柱ABC- A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若 AB=AC=AA=2,/ BAC=120，则此球的表面积等于 . 答案为：20 n2. 2010年新课标I 理科第10题（5分）设三棱柱

7、的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A. 31 a1 B. Xjt a2 C. - 7T a2 D, 5 Ji a:菩秦=选 B_j313. 2011年新课标I 理科第15题（5分）（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且 AB=6, BC=2，则棱锥 O- ABCD勺体积为.答案：8J34. 2012年新课标I 理科第11题（5分）已知三棱锥s- ABC的所有顶点都在球 O 的表面上， ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2则此三棱锥的体 积为（）5. -b. 站）in區"晴卜水TU2的遷需无盖的正方佯孚理車郵舄划5连 和世在零择口.冉注也 雪球圍恰埒推暑.*国时利博*:課为6CM知不 讨塞程旳再度.鞘球酌怵拱为t ）A.3frfi匹3答案：选A柱被一个何体，该几何体的表6. 2015年新课标I 理科第11题（5分）圆 平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几面积为16+20 n，则r=（）A. 1 B . 2 C . 4 D . 8 答案：选 B7. 2016年新课标I 理科第6题（5分）如图, 视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的28何体的体积是3二，则它的表面积是（）A