第五节 函数展开成幂级数

1、一、泰勒级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数三、欧拉公式三、欧拉公式四、小结四、小结 第五节第五节 函数的泰勒级数函数的泰勒级数一、泰勒级数一、泰勒级数上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?证明证明即即内收敛于内收敛于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0

2、010定定理理 1 1 如如果果函函数数)(xf在在),(0 xu内内具具有有任任意意阶阶导导数数, , 且且在在),(0 xu内内能能展展开开成成)(0 xx 的的幂幂级级数数, , 即即 nnnxxaxf)()(00 则则其其系系数数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann 且且展展开开式式是是唯唯一一的的. . )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项

3、求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数 如如果果)(xf在在点点0 x处处任任意意阶阶可可导导, ,则则幂幂级级数数nnnxxnxf)(!)(000)( 称称为为)(xf在在0 xx 处处的的泰泰勒勒级级数数. . nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf的的麦麦克克劳劳林林级级数数. . 问题问题nnnxxnxfxf)(!)()(000)(? 定义定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定不一定. 0, 00,)(21xxexfx例如例如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的麦氏级数为的麦氏级数为. 0)(),

4、( xs内和函数内和函数该级数在该级数在可见可见).()(,0 xfxfs于于的麦氏级数处处不收敛的麦氏级数处处不收敛外外除除 在在x=0点任意可导点任意可导,定定理理 2 2 )(xf在在点点0 x的的泰泰勒勒级级数数, ,在在),(0 xu内内收收 敛敛于于)(xf在在),(0 xu内内0)(lim xrnn. . 证明证明必要性必要性)()(!)()(000)(xrxxixfxfninii ),()()(xsxfxrnn ,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设xf)()(limxfxsnn )(limxrnn)()(limxsxfnn ;0 充分性充分性),()()(xrxsxfnn

5、 )()(limxsxfnn )(limxrnn , 0 ),()(limxfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于定理定理 3 3 设设)(xf在在)(0 xu上有定义上有定义, ,0 m, ,对对),(00rxrxx , ,恒有恒有 mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,则则)(xf在在),(00rxrx 内可展内可展开成点开成点0 x的泰勒级数的泰勒级数. .证明证明10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ,)!1(10 nxxmn),(00rxrxx ,),()!1(010收敛收敛在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn

6、, 0)(lim xrnn故故.0的泰勒级数的泰勒级数可展成点可展成点x),(00rxrxx 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(mxfrnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收例例1解解.)(展开成幂级数展开成幂级数将将xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn!1!)0()(nnfann , 0 m上上在在,mm xnexf )()(me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!

7、1! 2112由于由于m的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例2.sin)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x例例3.)()1()(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xrxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n

8、 nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 r若若内内在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且两边积分两边积分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 即即,)1ln()(ln

9、xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式注意注意: :.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x有有时时当当,21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1(!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx双阶乘双阶乘2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运

10、算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式求展开式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x例例4处展开成泰勒级数处展开成泰勒级数在在将将141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并求并求的幂级数的幂级数展开成展开成 )1(3141 xx,)311(31 x)

11、31()31(311 312 nxxx31 xxxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 例例5的幂级数的幂级数展开成展开成将将)1(341)(2 xxxxf三、欧拉公式三、欧拉公式复数项级数复数项级数: )()()(2211nnivuivuivu.), 3 , 2 , 1(,为实常数或实函数为实常数或实函数其中其中 nvunn若若 1nnuu, 1nnvv,则则称称级级数数 1)(nnnivu收收敛敛, , 且且其其和和为为 ivu . .若若 2222222121nnvuvuvu收

12、敛收敛, ,则则 1nnu, , 1nnv绝对收敛绝对收敛, ,称复数项级数绝对收敛称复数项级数绝对收敛. .复数项级数绝对收敛的概念复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式三个基本展开式,! 212 nxxxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)( x的幂级数展开式的幂级数展开式由由xe nixixnixixe)(!1)(! 2112)!12()1(! 31()!2()1(! 211(12322 nxxxinxxnnnnxixsincos xcosxsinxixeixsincos iee

13、xeexixixixix2sin2cosxixeixsincos 又又 揭示了三角函数和复变数指数函数之间的揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系一种关系. .欧拉公式欧拉公式)sin(cosyiyeexiyx 四、小结四、小结1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.4.4.欧拉公式欧拉公式思考题思考题什么叫幂级数的间接展开法？什么叫幂级数的间接展开法？思考题解答思考题解答 从已知的展开式出发从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分

14、等办法算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数求出给定函数展开式的方法称之展开式的方法称之.一一、 将将下下列列函函数数展展开开成成x的的幂幂级级数数, ,并并求求展展开开式式成成立立的的区区间间: : 1 1、xa； 2 2、)1ln()1(xx ; ; 3 3、xarcsin； 4 4、3)1(1xx . .二二、 将将函函数数3)(xxf 展展开开成成)1( x的的幂幂级级数数, ,并并求求展展开开式式成成立立的的区区间间 . .三三、 将将 函函 数数231)(2 xxxf展展 开开 成成)4( x的的 幂幂 级级数数 . .四四、 将将级级数数 11211)!12(2)1(nnnnnx的的和和函函数数展展开开成成)1( x的的幂幂级级数数 . .练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111