曲线上一点处的切线

1、执教者执教者：金志春常熟市梅李中学常熟市梅李中学曲线上一点处的切线曲线上一点处的切线曲线上一点处的切线曲线上一点处的切线1.什么叫做平均变化率什么叫做平均变化率几何意义：几何意义：平均变化率平均变化率近似地近似地刻画了曲线在某个刻画了曲线在某个区间上区间上的的变化趋势变化趋势一般地，函数一般地，函数f(x)在区间在区间x1,x2上的平均变化率上的平均变化率曲线曲线y=f(x) 上两点上两点 连线的斜率。连线的斜率。1）观察）观察“点点p附近的曲线附近的曲线”，随着图形放大，你看，随着图形放大，你看到了怎样的现象？到了怎样的现象？ 2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势）这种现象下，这么

2、一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了看几乎成了 这种思维方式就叫做这种思维方式就叫做“逼近思想逼近思想”。从上面的图形来看：曲线在点曲线在点 p附近附近看上去几乎成了直线看上去几乎成了直线继续放大，曲线在点继续放大，曲线在点p附近将逼近一条确定的直线附近将逼近一条确定的直线l，这条直线是过点这条直线是过点p的所有直线中最逼近曲线的一条直线的所有直线中最逼近曲线的一条直线pqoxyy=f(x)割割线线切线切线l 如图，设如图，设q为曲线为曲线c上不同于上不同于p的一点，直线的一点，直线pq称为曲线的称为曲线的割线割线. yoxpq切线随着点随着点q沿曲线沿曲线c向点向点p运动，直线运动，直线pq

3、在点在点p附近逼近曲线附近逼近曲线c， 当点当点q无限逼近点无限逼近点p时，直线时，直线pq最终就成为经过点最终就成为经过点p处最逼近曲线的直线处最逼近曲线的直线l，这条直线这条直线l也称为也称为曲线在点曲线在点p处的切线处的切线这种方法叫这种方法叫割线逼近切线割线逼近切线.利用直尺，用割线逼近切线的方法作出利用直尺，用割线逼近切线的方法作出下列曲线在下列曲线在p点处的切线点处的切线 ppp为已知曲线已知曲线c上的一点，上的一点，试求试求f (x)=x2在点在点(2,4)处的切线斜率处的切线斜率q），（），（分析：设)x(f ,xq42pqq2x2x4x2x4)x( fkpqqq2qqqpq

4、的斜率为的斜率为则割线则割线;ppqpq斜斜率率从从而而割割线线斜斜率率逼逼近近切切线线处处的的切切线线，逼逼近近点点割割线线时时，沿沿曲曲线线逼逼近近点点当当;4k2xpqpqq无无限限趋趋近近于于常常数数时时，无无限限趋趋近近于于即即点点横横坐坐标标时时，点点横横坐坐标标无无限限趋趋近近于于当当. 442x)x(f2切切线线斜斜率率为为）处处的的，在在点点（从从而而曲曲线线 . 442xf(x)4k0 x2pq）处处的的切切线线斜斜率率为为，在在点点（从从而而曲曲线线，无无限限趋趋近近于于常常数数时时，无无限限趋趋近近于于当当 的斜率则割线设解pq),)x2( , x2(q),4 , 2(

5、p：2 试求试求f (x)=x2在点在点(2,4)处的切线斜率处的切线斜率x4xxx4x4)x2(k22pq），（），（解：设2qqx,xq42p2x2x4xkpqqq2qpq的斜率为则割线. 442xf(x)4k2x2pqq斜率为）处的切线，在点（从而曲线，无限趋近于常数时，无限趋近于当练习练习：试求试求f (x)=x2+1在在x=1处的切线斜率处的切线斜率. 211xf(x)2k0 x2pq处的切线斜率为在点从而曲线，无限趋近于常数时，无限趋近于当x的斜率则割线设由题意解pq),1)x1 ( , x1 (q),2 , 1 (p2，： 练习：练习：试求试求f (x)=x2+1在在x=1处的切

6、线斜率处的切线斜率当当割割 线线 逼逼 近近 切切 线，线，割线斜率逼近切线斜率割线斜率逼近切线斜率x2xxx2x2 1)x1(k22pqyxoy = f(x) xx0 x0+ xpqf (x0+ x) f (x0)切线切线割线割线2.求出割线求出割线pq的斜率的斜率 ,并化简并化简. x)(x)xx(k00pqff求曲线求曲线y=f(x)上一点上一点p(x0,f(x0)处切线斜率的一般步骤处切线斜率的一般步骤:3. 令令x 趋向于趋向于0,若上式中的割线斜率若上式中的割线斜率“逼近逼近”一个常数，一个常数， 则其即为所求切线斜率则其即为所求切线斜率1.设曲线上另一点设曲线上另一点q(x0 +x,f(x0 + x)（即即 y)变式变式1.已知函数已知函数f(x)=x2,求曲线求曲线y=f(x)在在x=-1处的切线处的切线斜率和切线方程斜率和切线方程变式变式2.已知函数已知函数f(x)=x-1,求曲线求曲线y=f(x)在在x=-1处的切处的切线斜率和切线方程线斜率和切线方程练习：已知练习：已知f(x)= ,求曲线求曲线y=f(x)在在x=0.5处的切线处的切线斜率是什么？斜率是什么？练习练习.已知函数已知函数f(x)=(1-x2)0.5,求曲线求曲线y=f(x)在在x=0.5处处的切线斜率和切线方程的切线斜率和切线方程割线pqp点处