数量积向量积

1、第二节第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积数量积 向量积向量积 第七章第七章 1m一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为沿与力夹角为 w1. 定义定义设向量设向量的夹角为的夹角为 ,称称 记作记作数量积数量积 (点积点积) .引例引例. 设一物体在常力设一物体在常力 f 作用下作用下, f位移为位移为 s ,则力则力f 所做的功为所做的功为 cossfsfw 2mba cosba的的与与为为baba,s机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,21mm 移移动动到到点点的的直直线线

2、从从点点ab ,0时时当当 a上的投影为上的投影为在在ab记作记作故故,0,时时当当同理同理 babbjrp2. 性质性质bajrp cosb babaajrp ba aa)1(2a0 )2( baba ba0 ba则则2 ),(ba0,0 ba机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 cos|baba ( (零向量与任意向量垂直零向量与任意向量垂直, ,故其中之一为零向量故其中之一为零向量时时(2)也也成立成立.).)abc3. 运算律运算律(1) 交换律交换律abba (2) 分配律分配律cbcacba )(事实上事实上, 当当0 c时时, 显然成立显然成立 ;时时当当0

3、 c cba )(jrpbacc c )jrpjr(pbacc accjrp bccjrp ca cb 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (3) 结合律结合律),(为为实实数数 ba)( )(ba babaajrpabcabc例例1. 证明三角形余弦定理证明三角形余弦定理 cos2222abbac 证证:则则 cos2222abbac 如图如图 . 设设,abc ,bac cba bac 2c)()(baba aa bb ba 22a 2b cos2ba ccbbaa ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示

4、设设则则,1 0 zzyyxxbabababa 当当为非零向量时为非零向量时,baba cos zzyyxxbababa 222zyxaaa 222zyxbbb 由于由于,cos baba ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx ba )(kajaiazyx)(kbjbibzyx ii jj kk ji kj ik ba,两向量的两向量的夹角公式夹角公式 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 cosprj )3(aab )22()4(11222 .)3(;)2(;)1(),2 , 2, 1(),4, 1 , 1(上的投影上的投影在在的夹角的夹角与与求求已知已知ba

5、bababa 解解:2)4()2(111)1( ba222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,22 .43 cosaba例例2. 9 . 3 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )12 , 11 , 12( mb)11 , 12 , 12( ma222222101011 100111 bm例例3. 已知三点已知三点, )2,1,2(),1,2,2(, )1,1,1(bam amb . a解解:则则 ambcos21 .3 amb求求mbma ma mb故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),0 , 1 , 1

6、( ).1 ,0 , 1( 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设设o 为杠杆为杠杆l 的支点的支点 , 有一个与杠杆夹角为有一个与杠杆夹角为 oqolp q符合右手规则符合右手规则oq ff sinop sinopmfopopm m矩是一个向量矩是一个向量 m :的力的力 f 作用在杠杆的作用在杠杆的 p点上点上 ,则力则力 f 作用在杠杆上的力作用在杠杆上的力fopfmfm 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1. 定义定义定义定义向量向量方向方向 :(叉积叉积)记作记作且符合右手规则且符合右手规则模模 :向量积向量积 ,，的的夹夹角角为为设设 ba,c

7、,ac bc c sinba称称c的的与与为为向向量量babac ba引例中的力矩引例中的力矩fopm 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 cba 2. 性质性质，0sin 或或0 . 0)1( aa0 )2( ba./ba,0,0时时当当 baba0 ba0sin ba3. 运算律运算律(2) 分配律分配律(3) 结合律结合律.ab cba )(. cbca ba )( )( ba ).(ba ba )1(证明证明:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( (零向量与任意向量平行零向量与任意向量平行, ,故其故其中之一若为零向量中之一若为零向量(

8、2)也也成立成立.).) sinbaba 则则设设,kbjbibbkajaiaazyxzyx )()(kbjbibkajaiabazyxzyx )()()()()()()()()(kkbajkbaikbakjbajjbaijbakibajibaiibazzyzxzzyyyxyzxyxxx 0 kkjjii,jikikjkji ,jkiijkkij kbabajbabaibababaxyyxzxxzyzzy)()()( 4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式ijk机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kji xayazaxbybzbzyzybbaai z

9、xzxbbaaj yxyxbbaak baibabayzzy)( jbabazxxz)( kbabaxyyx)( kajaiaazyx kbjbibbzyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 .35kji . ),2 , 1, 1(),1, 1 , 2(baba 计计算算已已知知解解:例例4.2112 j1112 k211112 kjiba2111 i向量积的几何意义向量积的几何意义:)1(的模的模ba sinbaba , abcdsba :)2(的方向的方向ba .baba又垂直于又垂直于既垂直于既垂直于 )sin( bhha ab sinbh abcd. 21basabd 机动 目录 上

10、页 下页 返回 结束 例例5. 已知三点已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2,1(cba角形角形 abc 的面积的面积. 解解: 如图所示如图所示, cbasabc21 kji222124)(21 ,4,6 22222)6(421 14 21acab 求三求三机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )4,2,1( )2,2,2( acab22|)( baba .|)(2222bababa 证证明明,cos)( 2222 baba ,sin2222 baba .22ba 例例6. .证证)sin(cos2222 ba机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返

11、回返回 结束结束 一点一点 m 的线速度的线速度例例7. 设刚体以等角速度设刚体以等角速度 绕绕 l 轴旋转轴旋转, , 计算刚体上计算刚体上 ml解解: 在轴在轴 l 上引进一个角速度向量上引进一个角速度向量使使a其其在在 l 上任取一点上任取一点 o,o作作它与它与则则点点 m离开转轴的距离离开转轴的距离且且符合右手法则符合右手法则的夹角为的夹角为 , ,sin ra , rom av sinr , , vr . rv . vv方向与旋转方向符合右手法则方向与旋转方向符合右手法则 ,r向径向径机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结设设1. 向量运算向量

12、运算加减加减:数乘数乘:点积点积:),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa zzyyxxbabababa . ),(, ),(zyxzyxbbbbaaaa 叉积叉积:zyxzyxbbbaaakjiba 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 向量关系向量关系:zzyyxxababab 0 zzyyxxbabababa/ba 0 ba机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0 ba思考与练习思考与练习1. 设设计算计算并求并求夹角夹角 的正弦与余弦的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方

13、法证明正弦定理用向量方法证明正弦定理:ccbbaasinsinsin ba,1baba,2jibkjia ,baba 及及babcac机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证证: 由三角形面积公式由三角形面积公式acbsinbacsinbbaasinsin所以所以ccsincbasin因因babcacabacsabc21bcba21cacb21abacbcbacacb机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22200)2(211abcd在顶点为在顶点为三角形中三角形中, , )2,1,1( a)0,1,1(b的的和和)1,3,1( c求求 ac 边上的高边上的高 bd .解：解：)3,4,0(ac, 5)3(422| ac)2,2,0(ab三角形三角形 abc 的面积为的面积为 |21abacs21s| ac| bd5211| bd52|bd3.而而故有故有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页