第十讲无穷级数

1、第十讲 无穷级数一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法二、幂级数二、幂级数三、傅里叶级数三、傅里叶级数一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正),2, 1,0(23nn边形, 这个和逼近于圆的面积 a .0a1a2ana设 a0 表示,时n即naaaaa210内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正边形面积为n23机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义： 给定一个数列,321nuuuu将各项依,1nnu即1nnunuuuu321称上式为无穷级数， 其中第 n 项nu叫做级数的一般项,级数的前 n 项和

2、nkknus1称为级数的部分和.nuuuu321次相加, 简记为,lim存在若ssnn收敛收敛 ,则称无穷级数并称 s 为级数的和和, 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 1nnus当级数收敛时, 称差值21nnnnuussr为级数的余项余项.,lim不存在若nns则称无穷级数发散发散 .显然0limnnr机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn( q 称为公比 ) 的敛散性. 解解: 1) 若,1q12nnqaqaqaasqqaan1时，当1q, 0limnnq由于从而qanns1lim因此级数收敛 ,;1 qa,1时

3、当q,limnnq由于从而,limnns则部分和因此级数发散 .其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2). 若,1q,1时当qansn因此级数发散 ;,1时当qaaaaan 1) 1(因此nsn 为奇数n 为偶数从而nnslim综合 1)、2)可知,1q时, 等比级数收敛 ;1q时, 等比级数发散 .则,级数成为,a,0不存在 , 因此级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 判定下列级数的敛散性211111222n（1）（3）23238888( 1)9999nnn （2）232333332222nn例例3. 判别下列级数的敛散性:11111(1)ln; (2);(3)(1

4、)(1)nnnnnnnn n 解解: (1) 12lnnsnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以级数 (1) 发散 ;技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和23ln34lnnn1ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) ) 1(1431321211nnsn211111n）n(1所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 12121111.,().nnnnnnnusvsuvss若则.,.同敛散与则设1102nnnnuukk.,即则若skuksun

5、nnn11.同敛散与nnnuu13kn) .,(收敛和发生改变项无关级数的敛散性与前有限11nnnnukuk二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 . )(.逆命题不成立敛收敛级数加括号后仍收4.,:则原级数发散加括号后级数发散逆否15.lim0. ().nnnnuu收敛收敛的必要条件.)(lim:发散或不存在逆否10nnnnuu:重要级数.111nnqa几何级数.,时发散当和时收敛当111qqasqnnn131211121调和级数.调和级数发散qqasnn11说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则)(1nnnvu 必发散 . 但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发

6、散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性质1表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.利用性质判断下列级数的敛散性:141141131131121121解解: 考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散 ,从而原级数发散 .nn121机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1）（2）,1) 1(544332211nnn解解:1( 1)1nnnun limnnu不存在所以级数 (2) 发散（3）31111,3333n解解:1limlim3nnnnu=10

7、 所以级数 (3) 发散222121212232323nnn（1）（2）222121212232323nnn思考与练习思考与练习判断下列级数的敛散性:（3）1111,3693n（4）114nn若 收敛，1nnu判断下列级数的敛散性:11nnu110nnu1(10)nnu101nnu三、正项级数及其审敛法三、正项级数及其审敛法若,0nu1nnu定理定理 1. 正项级数1nnu收敛部分和序列ns),2, 1(n有界 .则称为正项级数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 (比较审敛法比较审敛法)设,1nnu1nnv且存在,zn对一切,nn 有(1) 若“大”级数1nnv则“小”级数1n

8、nu(2) 若“小”级数1nnu则“大”级数1nnv则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .nnvku 是两个正项级数, (常数 k 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 讨论 p 级数pppn131211(常数 p 0)的敛散性. 解解: 1) 若, 1p因为对一切,zn而调和级数11nn由比较审敛法可知 p 级数11npnn1发散 .发散 ,pn1机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 若, 1pp 级数收敛 .证明级数1) 1(1nnn发散 .证证: 因为2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而级数111nn21kk发散根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .

9、例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. (比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当 l = ,1发散时且nnv.1也发散nnu设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 的敛散性. nnn1lim例例3. 判别级数11sinnn的敛散性 .解解: nlim sin1nn11根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例例4. 判别级数1211lnnn解解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知.11ln12

10、收敛nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习用比较判别法判定下列级数的敛散性(1)11111,35721n(2)222121 311,121 31nn(3)111,2 53 6(1)(4)nn定理定理4 . 比值审敛法 ( dalembert 判别法)1lim1nnnuu:11npnnnnuu1lim设 nu为正项级数, 且,lim1nnnuu则(1) 当1(2) 当1时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如, , p 级数ppnnn1) 1

11、(1lim1但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 . limn例例5. 讨论级数)0(11xxnnn的敛散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理4可知:,10时当 x级数收敛 ;,1时当 x级数发散 ;.1发散级数nn,1时当 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习用比值判别法判定下列级数的敛散性(1)23233333,1 22 23 22nnn(2)213nnn(3)1!nnnn定理定理5. 根值审敛法 ( cauchy判别法)(3)11nnnn e设 1nnu为正项级,limnnnu则;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 数

12、, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 时 , 级数可能收敛也可能发散 .例例6. 用根值法判定下列级数的敛散性(1)(2)121nnnn例例7. 证明级数11nnn收敛于s ,似代替和 s 时所产生的误差 . 解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知该级数收敛 .令,nnssr则所求误差为21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111n并估计以部分和 sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四四 、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321) 1(称为交错级数交错级数 .

13、定理定理6 . ( leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛 , 且其和 ,1us 其余项满足.1nnur,2, 1,0nun设机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛收敛nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;!1)21nn发散收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、绝对收敛与条件收敛五、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数,1nnu

14、若若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级111) 1(nnn1nnu收敛 ,1nnu数1nnu为条件收敛 .例如例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .例例8. 判定下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1111,234 1110) 1(nnnn(2)(3)1( 2)nnn条件收敛 .绝对收敛 ；发散 例例9. 证明下列级数绝对收敛 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn证证: (1),1sin44nnn而141nn收敛 ,14sinnnn收敛因此14sinnn

15、n绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 任意项级数审敛法为收敛级数1nnu设leibniz判别法:01n

16、nuu0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛概念:,1收敛若nnu1nnu称绝对收敛,1发散若nnu条件收敛1nnu称机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习设正项级数1nnu收敛, 能否推出12nnu收敛 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知12nnu收敛 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收敛 ,11nn发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 六、六、 函数项级数的概念函数项级数的概念设121)()()()(nnnxuxuxuxu为定义在区间 i 上的函数项级数函数项级数 .对, i0 x若常数项级数10)(nnxu敛点敛点,

17、 所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ;若常数项级数10)(nnxu为定义在区间 i 上的函数, 称收敛,发散 ,所有0 x称为其收收 0 x称为其发散点发散点, ),2, 1()(nxun发散点的全体称为其发散域发散域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 , )(xs为级数的和函数和函数 , 并写成)()(1xuxsnn若用)(xsn)()(1xuxsnkkn令余项)()()(xsxsxrnn则在收敛域上有, )()(limxsxsnn0)(limxrnn表示函数项级数前 n 项的和, 即在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如, 等比级

18、数它的收敛域是, )1,1(nnnxxxx2011( )1s xx,)1,1(时当x有和函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnnnxaxaxaaxa22100.称为幂级数,limraannn11 设定理,时则当rx 0nnnxa幂级数,绝对收敛.的收敛半径为幂级数称0nnnxar.,发散时当0nnnxarx七、幂级数七、幂级数111.nnxn例求幂级数的收敛域11111 nnaarnnnnlimlim解)(,调和级数发散时当11111nnnnxnx)(.)(,交错级数收敛时当111111nnnnnxnx11 1,1).nnxn所以的收敛域为.,.也可能发散可能收敛收敛区间的端点注rx

19、.,具体情况具体分析情况较复杂20121!2!nnnxxxxnn 例,lim!limlim111nnnaarnnnnn.),(!上绝对收敛在01nnxn213!12!nnnn xxxn x 例,lim!limlim01111nnnaarnnnnn.!这一点收敛只在00 xxnnnr0r.的收敛半径求例112136nnnxn.:042aa幂级数缺项解212112213313xxnxnuunnnnnnnn)(limlim,幂级数绝对收敛时即当时当31132xx.,幂级数发散时即当时当31132xx.31r.)(的收敛域求例11217nnnxn1211nnntntx则幂级数变为设解,1nnnaarlimnnnnn2121)(lim2,发散时当111212nnnnntnt.)(,收敛时当111212nnnnnntnt, ),22211的收敛域为nnntn. ),)(311211的收敛域为nnnxn:)(的