概率知识点及练习

1、 §1 随机事件及其运算 1.1. “随机试验”是指试验的结果都具有同等发生的可能性吗?答：不是的.所谓“随机试验”, 是相对于“确定性试验”而言的,它是指一个试验可以在相同条件下重复进行, 而且每次试验的结果事先不能预言出现上述错误看法的原因, 往往是把“随机”两字理解为“机会均等”1.2. A、B、C为任意三事件, 是否可以推出 (A+B)-C=A+(B-C)？答：不可以推出如掷一颗骰子试验, 观察出现的点数, 记事件A=2, B=点数小于4, C=偶数,有 ， ， 故 (A+B)-CA+(B-C)产生这种错误的原因往往是想当然, 不假思索把数的运算律用到事件的运算中来

2、.1.3. A、B为任意二事件, 是否有A+B-A=B？答：不是. 若AB, 则 A+B-A=(A+B)-A . 1.4.事件的和、差运算是否可以“去括号”或交换运算次序, 如  B+(A-B)=B+A-B=B-B+A=Æ+A=A答：不可以设事件A、B关系如图, 显然应有   B+(A-B)=A+B1.5.事件的运算是否可以“移项”, 如由 A+B=C Þ A=C-B, A-B=D Þ A=B+D答：不可以但是增加一些条件便可以移项了有下述结果:(1)    若AB=Æ 且A+B=C, 则A=C

3、-B;(2)    若 , 且A-B=D, 则A=B+D1.6.若A=B, 则A、B为同一事件, 对吗?答：不对举一反例说明：两个灯泡串联, 记A=A灯亮, B=B灯亮,因为A不发生必导致B不发生，故 ; 又B不发生必导致A不发生 ,因此A=B, 但A、B并非同一事件.1.7.若A=B, 则A、B同时发生或A、B同时不发生, 对吗?答：对.1.8.“事件A、B都发生”与“A、B都不发生”是对立事件吗?答：不是的.1.9. A1, A2, , An构成完备事件组, 当且仅当同时满足 (1)A1+A2+An=; (2)A1A2An=Æ. 上述说法对吗? 答：

4、不对.因为A1A2An=与A1, A2, An互不相容不等价.1.10.“事件A、B、C两两互不相容”与“ ABC=Æ”是不是一回事?并说明它们的联系.答：不是一回事. “两两互不相容”-其中任意两个事件无公共部分,即AB=, AC=Æ , BC=Æ同时成立”; “ ABC=Æ”-三事件A、B、C无公共部分.可能的联系是: “两两互不相容” Þ“ ABC=Æ”, 反之则未必成立.1.11.设A、B为两事件,(1)  若AB=A+B, 则A与B应满足什么关系;(2)    若 ,则A与B应满足什么

5、关系.答：(1)    由 知,                        又 互不相容, 从而有:            .  故 , 从而有 ;仿上述推导可得 , 从而有 ;于是得A=B.(2)  &#

6、160; 由 有 , . 上述两式表明A与B是互为对立事件,即 §2 概率的定义 2.1.判断: P(A)=P(B)的充要条件是A=B.答：错误. 事实上, 由A=B可以推出P(A)=P(B),但P(A)=P(B) 不能推出A=B.例如在掷币试验中, 记A=正面朝上, B=反面朝上,我们已知P(A)=P(B)=1/2, 但显然AB.2.2.若A、B互不相容, 则求A、B同时发生的概率是否可用公式:       .答：不可以. 对任意两个事件, 第一个等号成立, 第二个等号也成立, 但第三个等号是不成立的.

7、因为若A、B互不相容, 一般是不互斥的(除非A=Æ, B=; 或A=, B=Æ).  故          .总的说来, 当A、B互不相容时, 完全没有必要去建立什么求P(AB)的公式, 因为这时一定有 P(AB)=P()=0.2.3.P(A)=0的充要条件是A=Æ, 对吗?答：不对. 因为A= Æ可以推出P(A)=0, 故A=Æ是P(A)=0的充分条件, 但非必要条件(即由P(A)=0不能推出A=Æ). 如连续型随机变量,  在某个点

8、取值的概率为0, 但这个随机变量取这个值这个事件却不是不可能事件.2.4.P(B)=1的充要条件是B=,对吗? 答：不对.道理同第2.3.题.2.5.若P(ABC)=0, 是否可以推出: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).答：不可以. 对任意事件A、B、C,恒有    P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).当且仅当A、B、C两两互不相容时才有         P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).现由题

9、设P(ABC)=0, 并不能推出A、B、C两两互不相容, 因此原命题不成立.2.6.若A、B互不相容, 则是否有P(A-B)=P(A)-P(B).答：不成立. 我们可以证明, 对任意两个事件A、B,恒有          P(A-B)=P(A)-P(AB)对上式, 若A、B互不相容, 并不能推出P(AB)=P(B), 从而知原命题不成立.2.7.对于任意两个事件A、B,  恒有P(AB)P(A)+P(B),  等号当且仅当A、B都不发生时成立, 上述结论是否正确?答：上述结论的前一半是

10、正确的,但后一半是不正确的.事实上, 由概率的加法定理         P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)0,则 P(AB)P(A)+P(B).但是,显然,  等号当且仅当P(A+B)=0时成立. 因为,当A、B都不发生时, A、B至少一个发生是不可能的, 即A+B=Æ, 故P(A+B)=0.反之, 当P(AB)=P(A)+P(B)时,  则P(A+B)=0,  由此并不能推出一定有A+B=Æ(即A、B都不发生).综合上述, 知原命题不成立.2.8.设A、

11、B、C为三个事件, 满足条件: P(AB)=P(A)P(B), . 证明: P(AC)P(A)P(C).证明: 由 知, 又 , 可得A、B、C三事件之间的关系如图所示.从而有 , 且AB与 互不相容, 于是 .2.9.对于古典概型，因为样本空间中的基本事件没有顺序，因此计算基本事件总数时，只能用组合而不能用排列, 上述说法正确吗?答：不正确. 首先要指出，问题本身的提法是含糊的. 以同时掷两枚硬币的试验为例，它的基本事件是：e1=正, 正，e2=正, 反，e3=反, 正，e4=反, 反. 所谓“基本事件没有顺序”是指e1、e2、e3、e4没有顺序，还是指“正”与“反”没有顺序？此其一.古典概

12、型与排列组合有什么必然联系？此其二. 不少学生有一个错误的看法，似乎计算古典概型的概率必须用排列组合，不需排列组合计算的概率就一定不是古典概型。更有甚者，把概率论与排列组合等同起来,这些都是不正确的.2.10.下列解法正确与否？8个足球队中，有2个强队，先任意将8个队分为两组（每组4个队）进行比赛.这两个强队被分在一个组内的概率是多少？解: 两个强队要分在一组，只要从剩下的6个队中任取2个队和这两个强队拼成一组就行了，共有 种方法，故所求的概率为 .答: 不正确. 产生错误的原因是分子分母所在的样本空间不一致，事实上 分子：一种分组法是一个基本事件； 分母：每4个队的一种组合是一个基本事件.2

13、.11.已知P(A)=0.8,  P(A-B)=0.2, 求. 答：(2/5. 提示,由此推出 1-P(B|A)=1/4, 再利用 .)2.12.甲、乙二人进行一种游戏,  规则如下: 每掷一次(均匀的)硬币, 正面朝上时甲得1分乙得0分; 反面朝上时甲得0分乙得1分; 直到谁先得到规定的分数为赢, 赢者获奖品. 当游戏进行到甲还差2分、乙还差3分就分别达到规定的分数时, 因故游戏停止. 问此时如何分奖品给甲、乙才算公平.答：为了确保公平, 设想把游戏进行到能分出输赢为止. 在所得到的各种可能结果中看甲赢和乙赢的这两个事件所包含的基本事件个数各是多少, 按甲、乙所赢的概率之

14、比分奖品是公平的.为了能分出输赢还要掷硬币2+3-1=4次(少于4次, 有些情形分不出输赢),  所有可能结果即基本事件总数为24=16, 这些基本事件的发生是等可能的.甲赢即正面朝上至少2次, 甲赢的这个事件包含的基本事件个数为 ,故P(甲赢)=11/16. 乙赢即反面朝上至少3次, 乙赢的有利场合数为   ,故P(乙赢)=5/16. 按11:5分奖品, 对甲乙二人是公平的§3 条件概率及全概率公式 3.1.对任意两个事件A、B, 是否恒有P(A)P(A|B).答：不是. 有人以为附加了一个B已发生的条件, 就必然缩小了样本空间, 也就缩小了概率, 从

15、而就一定有P(A)P(A|B),  这种猜测是错误的. 事实上,可能P(A)P(A|B), 也可能P(A)P(A|B), 下面举例说明.在0,1,9这十个数字中, 任意抽取一个数字,令 A=抽到一数字是3的倍数;    B1=抽到一数字是偶数;    B2=抽到一数字大于8, 那么    P(A)=3/10, P(A|B1)=1/5, P(A|B2)=1. 因此有 P(A)P(A|B1), P(A)P(A|B2).3.2.以下两个定义是否是等价的. 定义1. 若事件A、B满足P(AB)=P(A)

16、P(B),  则称A、B相互独立. 定义2. 若事件A、B满足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B), 则称A、B相互独立.答：不是的.因为条件概率的定义为     P(A|B)=P(AB)/P(B) 或 P(B|A)=P(AB)/P(A)自然要求P(A)0,  P(B)0, 而定义1不存在这个附加条件, 也就是说,P(AB)=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=0也是成立的. 事实上,  若P(A)=0由0P(AB)P(A)=0可知P(AB)=0故 P(AB)=P(A)P(B).因此定义1与定义2不等价,

17、更确切地说由定义2可推出定义1,  但定义1不能推出定义2, 因此一般采用定义1更一般化.3.3.对任意事件A、B, 是否都有         P(AB)P(A)P(A+B)P(A)+P(B).答：是的.由于 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (*)因为  P(AB)0, 故 P(A+B)P(A)+P(B).由P(AB)=P(A)P(B|A), 因为0P(B|A)1,故 P(AB)P(A);同理P(AB)P(B),  从而 P(B)-P(AB)0, 由(*)知 P(A+B)

18、P(A).原命题得证.3.4.在引入条件概率的讨论中, 曾出现过三个概率: P(A|B), P(B|A), P(AB). 从事件的角度去考察, 在A、B相容的情况下, 它们都是下图中标有阴影的部分, 然而从概率计算的角度看, 它们却是不同的. 这究竟是为什么?答：概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别:P(A|B)的计算基于附加样本空间B;P(B|A)的计算基于附加样本空间A;P(AB)的计算基于原有样本空间. 3.5.在n个事件的乘法公式： P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)中,涉及那么多条件概率, 为什么在给出上述乘法公式时

19、只提及P(A1A2An-1)>0呢? 答：按条件概率的本意, 应要求P(A1)>0,  P(A1A2)>0, ,  P(A1A2An-2)>0,           P(A1A2An-1)>0.事实上, 由于A1A2A3An-2 A1A2A3An-2An-1, 从而便有P(A1A2An-2) P(A1A2An-1)>0. 这样,  除P(A1A2An-1)>0作为题设外,  其余条件概率所要求的正概率, 

20、 如P(A1A2An-2) >0, ,  P(A1A2) >0,  P(A1)>0便是题设条件P(A1A2An-1)>0的自然结论了.3.6.计算P(B)时,  如果事件B的表达式中有积又有和, 是否就必定要用全概率公式.答：不是. 这是对全概率公式的形式主义的认识,  完全把它作为一个”公式”来理解是不对的.   其实,  我们没有必要去背这个公式,  应着眼于A1,A2,An的结构. 事实上,  对于具体问题,  若能设出n个事件Ai, 使之满足 (*)就可得

21、60;  . (*)这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式.因此,  能否使用全概率公式,  关键在于(*)式, 而要有(*)式,  关键又在于适当地对进行一个分割,  即有(*)式.3.7.设P(A)0,  P(B)0, 因为有(1)若A、B互不相容, 则A、B一定不独立.(2)若A、B独立, 则A、B一定不互不相容.故既不互不相容又不独立的事件是不存在的. 上述结论是否正确.答：不正确. 原命题中的结论(1)(2)都是正确的.  但是由(1)(2)(它们互为逆否命题,  有其一就可以了)只能推出在P(A)0,&

22、#160; P(B)0的前提下, 事件A、B既互不相容又独立是不存在的,  并不能推出“A、B既不独立又不互不相容是不存在的”. 事实上, 恰恰相反,  既不互不相容又不独立的事件组是存在的, 下面举一例.5个乒乓球(4新1旧),  每次取一个,  无放回抽取三次,  记Ai=第i次取到新球,  i=1, 2, 3. 因为是无放回抽取, 故A1、A2、A3互相不独立, 又A1A2A3=三次都取到新球,  显然是可能发生的,  即A1、A2、A3可能同时发生,  因此A1、A2、A3不互不相容.3.8.事件

23、A、B的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系? 事件A、B “独立”与“互不相容”又有什么区别和联系?答：“对立”与“互不相容”区别和联系,  从它们的定义看是十分清楚的, 大体上可由如下的命题概括: “对立” “互不相容”,  反之未必成立.至于“独立”与“互不相容”的区别和联系, 并非一目了然.事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生，是纯粹的事件的关系,  丝毫未涉及它们的概率, 其关系可借助图直观显示.事件的独立性是由概率表述的,  即当存在概率关系P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)时,  称A、B是相互独立的.它们的联系可

24、由下述命题概括: 对于两个非不可能事件A、B,  则有“A、B互不相容” “A、B不独立”.  其等价命题是: 在P(A)>0与P(B)>0下,  则有“A、B独立” “A、B不互不相容”(相容). 注意,  上述命题的逆命题不成立.3.9.设A、B为两个事件,若 0<P(A)<1, 0<P(B)<1. (*)则A、B相互独立, A、B互不相容, , 这三种情形中的任何两种不能同时成立.答：在条件(*)下当A、B相互独立时, 有 P(AB)=P(A)P(B);当A、B互不相容时, 有 P(AB)<P(A)P(B)

25、;当 时, 有 P(AB)>P(A)P(B). 在条件(*)下, 上述三式中的任何两个不能同时成立. 因此,  A、B相互独立, A、B互不相容,   这三种情形中的任何两种不能同时成立.此结论表明: 在条件(*)下,若两个事件相互独立时,  必不互不相容，也不一个包含另一个,而只能是相容了.3.10.证明: 若P(A)=0或P(A)=1,  则A与任何事件B相互独立.答：若P(A)=0, 又,  故0P(AB)P(A)=0.于是P(AB)=0=P(A)P(B),所以A与任何事件B相互独立.若P(A)=1, 则 .由前面所证知, 与任何事

26、件B相互独立.  再由事件独立性的性质知,   与B相互独立, 即A与B相互独立.另种方法证明: 由P(A)=1知 ,  进而有. 又 且AB与互不相容,  故 . 即A与B相互独立.3.11.设A、B是两个基本事件,  且0<P(A)<1,P(B)>0,   , 问事件A与B是什么关系?解1由已知条件 可得 .由比例性质, 得 .所以 P(AB)=P(A)P(B).因此事件A与B相互独立.解2由 得 .因而 .又 ,所以 P(B|A)=P(B).因此事件A与B相互独立.3.12.是不是无论什么情况,  小

27、概率事件决不会成为必然事件.答：不是的. 我们可以证明,  随机试验中, 若A为小概率事件, 不妨设P(A)=(01为不论多么小的实数 ), 只要不断地独立地重复做此试验, 则A迟早要发生的概率为1. 事实上, 设Ak=A在第k次试验中发生, 则P(Ak)=, , 在前n次试验中A都不发生的概率为: . 于是在前n次试验中,  A至少发生一次的概率为    . 如果把试验一次接一次地做下去,  即让n, 由于01, 则当n时, 有pn1.以上事实在生活中是常见的, 例如在森林中吸烟, 一次引起火灾的可能性是很小的, 但如果很多人这样做,

28、0; 则迟早会引起火灾.3.13.只要不是重复试验,  小概率事件就可以忽视.答：不正确. 小概率事件可不可以忽视, 要由事件的性质来决定, 例如在森林中擦火柴有1%的可能性将导致火灾是不能忽视的, 但火柴有1%的可能性擦不燃是不必在意的.3.14.重复试验一定是独立试验, 理由是: 既然是重复试验就是说每次试验的条件完全相同, 从而试验的结果就不会互相影响, 上述说法对吗?答：不对. 我们举一个反例就可以证明上述结论是错误的.一个罐子中装有4个黑球和3个红球, 随机地抽取一个之后, 再加进2个与抽出的球具有相同颜色的球, 这种手续反复进行, 显然每次试验的条件是相同的. 每抽取一次

29、以后, 这时与取出球有相同颜色的球的数目增加，而与取出球颜色不同的球的数目保持不变，从效果上看，每一次取出的球是什么颜色增加了下一次也取到这种颜色球的概率，因此这不是独立试验,此例是一个如同传染病现象的模型，每一次传染后都增加再传染的概率.3.15.伯努利概型的随机变量是不是都服从二项分布.答：不一定. 例如某射手每次击中目标的概率是p，现在连续向一目标进行射击，直到射中为止. 此试验只有两个可能的结果：A=命中； =未命中，且P(A)=p. 并且是重复独立试验，因此它是伯努利试验（伯努利概型），设Xk=第k次射中，Xk显然是一个随机变量，但    &#

30、160;   P(Xk=k)=qk-1p，k=1,2,，其中q=p-1，可见Xk是服从参数为p的几何分布，而不是二项分布.3.16.某人想买某本书, 决定到3个新华书店去买, 每个书店有无此书是等可能的. 如有, 是否卖完也是等可能的. 设3个书店有无此书, 是否卖完是相互独立的. 求此人买到此本书的概率.答：(37/64).3.17.在空战中, 甲机先向乙机开火, 击落乙机的概率是0.2;  若乙机未被击落, 就进行还击, 击落甲机的概率是0.3,  则再进攻乙机, 击落乙机的概率是0.4. 在这几个回合中,(1)  甲机被击落的概

31、率是多少?(2) 乙机被击落的概率是多少?答：以A表示事件“第一次攻击中甲击落乙”, 以B表示事件“第二次攻击中乙击落甲”, 以C表示事件“第三次攻击中甲击落乙”.(1)甲机被击落只有在第一次攻击中甲未击落乙才有可能, 故甲机被击落的概率为 . (2)乙机被击落有两种情况. 一是第一次攻击中甲击落乙, 二是第三次攻击中甲击落乙, 故乙机被击落的概率是 =0.2+(1-0.2)(1-0.3)×0.4=0.424.3.18.某个问题, 若甲先答, 答对的概率为0.4; 若甲答错, 由乙答, 答对的概率为0.5. 求问题由乙答出的概率.答：(0.3)3.19.有5个人在一星期内都

32、要到图书馆借书一次, 一周内某天借书的可能性相同, 求 (1)5个人都在星期天借书的概率; (2)5个人都不在星期天借书的概率; (3)5个人不都在星期天借书的概率.答： (1)(1/75);         (2)(65/77);         (3)(1-1/75).§4 随机变量及分布 4.1.随机变量X的分布函数定义有两种： (1)F(x)=PXx,      (2)

33、 F(x)=P(Xx).这两个定义是不是等价的.答：不是的.若采用定义(1), F(x)是左连续的; 若采用定义(2), F(x)是右连续的. 因此, 这两种定义是不等价的.虽然这两种定义并不等价, 但采取任何一种都是可以的. 目前采取第二种定义较多.4.2.有的教材上把分布函数定义为F(x)=P(<x),  指出这样的定义与原书定义的异同. 并用分布函数的基本性质检查下列函数是否构成某个随机变量的分布函数.     (1)       (2)    

34、0;   (3) -<x<+.答：原书关于分布函数的定义是F(x)=P(x), 它与定义F(x)=P(<x)相比较, 它们作为随机变量的概率的累积这一基本点是相同的. 此外, 无论采用哪种定义, 分布函数的有界、非负、单调不减以及F(-)=0F(+)=1等这些基本性质也是相同的.它们的差别仅在于分布函数作为概率的累积, 前者包括了=x的概率, 而后者并不包括. 如果是连续型随机变量, 两种定义实际上没有差别;  如果是离散型随机变量, 差别就在于是否取到了点x. 所有可能的相异之处就在于此, 由此而产生的主要差别列表如下:F(x)=P(x)F(x

35、)=P(<x)至少是右连续的至少是左连续的P(A<B)=F(B)-F(A)P(A<B)=F(B)-F(A)P(=A)=F(A)-F(A-0)P(=A)=F(A+0)-F(A)最后需要说明的是, 两种定义都被广泛采用. 这是因为每个定义本身以及由此派生的结论都是和谐的. 因而对于一本具体的教材来讲, 究竟选用哪个定义并无原则上的差别, 只是一经选定前后一致就可以了.(1)    否. 因为所给函数在x=1/3处不是右连续的.(2)    是. 符合分布函数所有性质.(3)    否. 因为

36、 .4.3.两个分布函数的和仍是分布函数吗?答：不是的. 证明如下:设F1(x)、F2(x)为两个分布函数, 又设F(x)=F1(x)+F2(x), 则 . 故F(x)不是分布函数.4.4.分布函数只能是左连续的或右连续的, 决不是连续函数吗.答：非. 例如标准正态分布的分布函数是一连续函数. 一般地, 可以证明连续型随机变量的分布函数是连续的.4.5.下列函数是否为分布函数, 若是, 判断它是哪类随机变量的分布函数.  (1)   (2)   (3)   (4) 答：(1)显然, F(x)在(-, +)上为单调不减的右连续函数, 且有F(-)=0,F(

37、+)=1, 故F(x)为某一随机变量的分布函数, 又F(x)为阶梯形函数, 从而F(x)是离散型随机变量的分布函数.(2) F(x)在(-, +)上不是单调不减函数, 故F(x)不是分布函数.(3) F(x)在(-, +)上连续单调不减, 且有F(-)=0, F(+)=1. 从而F(x)为某随机变量的分布函数, 又设非负函数 则有 即F(x)为连续型随机变量的分布函数.(4) F(x)在(-, +)上右连续, 单调不减, 且F(-)=0, F(+)=1, 故F(x)为分布函数. 又F(x)不是阶梯形函数, 故F(x)不是离散型随机变量的分布函数. 注意到P(X=0)=F(0)-F(0-0)=1

38、/20, 所以F(x)也不是连续型随机变量的分布函数. 4.6.已知随机变量有分布函数:  试求随机变量的分布列.答：已知分布函数求分布列的公式是: P(=xi)=P(xi)-P(xi-0)=F(xi)-F(xi-0),由此便有 P(=0)=P(=0)-P(=0-0)=1/2-0=1/2, P(=1)=F(1)-F(1-0)=3/5-1/2=1/10,于是,所求随机变量的分布列为 .4.7.已知某罐子中有白球7个红球3个. 从中抽球若干次, 每次任取一球.在下列三种情况下, 试求直到取得白球为止所需抽取次数的分布列:(1)    取后放回, 再

39、进行下一次抽取;(2)    取后不放回, 再进行下一次抽取;(3)    每次取出的一球后, 同时向罐子中放入一个白球.答：(1)    此处是重复试验中首次取得白球时的抽取次数, 其分布列为: m=1,2, .(2)  此处是第m次才取得白球时的抽取次数,为了便于求分布列,设事件: Am=第m次才取得白球 m=1, 2, 3, 4. 于是 , , , .即随机变量的分布列为: . (3)  此处是在每次取出球后,同时加入白球的条件下,第m次才取得白球时的抽取次数.同(2)的思路,其

40、分布列为: . 4.8.甲、乙二人轮流射击,直到靶子被击中为止, 二人的命中率分别为p1、p2, 今甲先射击. 求二人射击次数的分布律.答：设靶子被击中时, 甲、乙二人射击的次数分别为X、Y, 则由题意知: P(X=k)=P(前k-1次甲、乙均未击中, 第k次甲击中或第k次甲不中而乙击中) =P(前k-1次甲、乙均未击中, 第k次甲击中)          +P(前k-1次甲、乙均未击中, 第k次甲不中而乙击中) =(1-p1)k-1(1-p2)k-1p1+(1-p1)k(1-p2)k-1p2 =(1-p

41、1)k-1(1-p2)k-1(p1+p2-p1p2). (k1)P(Y=k)=P(前k次甲、乙均未击中第k+1次甲击中或前k-1次甲、乙均未击中第k次甲不中而乙击中)=P(前k次甲、乙均未击中第k+1次甲击中)+P(前k-1次甲、乙均未击中第k次甲不中而乙击中) =(1-p1)k(1-p2)kp1+(1-p1)k(1-p2)k-1p2 =(1-p1)k(1-p2)k-1(p1+p2-p1p2). (k1)P(Y=0)=P(甲第一次就击中)=p1.4.9.非离散型随机变量就一定是连续型随机变量吗?答：不一定. 连续型随机变量是非离散型随机变量中最常见的一种.下面举一个反例可得到证明.我们定义 容

42、易验证f(x)满足分布函数的三条性质，因此f(x)是某个随机变量X的分布函数. 因为f(x)所对应的分布不集中在有限集或可列集上，故X不是离散型（即分布函数f(x)不是离散型）；又显然f(x)不是连续函数，故X也不是连续型随机变量.另外说明一下，因为在应用中我们经常遇到的随机变量是离散型和连续型两类，因此一般教材上仅对以上两种情况来研究随机变量的分布.4.10.连续型随机变量的密度函数一定是连续函数,对吗?答：不一定. 如均匀分布是连续型分布, 但其密度函数不是连续函数.4.11.由概率基本性质可知, 不可能事件的概率恒为0. 问其逆命题是否成立? 即若某一个事件的概率恒等于0, 则此事件一定

43、是不可能事件吗？举例说明.答：其逆命题不一定成立. 例如, 连续型场合P=A=0下, 而=A 并不是不可能事件.4.12.已知函数P(x)=(cosx)/2.分别考察它在指定区间(-/2, 0)、 (0, )、(-/2, /2)、(-/2, 5/2)内能否成为某个随机变量的分布密度? 并陈述理由.答：(1)    在(-/2, 0)内: 此时,虽然p(x)取非负值,但由于     . 故p(x)在(-/2, 0)内不能成为某个随机变量的分布密度. (2)    在(0, )内p(x)不能成为分布密度. 因

44、为p(x)在(0, )内取负值,且: . (3)    p(x)在(-/2, /2)内能成为分布密度. 因为在(-/2, /2)内P(x)0且: . (4)   p(x)在(-/2, 5/2)不能成为分布密度.虽然                ,  但p(x)0不能满足.4.13.设随机变量X的密度函数为 求(1)常数a. (2)P(X0), P(/4x100). (3)X的分布函数.

45、答：(1)由密度函数的性质, 有 , 故 a=1/2.(2)根据密度函数的性质, 有 , . (3)由分布函数的定义, 有           .当x-/2时, .当-/2x/2时, .当x/4时, .即 4.14.在指定的条件下按二项概率公式求如下概率:(1)    当n=20,  p=0.1时的B(4; n, p);(2)    当n=10,  p=0.9时的B(9; n, p). 再就泊松公式分别查表求其近似值,并对由此

46、产生的误差作出合理的解释.答：(1) . 以=np=2, 查泊松分布数值表得: .不同方法下结果的绝对误差为|0.0898-0.0902|=0.0004, 其相对误差为: |0.0898-0.0902|/0.0898=0.45%.(2) 以=np=9, 查泊松分布数值表得: .不同方法下结果的绝对误差为|0.3874-0.1318|=0.2556, 其相对误差为: |0.3874-0.1318|/0.3874=65.98%.结果表明(1)的结果近似程度较好; 而(2)的结果误差较大. 这是因为在(1)下, n较大而p较小, 故运用二项公式的泊松近似误差较小. 在(2)下, 由于n较小而p较大,

47、 不适宜使用泊松近似进行计算.4.15.没有正态分布表也可以计算其概率, 只要求出   的原函数F(x),就可以计算:         这个命题正确吗?答：这个命题是否正确, 问题在于 的原函数F(x)是否存在? 由数学分析知识我们知道F(x)确实存在, 不过这个原函数不能用初等函数的有限形式表出, 它只能展开成一个幂级数的形式. 这样, 就给正态分布的概率计算带来很大的不便, 因此才有必要造成一个数表, 这个表就是 的数值表.4.16.设XN(2, 2), 且P(2<X<4)=0.3, 求P

48、(X<0).答：P(2<X<4)=(4-2)/)-(2-2)/)= (2/)-(0)=0.3. (2/)=0.3+(0)=0.8. P(X<0)= (0-2)/)=(-2/)=1-(2/)=0.2.4.17.某单位招聘2500人, 按考试成绩从高分到低分依次录用, 共有10000人报名, 假设报名者的成绩XN(,2), 已知90分以上有359人, 60分以下有1151人, 问被录用者中最低分为多少? 答：本题中已知成绩XN(,2), 但不知、的值是多少, 故求出、的值是关键, 据题意 P(X90)=359/10000=0.0359, P(X90)=1- P(X90)=0

49、.9641,而 ,所以 .反查标准正态分布表,得 (90-)/=1.8, (1)又 P(X60=1151/10000=0.1151,而                              , 所以 , . 反查标准正态分布表, 得 (-60)/=1.2. (2)由(1)式和(2)式联立解得 =72, =10.所以 XN(7

50、2, 102).已知录用率为2500/10000=0.25, 设被录用者中最低分为x0, 则 P(Xx0)=1-P(Xx0) =1-0.25=0.75.而                      . 所以 , 反查标准正态分布表, 得 : (x0-72)/100.675.解得 x078.75.故被录用者中最低分为79分.4.18.设k在(1, 6)内服从均匀分布, 求方程 x2+kx+1=0有实

51、根的概率.答：k在(1,6)内服从均匀分布, 则其概率密度为：                       而方程x2+kx+1=0有实根的充分必要条件是其判别式 =k2-40.故 P(x2+kx+1=0有实根) =P(k2-40) =P(k2或k-2) =P(k2)+P(k-2) =P(2k6)+0 .§5 随机变量的数字特征5.1.因为随机变量X的数学期望定义为 (或 )因此, 期望

52、存在就等价于级数 (或 )收敛, 这种说法正确吗?答：不正确. 因为数学期望的定义为 (或 ),首先要求 (或 )绝对收敛, 即要求 收敛(或 收敛).为什么要求绝对收敛呢? 这是因为随机变量X取xi是随机的, 不一定按x1,x2,xi,的顺序取值. 而期望存在, 则要求是惟一的, 这就要求它不因改变级数 的项的顺序而改变其和,即要求级数可以重排.要满足这个要求,级数必须绝对收敛(对于积分的绝对收敛, 可离散化来理解). 此外, 假定级数(或积分)绝对收敛, 在理论上也便于运算.5.2.随机变量X的方差D(X)是否反映了X的波动状态, 方差小则波动小, 方差大则波动大.答：是.5.3.随机变量

53、X的方差D(X)存在, 则期望E(X)一定存在, 是吗?答：是的. 由方差的定义可知.方差的存在是以期望存在为前提的, 因此原结论正确. 反之不一定成立.E(X)存在之后,D(X)是否存在看级数 或积分 是否绝对收敛.5.4.随机变量的方差一定非负, 即D(X)0吗?答：是的. 我们仅对离散型随机变量与连续型随机变量进行证明. 对于离散型, , 其中pi0, 又(xi-EX)20, 从而知其积的和是非负的, 故D(X)0.对于连续型, , 其中密度函数p(x)是非负的, 又(xi-EX)20, 故D(X)0.5.5.若随机变量X的方差存在, 则是否一定有E(X2)(E(X)2.答：是,由第4题

54、结论可知.5.6.设随机变量X的方差D(X)存在, 则对任意的常数C, 有 D(X)E(X-C)2其中等号当且仅当C=E(X)时成立.答：是. 证明如下:当C=E(X)时, 根据方差定义, 有 D(X)=E(X-C)2.当CE(X)时, 因为 D(X-C)=E(X-C)-E(X-C)2 =E(X-EX)2=D(X).又 D(X-C)=E(X-C)2-(E(X-C)2=E(X-C)2-(EX-C)2 故 D(X)=E(X-C)2-(EX-C)2 显然若CE(X),有(EX-C)20,于是D(X)E(X-C)2.5.7.袋中有N只球, 其中白球数为随机变量X, 且E(X)=n. 试求:从该袋中任取

55、一球是白球的概率.答：设X的分布律为 P(X=k)=pk0, k=0,1,2,N 依题意知, . 令A表示从袋中任取一球是白球这个事件, Bk=X=k k=0,1,2,N则B0、B1、BN为一完备事件组,又 ，         .由全概率公式得: .   §6 抽样分布     6.1.为什么说样本均值 、样本方差S2都是随机变量? 它们与总体均值E(X)、总体方差D(X)有什么本质差别? 其间又有什么内在联系?   

56、; 答：因为 、 都是不含未知参数的样本函数, 是统计量, 所以都是随机变量.而E(X)、D(X)都是由分布确定的常数, 这是他们与 、S2本质的差别所在. 它们之间的内在联系是: ; ; .              6.2.数理统计基本内容是否包括采集样本和统计推断两大部分.    答：是. 数理统计所要解决的问题是如何根据样本来推断总体, 就其基本内容而言, 可分为两大部分.    

57、;    (1)采集样本. 采集样本就是根据研究的目的和要求, 选择合理有效的抽样方案所遵循的基本原则, 这就是抽样的技术问题. 抽样所得的原始数据还必须进行整理加工(此称为数据整理), 其主要形式有几种: · 按一定要求把原始数据进行分组, 数出落入各组数据的个数, 从而得到各种统计表或作出各种统计图(如直方图等). · 按统计推断要求, 把原始数据归纳为一个或几个数字特征(如样本均值,样本方差等).     (2)统计推断. 所谓统计推断就是由样本推断总体, 它是数理统计的核心部分. 它可分为两类基本问题, 其

58、一是统计估计问题, 其二是假设检验问题. 可归纳如下：    . §7 参数估计 7.1.”统计量”与”估计量”是同一概念吗?答：所谓“统计量”, 是指对于总体X, 若(X1,X2,Xn)是X的一个样本, 是一个不含任何参数的连续函数, 则 称为一个统计量.所谓估计量是: 若为总体X的待估计参数(譬如说是E(X)或是D(X), 用一个统计量来估计, 则称 为的估计量.统计量与估计量有联系又有区别, 他们不是同一概念.7.2.矩估计和最大似然估计都是点估计的常用的方法, 试从方法所依据的原理出发, 考察和比较各自的特点.答：矩估计法只涉及到总体的

59、数字特征, 并未直接用到总体分布. 因而一般地讲矩估计量为未知总体所提供的信息并不完备. 但矩估计法有方法快捷方便、数学原理简明直观的优点.最大似然估计法以总体分布已知为前提, 因而由此产生的估计量更多地集中了总体分布的信息. 虽然最大似然估计法较为繁琐、数学原理不如矩估计法简明直观, 但是由于估计量中含有较充分的信息, 在较深入的理论讨论和应用实践中大多采用最大似然估计法, 因而最大似然估计法至今仍是求点估计的重要方法.7.3.当总体容量有限时, 若将样本容量增大到总体容量n, 则有 .   答：是.证明如下: 设总体为=X1,X2,Xn 其中xi为样本点, 则 . 实际经验也可以

60、验证原命题是成立的. 例如对某个教学班的某次考试成绩抽样调查, 有样本X1, X2, X10(抽10个学生的成绩), 则 . 是这10个人的平均成绩, 它并不一定等于全班的平均成绩E(X)(注意到期望就是一种理想平均值), 但若样本就是总体, 这时的全班平均成绩 就是E(X).7.4.矩估计是否有惟一性?试举例说明.答：在一般情况下, 矩估计不是惟一的. 由于在求矩估计的过程中, 选取哪些样本的矩去估计总体相应的矩, 有一定的随机性. 从而使得矩估计不具有惟一性. 例如:设总体X服从参数为(>0)的泊松分布, 是未知参数. (X1,X2,Xn)是来自该总体的样本.一方面,由于E(X)=, 又 , 所以的矩估计是 . 另外, 由于D(X)=, 按照矩估计法, 可有 , 这样得到的又一矩估计为 .  7.5.用样本方差 而不用           作为总体方差D(X)的估计量, 是否是因为后者不是D(X)的无偏估计量.答：是.7.6.参数的“点估计”与“区间估计”的关系是, 前者是后者的一种特殊情形, 这种说法对吗?答：不对.不能从字面上去理解. 不要以为区间包含若干点, 是由点组成区间, 因此“点估计”就是“区间估计”的特例. 要弄清楚二者的联系, 必须明确什么叫点估计?