第八章矩阵特征值与特征向量的计算13节

1、中国计量学院理学院数学系中国计量学院理学院数学系第八章第八章矩阵特征值特征矩阵特征值特征向量的计算向量的计算8.1 引言8.4 反幂法8.3 幂法的加速与降价8.2 幂法在本章，你将学到8.1 引言8.2 幂法8.3 幂法的加速与降价8.4 反幂法8.5 计算对称矩阵特征值和特征向量的对分法8.6 雅可比方法8.5 计算对称矩阵特征值和 特征向量的对分法8.6 雅可比方法第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算8.1 8.1 引言引言x(, )( )( , )ax xr xx x21( , )niix xx定义定义1 1 设a是n阶实对称矩阵， 对于任一非零向量，数称为

2、向量x的瑞利商瑞利商，其中 是向量x的内积。(8.1)12n (8.2)定理定理1 1 设a是n阶实对称矩阵，其特征值为12,nv vv是对应的正交特征向量,即第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算1 12 2n nxxvx vx v111222221( , )()()0ntiixx xx xx1( ),nr x10max( )xr x0min(),nxr x( )r x则 其中是向量x的瑞利商瑞利商. .12,nv vv12,n 12(,)0tnxx xx证证 设是对应于特征值的正交特征向量，是任一向量,则1( ,)0ijijv vij即第八章第八章矩阵特征值与特征

3、向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算21121( )niiiniixr xx2121( )niiinniixr xx和和1( )nr x10max( )xr x0min( ).nxr x所以由可得和1( ).nr x(1,0,0)0tx (0,0,0,1)0tx 由此可得由于当向量x分别取和时,就有2121(, )( )( , )ntiiintiixax xx axr xx xx xx于是有第八章第八章定理定理3 3称为盖尔圆盘定理盖尔圆盘定理,(8.3)称为盖尔圆盘盖尔圆盘.矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算,ijn naankkkjj kaa1,2,kn定理定理3 3 设

4、则a的每一个特征值必属于下面某个圆盘之中： (8.3)iijn naa11( ),nniiiiiatr a12.na定理定理2 2 设是矩阵的特征值，则有 第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算122 04rz zzz21324rz zzz 353 28rz zzz12328rrrrzz 28. 解解 先计算盖尔圆盘:即矩阵即矩阵a的特征值的特征值都满足都满足2 111 1 212 5a例例1 1 设有矩阵 试估计矩阵a的特征值的特征值的范围.第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算1 1 幂法幂法8.2 8.2 幂法幂法幂法的基本思想是：幂法

5、的基本思想是： ( )(1),1,2,8.5kkxaxk(0)x若要求某个n阶矩阵a的特征值和特征向量，先任取一个初始向量，构造如下向量序列：式(8.5)就称为幂法的迭代公式幂法的迭代公式，向量序列( )kx称为幂法的迭代向量迭代向量或迭代序列迭代序列。当k增大时，分析这一序列的极限，即可求出按模最大的特征值和对应的特征向量。第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算11 211 34a 121.179339,0.070666.例例2 2 设有矩阵试用幂法来计算按模最大的特征值。(0)(1,1)tx( )kx( )kx(1)1( )1kkxx(1)2( )2kkxx解解

6、矩阵a的两个特征值为,用公式(8.5)产生向量,计算结果列于表8.1.计算出向量序列的同时还计算相邻两个向量相应分量之比和(见书表8.1)，由表8.1得：用幂法,取初始向量序列第八章第八章(2)(3)(4)(5)1111(1)(2)(3)(4)11111.19444,1.18023,1.17939,1.17934,xxxxxxxx(2)(3)(4)(5)2222(1)(2)(3)(4)22221.10714,1.17473,1.17906,1.17932,xxxxxxxx矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算从上面计算出的相应分量之比看出，两个相邻向量1.179339,并且这个值

7、恰好就是矩阵a的按模最大的特征值。相应分量之比值，随k的增大而趋向于一个固定值问题：为什么这个比例值就是矩阵按模最大的特问题：为什么这个比例值就是矩阵按模最大的特征值？征值？第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算( )(1)2(2)(0)kkkkxaxa xa x( )111222kkkknnnxavavav(8.9)(8.10)|21n12,.nv vv设矩阵a的n个特征值按模的大小排列如下其对应的线性无关的特征向量组设为假定这些向量已按其长度为1或其最大模元素为1进行了归一化。(8.6)取 (0)1 122,nnxava va v利用迭代公式(8.5)来构造迭代序

8、列，则有第八章第八章( )11 1()kkkxav矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算22211()(),kknknnavav10,a )2( 1|1iik其中若由于,故k充分大时是可以忽略的无穷小量，即当( )211 12211()()kkkknnnxavavav(8.12)12| |n1(1)如果矩阵a的按模最大的特征值满足即按模最大的特征值是单实根,则(8.10)式可写成(8.11)k 时有第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算( )11 1kkxav(8.13)( )kx1v这说明与特征向量相差一个常数因子。01a1v01a即使,由于计算过程的

9、舍入误差,必将引入在方向上的微小分量，这一分量随着迭代过程相同。的进展而逐渐成为主导,其收敛情况最终也将与k (1)111 1kkxav因此当时由(8.13)得(8.14)这说明当矩阵a的n个特征值满足(8.11)时， ( )1 11 11kkavx第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算1(1)kx( )kx(1)1()kikixx矩阵a的按模最大的特征值是向量与的比例，即有(8.15)(0)x21从以上分析看出,幂法的收敛速率虽然与初始向量的选择有关,但主要还是依赖于比值比值愈,收敛愈快,当比值接近于1时,收敛比较慢.的大小.123| |n（2）如果矩阵a的按模最大

10、的特征值满足(8.16)第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算即按模最大的特征值1是2重实根或共轭复数根,此时（8.10）式可写成( )3211 12233111()()()kkkkknnnxavavavav( )211 1221()kkkkxavav33311()()kknknnavav(8.17)其中1| 1(3)iikk 由于，故k充分大时无穷小量，即当时有是可以忽略的第八章第八章( )11 1222kkkxava v(1)1111 1222kkkxava v(2)2211 1222kkkxava v(8.18)(8.19)(8.20) 矩阵特征值与特征向量的计

11、算矩阵特征值与特征向量的计算于是可得(2)(1)( )1212()0kkkxxx(8.21)12(),p 12q 记(8.22)则(8.21)可写成(2)(1)( )0kkkxpxqx(8.23)所以a的特征值满足(8.16)时，用公式(8.5)来构造 第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算12, 221244,22ppqppq若(8.23)式成立,则此时矩阵a的按模最大的特征值由公式(8.24) 得到。 又利用(8.18)(8.20)可得(1)( )(2)(1)22()kkkka xxxx(1)(1)( )(1)12122kkkkxxxx第八章第八章矩阵特征值与特征

12、向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算(1)( )12()kkxx (8.25)(1)( )20kkxx1(1)( )2,kkxx(1)( )20,kkxx( )( )20kkaxx2( ).kx因此所以a的特征值对应的特征若则对应的特征向量是时矩阵a的特征值向量是(1)( )(2)(1)11()kkkka xxxx(1)( )21()kkxx(1)( )10kkxx2(1)( )1kkxx(1)( )10kkxx( )( )10kkaxx1().kx同理可得 时a的特征值对应的特征向,若,则所以a的特征值对应的特征向量是(8.26)因此量是第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征

13、向量的计算例例3 3 用幂法求矩阵0 1 11 2 31 3 6 a按模最大的特征值与对应的特征向量。(1)( )11(1)( )22(1)( )330 1 11 2 31 3 6 kkkkkkxxxxxx0,1,2,k 解：解：用公式(8.5)可写出迭代公式取初始向量(0)(1,1,1)tx得到表8.2的结果。，用以上迭代公式计算第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算(1)( )( )kkikixdx(1,2,3)i ( )(1),kkxx( )7.83991kd17.83991,(7)(468356,

14、1299104,2372764) .tx表中 ，即相邻两个向量分量的比例，从表中计算结果可看出，所以有对应的特征向量可取为第八章第八章2 2 改进的幂法改进的幂法矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算( )kx( )kx|max)(1kinix( )kx( )ky在实际计算时为了避免计算过程中出现绝对值过大或过小的数参加运算，通常在每步迭代时，“归一化”，即用的分量来除归一化的向量，即实际计算时所用公式为( )( )( )(1)( )|0,1,2,kkkkkxyxkxay对幂法做这样的“归一化”处理,就称为改进的幂法改进的幂法. .（8.27）将向量序列的绝对值最大的各个分量，从

15、而得出第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算1()1()11max | |kkiinyvx 如果按模最大的特征值满足(8.11),那么当k充分大时有（8.28）( )kx1,1( )kx1( )ky1即向量序列的按模最大的分量将收敛于按模的符号可根据向量序列的前后两个向量的分量符号来确定，当前后两个此时归一化后的向量就是对应的特征向量.最大的特征值向量的分量符号相同时的符号取正,否则取负.第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算例例4 4 用归一化的幂法求矩阵3 1 62 1 31 1 1a按模最大的特征值与对应的特征向量。(0)(1,1,1)

16、tx( )1max|5.72871kii nx ( )11max | 5.72871,kii nx (7)(1,0.643439,0.347545) .ty解解 取初始向量计算得到表8.3的结果.从表中计算结果可看出且向量序列前后两个向量的符号相同,所以有对应的特征向量取为,用以上迭代公式(8.27)第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算第八章第八章1 1 幂法的加速幂法的加速幂法的收敛速度依赖于按模最大特征值和按模次大特征值之比,当这个比值很小时则只需迭代较少的几次就可求出按模最大特征值的一个很好的近似值.矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算8.3

17、8.3 幂法的加速与降价幂法的加速与降价应该考虑对矩阵进行适当的变换,使得变换后的这个矩阵有一个按模较大的特征值,并且变换后的新矩阵的按模最大特征值和按模次大特征值之比要比原矩阵的按模最大特征值和按模次大特征值之比更大.这样对变换后的新矩阵利用以上方法求其第八章第八章矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算( )(0)0()kkxaix200101 122nn1010 () ()v + ()v )kkknavaa(8.29)0ia0ia0ia0ii0,iiiv先取一个常数对a做平移变换：,即用来代替a进行迭代,因为a与之间除了与有关系且相应的特征向量不改变,因此有按模最大的特征值,

18、则其收敛速度将得到加快.对角元素以外,其他元素都相同,它们之间的特征值为了加速迭代过程的收敛速度,适当选取0第八章第八章202210121.2nn矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算000所以用此方法选取有一定的困难.,再在计算机上作些模拟计算,考察使所取对迭代过程是否有明显加速,然后再进行计算.010212021(),2n比更小，如对于对称正定矩阵可以这时就有这就是幂法加速的原点平移法原点平移法.因特征值的分布情况预先不知道,对矩阵的特征值分布大致有个了解后,粗略估计一个常用方法是可以用盖尔圆盘定理使选取第八章第八章2 2 幂法的降阶幂法的降阶矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算(1)a(1)a2.基本思想：对原矩阵a进行变换，使变换后得到的矩阵其按模最大的特征值是原矩阵a的按模次大按模次大的特征值，这时对又可以用幂法进行计算，大的特征值求得其按模最大的特征值，从而求得a的按模次123| |n如果