极坐标计算二重积分

1、15.15.为什么为什么21d0y xd1d2d3d4d:之间的环域之间的环域 和和 yxyx 4321ddddi.怎么计算？怎么计算？ dyxy,xfid)d(需使用需使用此题用直角系算麻烦此题用直角系算麻烦必须把必须把d分块儿分块儿! dyxfid),(将将变换到变换到0d用用 = =常数常数分割区域分割区域 d iriri+1iiirr .ir iiiiiirrrr2)( ),(iiiiiiiirrsin ,cos iiinif),(lim1 iiiiiiinirrrrf)sin,cos(lim1 drrrrfdd)sin,cos(.i.极坐标系下的面积元素极坐标系下的面积元素 是平均值

2、)是平均值)ir (16. 16. i i i + ii = riiiiiirrr21)(2122 r.17.17. 极点不在区域极点不在区域 d 的内部的内部 0abfe)(1 r)(2 r dd:)()(21 rrr rrrrrfrrd)sin,cos( )()(21 dyxyxfidd),( dyxy,xfid)d(r17.17. 0abfe)(1 r)(2 r drrrrfrrd)sin,cos( )()(21 d:)()(21 rrr . dyxy,xfid)d( dyxyxfidd),(极点不在区域极点不在区域 d 的内部的内部 r17.17. 0abfe)(1 r)(2 r dr

3、rrrfrrd)sin,cos( )()(21 dd:)()(21 rrr . 步骤：步骤：1 从从d的图形找出的图形找出 r, 上、下限；上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd . dyxy,xfid)d( dyxyxfidd),(极点不在区域极点不在区域 d 的内部的内部 r极点位于区域极点位于区域 d 的内部的内部 0)( r drrrrfrd)sin,cos( )(0 .rd:)(0 rr 20 dyxyxfidd),(18.18. dyxy,xfid)d(r)( r d:)(0 rr 20 rrrrfrd)sin,c

4、os( )(0 d018.18. . dyxy,xfid)d( dyxyxfidd),(极点位于区域极点位于区域 d 的内部的内部 r)( r d:)(0 rr 20 rrrrfrd )sin,cos( )(0 20d.d0 步骤：步骤：1 从从d的图形找出的图形找出 r, 上、下限；上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd 18.18. . dyxy,xfid)d( dyxyxfidd),(极点位于区域极点位于区域 d 的内部的内部 r0y x变变为为极极坐坐标标形形式式 把把 d)d,( dyxyxfi所所围围区区域域与与

5、: yay)ax(d2a cos2ar . 20cos20d)sin,cos(darrrrf )(222ayax ,ar cos 即即解解19.19. dyxyxfidd),(.此题用直角系算麻烦，此题用直角系算麻烦，需使用需使用21d0y xd: 4321ddddi变换到变换到 20 : rrrrf2021d)sin,cos(d. 之间的环域之间的环域 和和 yxyx 20.20. dyxy,xfid)d(计算计算 dyxyxfidd),(d: =1和和 =2 围成围成 )d,(d 变为极坐标形式变为极坐标形式 把把 ryryxyxfyi2r区域区域边界：边界： x = 0 i.0y x r

6、 =2rsin r =2rsin 20sin20d)sin,cos(drrrrrf21.21. dyxxyiddarctan计计算算 所围第一象限部分所围第一象限部分 y,xy,yx,yx:d 0y x12 y =xd 4021darctantandrr 4021ddrr2643 . i.22.22.0y x4r = 4 cos 所围所围xy, yx,xyx,xyx:d 422xyx 822xyx r = 8 cos 8d 1 2,r cos 即即 即即 arctan 即即,r cos 即即23.23. dyxy,xfid)d(计算计算y = 2xx = y0y x 422xyx 822xyx yx 即即xy2 arctan 即即r = 8 cos d48.r = 4 cos 2 1所围所围xy, yx,xyx,xyx:d ,r cos 即即 2arctan4cos8cos4d)sin,cos(drrrrf,r cos 即即23.23. dyxy,xfid)d(计算计算i =25.25. 将积分化为将积分化为极坐标形式极坐标形式r =ry = r x rr rrrxryxyfx21)d(d