极值与凹凸性

1、oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x3.4 极值与凹凸性极值与凹凸性3.4.1 函数的极值函数的极值定义定义3.1 )()(0 xfxf 或或)()(0 xfxf为函数为函数则称则称)()(0 xfxf 的一个极大值的一个极大值(或极小值或极小值), 如果在如果在 x0的的 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值, 使函数使函数取得极值的点取得极值的点x0称为称为极值点极值点.设设 在在 x0 附近有定义附近有定义, )(xf某个空心邻域内某个空心邻域内, 恒有恒有注意注意: 极值的概念是一个局部性的概念极值的概念是一个局部性的概念, 它

2、仅涉它仅涉及函数在一点附近的性质及函数在一点附近的性质.定理定理3.4 (极值的极值的必要条件必要条件)注意注意: 可导函数的极值点必定是驻点可导函数的极值点必定是驻点,例如例如,3xy , 00 xy但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点.则必有则必有. 0)(0 xf设设 在点在点 处可导处可导, 且在且在 处取得极值处取得极值, )(xf0 x0 x)(,)(xfxf称为函数称为函数为零的点为零的点使得导数使得导数 的的驻点驻点.0不不是是极极值值点点但但 x另外另外: 连续函数的不可导点连续函数的不可导点, 也可能是极值点也可能是极值点.例如例如,xy .,0但但是是极极小小值值点点

3、处处不不可可导导在在 x设函数设函数 在在 x0 处连续处连续,)(xf定理定理3.5 (极值的第一充分条件极值的第一充分条件)在在 x0的某个空心的某个空心邻域内可导邻域内可导, 则则，0)( xf(1) 如果如果 有有),(00 xxx ),(00 xxx而而, 0)( xf有有则则 在在 处取得极大值处取得极大值;)(xf0 x，0)( xf(2) 如果如果 有有),(00 xxx ),(00 xxx而而, 0)( xf有有则则 在在 处取得极小值处取得极小值;)(xf0 x(3) 如果当如果当 及及 时时,),(00 xxx ),(00 xxx)(xf 符号相同符号相同,则则 在在 处

4、无极值处无极值.0 x)(xfxyoxyo0 x0 x 是极值点情形是极值点情形xyoxyo0 x0 x 不是极值点情形不是极值点情形求函数极值的基本步骤求函数极值的基本步骤:(3) 求出各极值点处的函数值求出各极值点处的函数值, 得到相应的极值得到相应的极值.(1) 求出求出 的所有可能的极值点的所有可能的极值点, 即的不可导即的不可导的点和的点和 的点的点;)(xf0)( xf(2) 对对(1)中求得的每个点中求得的每个点, 根据根据 在其左、在其左、右是否变号右是否变号, 确定该点是否为极值点确定该点是否为极值点.0)( xf 如果是极值点如果是极值点, 进一步确定是极大值点还是进一步确

5、定是极大值点还是极小值点极小值点;x例例1 求函数求函数 的极值的极值.解解32)1()(xxxf ，令令0)( xf.31 x得得驻驻点点)0 ,( 1 ,31 31,0031)(xf )(xf 0 极大值极大值极小值极小值)1 , 0( ,)1(331)(32 xxxxxf函数在其函数在其定义域定义域 内连续内连续.),(,10时时与与当当 xx导数不存在导数不存在;1), 1( 不存在不存在无极值无极值 不存在不存在 . 0)1( f,34313 f定理定理3.6 (极值的第二充分条件极值的第二充分条件) 注意注意:,)(,0)(00处处不不一一定定取取得得极极值值在在点点时时xxfxf

6、 , 0)(0 xf则则, 0)(0 xf设设 在在 处具有二阶导数处具有二阶导数, 且且)(xf0 x(1) 当当 时时, 函数函数 在在 处取得极大值处取得极大值;)(xf0 x0)(0 xf(2) 当当 时时, 函数函数 在在 处取得极小值处取得极小值.)(xf0 x0)(0 xf此时仍需用此时仍需用定理定理3.5.极大值极大值极小值极小值解解xxxf63)(2 ，令令0)( xf. 2, 021 xx得驻点得驻点66)( xxf, 06)0( f, 1)0( f故极大值故极大值, 06)2( f. 3)2( f故极小值故极小值).,(定义域为定义域为例例2 求函数求函数 的极值的极值.

7、13)(23 xxxf)(xfy )(xfy 1x2x1x2x221xx 221xx 图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方xyoxyo3.4.2 曲线的凹凸性及拐点曲线的凹凸性及拐点问题问题: 如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方恒有恒有2)()(22121xfxfxxf 2)()(22121xfxfxxf ;,)(或或称称凹凹的的上上是是向向下下凸凸的的在在区区间间则则称称ixf设设 在区间在区间i 上连续上连续, )(xf定义定义 3.2 ,21ixx 如果如果 恒有恒有.,)(或或称称凸凸的的上

8、上是是向向上上凸凸的的在在区区间间则则称称ixf,21ixx 如果如果 则则内可导内可导在在上连续上连续在在设设,),(,)(babaxf定理定理3.7 ;,)(, 0)(),()1(上是凹的上是凹的在在则则内内若在若在baxfxfba .,)(, 0)(),()2(上是凸的上是凸的在在则则内内若在若在baxfxfba 解解,32xy xy6 时，时，当当0 x, 0 y;0 ,(,上上是是凸凸的的曲曲线线在在所所以以 时，时，当当0 x, 0 y.), 0,上上是是凹凹的的曲曲线线在在所所以以 定义定义3.3 连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线的的拐点拐

9、点.例例3 判断判断曲线曲线 的凹凸性的凹凸性.3xy 定理定理3.8 (拐点的第一充分条件拐点的第一充分条件) 设函数设函数 在在 x0的某邻域的某邻域 内连续，内连续，)(xfy )(0 xu在空心邻域在空心邻域 内内 存在存在, )(0 xu)(xf (1),)(0异号异号两侧两侧若在若在xfx ;)(,(00即为拐点即为拐点则点则点xfx(2),)(0同号同号两侧两侧若在若在xfx .)(,(00不是拐点不是拐点则点则点xfx定理定理3.9 (拐点的第二充分条件拐点的第二充分条件) , 0)(, 0)(00 xfxf若若是是则点则点)(,(00 xfx曲线曲线 的拐点的拐点.)(xfy

10、 解解,32353132 xxy)0( ,9)15(234 xxxy.51, 0 xy得得令令x 51,), 0( 0 ,5151 0)(xf )(xf 0凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点不是不是拐点拐点例例4 求曲线求曲线 的拐点及凹凸区间的拐点及凹凸区间. 函数在其函数在其定义域定义域 内连续内连续.),(32)1(xxy ;,0均均不不存存在在处处在在yyx 不存在不存在 325156,51例例5 证明证明)., 0, 0( ,2ln2lnlnyxyxyxyxyyxx 证证 22)()(yxfyfxf).0( ,ln)( ttttf令令,), 0(,yxyx .2ln2lnlnyxyxy

11、yxx , 1ln)( ttf01)( ttf所以曲线在所以曲线在 上是严格向下凸的上是严格向下凸的.), 0( 有有即即.,)(且且其其图图形形是是凸凸的的上上连连续续在在如如果果baxf性质性质), 2 , 1(0,nipbaxii , 121 nppp)(22211xpxpxpfn .21时时成成立立等等号号仅仅当当nxxx )()()(2211nnxfpxfpxfp 有有则则其中其中证证.2, 0,2sin)( xxxxf,2cos)( xxf.)(的的图图形形是是凸凸的的xf, 0)0( f又又,20时时因因此此当当 x.2sinxx .2sin,20 xxx 时时例例6 证明当证明

12、当0sin)( xxf设设则则, 02 f即即, 02)1()0()( ftftxf,2)1(0 ttx使使),1 , 0( t沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线pxfy)( 1. 铅直渐近线铅直渐近线 (垂直于垂直于x 轴的渐近线轴的渐近线),)(lim)(lim00 xfxfxxxx或或3.4.3 函数图形的描绘函数图形的描绘一条一条渐近线渐近线.)(0的一条铅直渐近线的一条铅直渐近线就是就是那么直线那么直线xfyxx 的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线)(xfyl 移向无穷点时移向无穷点时, 如果点如果点p到某定直线到某定直线l 的距离的距离趋向于零趋向于零,如果如果

13、例如例如,)3)(2(1 xxy有两条铅直渐近线有两条铅直渐近线:. 3, 2 xx2. 水平渐近线水平渐近线 (平行于平行于x 轴的渐近线轴的渐近线),()(lim)(lim为为常常数数或或bbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有两条水平渐近线有两条水平渐近线:.2,2 yy.)(的的一一条条水水平平渐渐近近线线就就是是那那么么直直线线xfyby xyo2 2 如果如果3. 斜渐近线斜渐近线, 0)()(lim baxxfx斜渐近线求法斜渐近线求法,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是曲曲线线则则xfybaxy .)(的的一一

14、条条斜斜渐渐近近线线就就是是那那么么xfybaxy 如果如果),(, 0)()(lim为常数为常数babaxxfx 或或若若且且注意注意:xxfx)(lim)1( )(lim,)(lim)2(axxfaxxfxx 但但解解如果如果)., 1()1 ,( 定义域为定义域为例例7 求求 的的渐近线渐近线.1)3)(2(2)( xxxxf不存在不存在;不存在不存在;可以断定可以断定 不存在斜渐近线不存在斜渐近线.)(xfy )(lim1xfx xxfx)(lim)1()3)(2(2lim xxxxx2 xxxxx21)3)(2(2lim1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx4 所以所以, 是曲

15、线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线. .1 x所以所以, 是曲线的一条是曲线的一条斜渐近线斜渐近线.42 xy(1) 确定函数的定义域、间断点确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性奇偶性和周期性.和拐点和拐点.(2) 确定曲线的渐近线确定曲线的渐近线, 把握函数的变化趋势把握函数的变化趋势. 确定确定曲线的凹凸性曲线的凹凸性 (4) 适当计算曲线上一些点的坐标适当计算曲线上一些点的坐标,如极值如极值, 拐点拐点的坐标的坐标, 注意曲线是否与坐标轴是否有交点注意曲线是否与坐标轴是否有交点.函数作图的具体步骤可归纳如下函数作图的具体步骤可归纳如下: (3) 求出函数的单调性和极值求出函数的单调性和

16、极值,例例8 描绘函数描绘函数 的图形的图形.2)1(4)(2 xxxf解解), 0()0 ,( 函数非奇非偶函数非奇非偶.,)2(4)(3xxxf 4)3(8)(xxxf , 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令. 3 x得得 2)1(4lim)(lim2xxxfxx2 . 2 y定义域为定义域为水平渐近线水平渐近线: 2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 xx)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极小值极小值间间断断点点3 926, 3无斜渐近线无斜渐近线.,)2(4)(3xxxf 4)3(8)(xxxf , 2)1(4)(2 xxxf列表确定函数单调区间列表确定