人教版高中数学选修11单元质量评估三 Word版含解析

1、起单元质量评估(三) (第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.设正弦函数y=sinx在x=0和x=2附近的瞬时变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为()a.k1>k2b.k1<k2c.k1=k2d.不确定【解析】选a.y=sinx,y=cosx,所以k1=cos0=1,k2=cos2=0,k1>k2.2.若f(x0)=-3,则limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h=()a.-12b.-9c.-6d.-3【解析】选a.因为limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h=l

2、imh0f(x0+h)-f(x0)h+3limh0f(x0)-f(x0-3h)3h=f(x0)+3f(x0)=4f(x0),所以limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h=-12.3.函数f(x)=2x-cosx在(-,+)上()a.单调递增b.单调递减c.有最大值d.有最小值【解析】选a.f(x)=2+sinx>0恒成立,所以f(x)在(-,+)上单调递增.4.设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间0,1上的最小值为()a.-1b.0c.-239d.33【解析】选c.g(x)=x3-x,由g(x)=3x2-1=0,解得x1=33,x2=-33(舍去).当x变化时,g(x)与

3、g(x)的变化情况如下表:x00,333333,11g(x)-0+g(x)0极小值0所以当x=33时,g(x)有最小值g33=-239.5.已知函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-,+)上既有极大值,也有极小值,则实数a的取值范围为()a.a>13b.a13c.a<13且a0d.a13且a0【解题指南】函数有极大值、极小值说明该函数的导数值等于0至少有两个根,由一元二次方程根的判别式即可求解.【解析】选c.f(x)=3ax2-2x+1,函数f(x)在(-,+)上有极大值,也有极小值,等价于f(x)=0有两个不等实根,即3a0,=4-12a>0.解得a<13且a0.6

4、.(2016·沈阳高二检测)三次函数f(x)=mx3-x在(-,+)上是减函数,则m的取值范围是()a.m<0b.m<1c.m0d.m1【解析】选c.f(x)=3mx2-1,由题意f(x)0在r上恒成立.当m等于0时,显然成立,当m不等于0时,m<0,=12m0.综上可知,m0.【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是忽略m=0的情况,二是当m不等于0时的情况处理失误,从而造成结果出错.7.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cr),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是()【解析】选d.设h(x)=f(x)ex,则

5、h(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=(ax2+2ax+bx+b+c)ex.由x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,得当x=-1时,ax2+2ax+bx+b+c=c-a=0,所以c=a.所以f(x)=ax2+bx+a.若方程ax2+bx+a=0有两根x1,x2,则x1x2=aa=1,d中图象一定不满足该条件.8.(2016·重庆高二检测)已知函数f(x)=ex-mx+1的图象是曲线c,若曲线c不存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围是()a.-,-1eb.1e,+c.-,1ed.-,1e【解题指南】求出函数的导数,设切点为(s,t),求得切线的斜率,若曲

6、线c不存在与直线y=ex垂直的切线,则关于s的方程es-m=-1e无实数解,由指数函数的值域,即可得到m的取值范围.【解析】选d.函数f(x)=ex-mx+1的导数为f(x)=ex-m,设切点为(s,t),即有切线的斜率为es-m,若曲线c不存在与直线y=ex垂直的切线,则关于s的方程es-m=-1e无实数解,由于es>0,即有m-1e0,解得m1e.9.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()a.(-,+)b.(-2,+)c.(0,+)d.(-1,+)【解析】选d.因为2x(x-a)<1,所以a>x-12x.令f(x)=x-12x,所以f(x)=1+

7、2-xln2>0.所以f(x)在(0,+)上单调递增,所以f(x)>f(0)=0-1=-1,所以a的取值范围为(-1,+).10.如果圆柱的轴截面周长为定值4,则圆柱体积的最大值为()a.827b.1627c.89d.169【解题指南】先确定一个变量,再确定一个函数关系式,求导确定函数的最值,并注意自变量的取值范围.【解析】选a.设圆柱横截面圆的半径为r,圆柱的高为h,则2r+h=2.因为v=r2h=r2(2-2r)=2r2-2r3,所以v=2r(2-3r).令v=0,则r=0(舍)或r=23.经检验知,当r=23时,圆柱体积最大,此时h=23,vmax=·49×

8、;23=827.11.(2015·全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x)(xr)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()a.(-,-1)(0,1)b.(-1,0)(1,+)c.(-,-1)(-1,0)d.(0,1)(1,+)【解析】选a.记函数g(x)=f(x)x,则g(x)=xf'(x)-f(x)x2,因为当x>0时,xf(x)-f(x)<0,故当x>0时,g(x)<0,所以g(x)在(0,+)上单调递减;又因为函数f(x)(xr)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所

9、以g(x)在(-,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-,-1)(0,1).12.已知y=f(x)是(0,+)上的可导函数,满足(x-1)2f(x)+xf(x)>0(x1)恒成立,f(1)=2,若曲线f(x)在点(1,2)处的切线为y=g(x),且g(a)=2016,则a等于()a.-500.5b.-501.5c.-502.5d.-503.5【解析】选c.令f(x)=x2f(x),则f(x)=2x

10、f(x)+x2f(x)=x2f(x)+xf(x),当x>1时,f(x)>0,f(x)在(1,+)上递增;当0<x<1时,f(x)<0时,f(x)在(0,1)上递减.因为f(1)=0,所以2f(1)+f(1)=0,所以f(1)=-4,所以切线方程为y-2=-4(x-1),即y=-4x+6,所以由-4a+6=2016,得a=-502.5二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知函数f(x)=axlnx,x(0,+),其中a为实数,f(x)为f(x)的导函数.若f(1)=3,则a的值为.【解析】f(x)=alnx+ax

11、3;1x=a(lnx+1),由f(1)=3得,a(ln1+1)=3,得a=3.答案:314.(2015·全国卷)已知函数fx=ax3+x+1的图象在点1,f1处的切线过点2,7,则a=.【解析】因为f(x)=3ax2+1,所以图象在点1,f1处的切线的斜率k=3a+1,所以切线方程为y-7=(3a+1)(x-2),即y=(3a+1)x-6a+5,又切点为1,f1,所以f(1)=3a+1-6a+5=-3a+6,又f(1)=a+2,所以-3a+6=a+2,解得a=1.答案:115.函数f(x)=x1-x的单调增区间是.【解析】因为f(x)=x'(1-x)-x(1-x)'(

12、1-x)2=1-x+x(1-x)2=1(1-x)2>0,又x1.所以f(x)的单调增区间为(-,1),(1,+).答案:(-,1),(1,+)16.(2016·青岛高二检测)已知函数f(x)=x-1x+1,g(x)=x2-2ax+4,若对于任意x10,1,存在x21,2,使f(x1)g(x2),则实数a的取值范围是.【解析】由于f(x)=1+1(x+1)2>0,因此函数f(x)在0,1上单调递增,所以x0,1时,f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在x1,2,使得g(x)=x2-2ax+4-1,即x2-2ax+50,即ax2+52x能成立,令h(x)=x2+52

13、x,则要使ah(x)在x1,2能成立,只需使ah(x)min,又函数h(x)=x2+52x在x1,2上单调递减,所以h(x)min=h(2)=94,故只需a94.答案:94,+三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f(x)=g(x),f(5)=30.求g(4).【解析】由f(2x+1)=4g(x),得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.于是有a+2=2c,a+b+1=4d,由f(x)=g(x),得2x+a=2x+c,

14、所以a=c,由f(5)=30,得25+5a+b=30.由可得a=c=2,由得b=-5,再由得d=-12,所以g(x)=x2+2x-12.故g(4)=16+8-12=472.18.(12分)已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点p(1,-2),过点p作直线l.(1)求使直线l和y=f(x)相切,且以p为切点的直线方程.(2)求使直线l和y=f(x)相切,且切点异于p的直线方程.【解题指南】(1)由已知可得斜率函数为f(x)=3x2-3,进而求出所过点的切线的斜率,代入点斜式公式即可.(2)设另一切点为(x0,y0),求出该点切线方程,再由条件计算.【解析】(1)由f(x)=x3-3x,

15、得f(x)=3x2-3,过点p以p(1,-2)为切点的直线的斜率f(1)=0,所以所求直线方程为y=-2.(2)设过p(1,-2)的直线l与y=f(x)切于另一点(x0,y0),则f(x0)=3x02-3,又直线过(x0,y0),p(1,-2),故其斜率可表示为y0-(-2)x0-1=x03-3x0+2x0-1,又x03-3x0+2x0-1=3x02-3,即x03-3x0+2=3(x02-1)(x0-1).解得x0=1(舍去),或x0=12,故所求直线的斜率为k=3×14-1=-94.所以直线l的方程为y-(-2)=-94(x-1).即9x+4y-1=0.【规律方法】用导数求切线方程

16、的关键在于求出切点p(x0,y0)及斜率,其求法为:设p(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点,则以p的切点的切线方程为:y-y0=f(x0)(x-x0).若曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0)的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x=x0.【补偿训练】已知函数f(x)=x2+xlnx.(1)求f(x).(2)求函数f(x)图象上的点p(1,1)处的切线方程.【解题指南】(1)直接使用求导公式和法则得结果.(2)由导数的几何意义,求切线斜率,再由点斜式得切线方程.【解析】(1)f(x)=(x2)+(xlnx)=2x+1×lnx+x·1x=2x+l

17、nx+1.(2)由题意可知切点的横坐标为1,所以切线的斜率是k=f(1)=2×1+ln1+1=3,所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.19.(12分)已知函数f(x)=x3-ax2,其中xr,a为参数.(1)记函数g(x)=16f(x)+lnx,讨论函数g(x)的单调性.(2)若曲线y=f(x)与x轴正半轴有交点且交点为p,曲线在点p处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)g(x).【解题指南】(1)整理函数g(x)解析式,求得其导函数g(x),结合函数定义域对参数a的范围加以讨论,从而得到g(x)的正负,确定函数的单调性.(2)将证明不

18、等式f(x)g(x)转化为求函数h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax2-a2x+a3的最小值问题,从而借助于导数求解.【解析】(1)函数g(x)的定义域是(0,+),f(x)=3x2-2ax,g(x)=16(3x2-2ax)+lnx,g(x)=16(6x-2a)+1x=x+1x-a32-a3.当a6时,则2-a30,所以g(x)0,所以函数g(x)在定义域(0,+)上单调递增,当a>6时,令g(x)=3x2-ax+33x=0,则x1=a-a2-366,x2=a+a2-366.可知函数g(x)在0,a-a2-366上单调递增,在a-a2-366,a+a2-366单调递减,在a+a2-3

19、66,+上单调递增.(2)令f(x)=0,则x=0或x=a.若曲线y=f(x)与x轴正半轴有交点,则a>0且交点坐标为p(a,0).又f(x)=3x2-2ax,则f(a)=a2,所以曲线在点p处的切线方程为y=a2(x-a),即g(x)=a2x-a3,令h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax2-a2x+a3,h(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),函数h(x)在区间(0,a)上单调递增,在区间(a,+)上单调递减,所以当x=a时,h(x)有最小值,所以h(x)0,则f(x)g(x).20.(12分)(2015·全国卷)已知f(x)=lnx+a(1-x).(1)

20、讨论f(x)的单调性.(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x-a.若a0,则f(x)>0,所以f(x)在(0,+)上单调递增.若a>0,则当x0,1a时,f(x)>0;x1a,+时,f(x)<0,所以f(x)在0,1a上单调递增,在1a,+上单调递减.(2)由(1)知,当a0时,f(x)在(0,+)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=1a处取得最大值,最大值为f1a=ln1a+a1-1a=-lna+a-1.因此f1a>2a-2等价于lna+a-1<0,令g(a)=l

21、na+a-1,则g(a)在(0,+)上单调递增,g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).21.(12分)若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-43.(1)求函数的解析式.(2)若方程f(x)=k有3个不同的根,求实数k的取值范围.【解析】f(x)=3ax2-b.(1)由题意得f'(2)=12a-b=0,f(2)=8a-2b+4=-43,解得a=13,b=4.故所求函数的解析式为f(x)=13x3-4x+4.(2)由(1)可得f(x)=x2-4=(x-2)(x+2

22、),令f(x)=0,得x=2或x=-2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)283-43因此,当x=-2时,f(x)有极大值283,当x=2时,f(x)有极小值-43,所以函数f(x)=13x3-4x+4的图象大致如图所示.若f(x)=k有3个不同的根,则直线y=k与函数f(x)的图象有3个交点,所以-43<k<283.【延伸探究】若本题(2)中“若方程f(x)=k有3个不同的根”改为“若方程f(x)=k有2个不同的根”结果如何呢?若改为“若方程f(x)=k有1个根”呢?【解析】由上面的解法可知:当k=-43或k=283时,方程有两个不同的实数根;当k>283或k<-43时