必修1.3.2.1几类不同增长的函数模型(一)

1、 肩负责任 用心教学§必修1.3.2.1几类不同增长的函数模型(一)教学目标1复习已学习一次函数、二次函数、反比例与正比例函数及分段函数的应用.2能根据数据正确选择最适合的函数模型，研究相应简单应用问题.3利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异.4结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.学习内容知识梳理 1常见的函数模型（1）一次函数模型：（、为常数，）；（2）反比例函数模型：（、为常数，）；（3）二次函数模型：（、为常数，）；（4）指数函数模型：f（x）abxc（、为常数，）；（5）对数函数模型：（、为常数，）；说明：随着新课标的实施，指数

2、、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色（6）幂函数模型：（、为常数，）；（7）分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛2数学建模数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程可用框图表示为3指数函数，对数函数，幂函数增长性的比较1) 在区间上，尽管函数，和都是增函数但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着的增大，的增长速度越来越快会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个，当时，就有2) 在区间上，尽管函数，和都是减函数但它们的递减速度不同，而且不在同一个“档次”上随着的增大，的

3、递减速度越来越快会超过并远远大于的递减速度，而的递减速度则会越来越慢因此，总会存在一个，当时，就有例题讲解 题型一一次函数模型的应用例1为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分钟)与通话费y(元)的关系如下图所示(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜分析：由题目可获取以下主要信息：(1)通过图象给出函数关系，(2)函数模型为直线型，(3)比较两种函数的增长差异答本题可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较解析：(1

4、)由图象可设y1k1x29，y2k2x，把点B(30，35)，C(30,15)分别代入y1，y2得(2)令，即，则当时，两种卡收费一致；当时，即如意卡便宜；当时，即便民卡便宜.点评：在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解巩 固某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额（元）是(其中n为年销售额)，而，一员工获得400元的奖励，那么该员工一年的销售额为（ ）A8 000B10 000 C12 000 D15

5、 000 解析：本题是一分段函数应用题，函数关系已给出，关键是正确理解题意，分段取值验算先取k(n)0.03，由0.03(n5 000)400解出n>10 000，故不符合，再取k(n)0.04，同样解得n15 000，知10 000<n<20 000时，符合题意答案：D题型二二次函数模型的应用例2某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本为Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150点评：对于二次函数模型，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等

6、方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题利用二次函数求最值时特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符巩 固如右图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式yf(x)，并写出它的定义域题型三指数型函数模型的应用例3按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？(“复利”：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息) 解析：1期后y1aa×ra(1r)，2期后y2

7、a(1r)2，则x期后，本利和为：ya(1r)x.将a1 000元，r2.25%，x5 代入上式：y1 000×(12.25%)51 000×1.022 55，由计算器算得：y1 117.68(元)答：故复利函数式为ya(1r)x,5年后的本利和为1 117.68元点评：(1)已给出函数模型的实际应用题时，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答(2)判断所得到的数学模型是否拟合，必须使所有数据基本接近数学模型，对于一般的应用问题，不会让数学模型完全符合，只是基本符合，对此，无最优解，只有满意解巩 固光线通

8、过一块玻璃时，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃后的强度为y，则y关于x的函数关系式为_答案：ya0.9x 题型四对数型函数模型的应用例4已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：（其中）.当燃料重量为吨（e为自然对数的底数）时，火箭的最大速度为(1)求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x吨之间的函数关系式yf(x)；(2)已知该火箭的起飞重量是544吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8 km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？点

9、评：(1)解决应用问题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义(2)对数函数模型的一般表达式为：f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，a>0，a1) 巩 固我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量. （1）计算当一只两岁燕子静止时的耗氧量是多少单位；（2）当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？综合题库A组1当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()Ay100x By100ln x Cyx100 Dy100·2

10、x解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y100·2x增长速度最快故选D.答案：D2某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量增长速度保持不变，则该厂六年来这种产品的总量可用下列哪个图象表示()答案：A 3一般地，家庭用电量(千瓦时)与气温()有一定的关系，如下图所示，图(1)表示某年12个月中每月的平均气温图(2)表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是()A气温最高时，用电量最多B气温最低时，用电量最少C当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D当气温小

11、于某一值时，用电量随气温降低而增加解析：经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高的因此A项错误同理可判断出B项错误. 由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C项正确答案：CB组1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01A.y2x2By(x21)Cylog2x Dyx答案：B2当2<x<4时，2x，x2，log2x，的大小关系是()A2x>x2>log2xBx2>2x>log2xC

12、2x>log2xx2Dx2>log2x>2x解析：方法1：在同一坐标系中画出函数ylog2x，yx2，y2x的图象，在区间(2,4)内从上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的图象x2>2x>log2x.故选B.方法2：取x3，经检验知B正确故选B.答案：B3某债券市场发行三种债券：P种面值为100元，一年到期本息和为103元；Q种面值为50元，一年到期51.4元；R种面值20元，一年到期20.5元作为购买者，要选择受益最大的一种，分析三种债券的收益，应选择 _ 种债券答案：P4一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格

13、与住房率有如下表所示的关系.每间客房定价/元200180160140住房率/%65758595要使每天收入最高，每间客房定价为()A200元 B180元C160元 D140元答案：C5.如上图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数yf(x)的图象是下列图中的()答案：D6甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A甲比乙先出发B乙比甲跑的路程多C甲、乙两人的速度相同D甲先到达终点解析：由图知，甲、乙同时出发跑的路程相同，甲的速度比乙的速度快，甲先到达终点故选D.答案：DC组1储油30 m3的油桶，每分钟流出

14、m3的油，则桶内剩余油量Q(m3)以流出时间t(分钟)为自变量的函数的定义域是()A0，) BCD0,40解析：由t30t40，故所求定义域为0,40答案：D2一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如右图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2x10，记yf(x)，则yf(x)的图象是()答案：A3季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式(2)若

15、此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q0.125(t8)212，t0,16，tN*，试问该服装第几周每件销售利润L最大？解析：(1)P(2)因每件销售利润售价进价，即LPQ，故有：当t0,5)且tN*时，L102t0.125(t8)212t26，即t5时，Lmax9.125；当t5,10)时tN*时，L0.125t22t16，即t5时，Lmax9.125；当t10,16时，L0.125t24t36，即t10时，Lmax8.5.答：由以上得，该服装第5周每件销售利润L最大4某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据用一个函数模拟产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)px2qxr(其中p，q，r为常数，且p0)或指数型函数g(x)a·bxc(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由解析：f(x)px2qxr(p0)，由f(1)2，f(2)1.2，f(3)1.3，有：解得p0.05，q0.35，r0.7，f(4)1.3.又g(x)a·bxc，由g(1)1，g(2)1.2，g(3)1.3，有：解得a0.8，b0.5，c1.4，g(4)1.35.根据4月份