流体力学复习2

1、2第三章第三章 流体动力学理论基础流体动力学理论基础3 1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 着眼于流体质点着眼于流体质点, 跟踪研究运动的流体中每一个流体质点的运动跟踪研究运动的流体中每一个流体质点的运动情况情况, 分析运动参数随时间的变化规律分析运动参数随时间的变化规律, 然后综合所有流体的质点然后综合所有流体的质点, 得到整个流体的运动规律得到整个流体的运动规律.一一.拉格朗日法拉格朗日法: 从概念上讲从概念上讲, 拉格朗日法比较直观拉格朗日法比较直观, 因为它于理论力学中研究质点系运动因为它于理论力学中研究质点系运动的方法一样的方法一样. 但对流体运动而言但对流体运动而言,

2、 此方法在数学处理上很复杂此方法在数学处理上很复杂, 工程实际中一工程实际中一般不采用般不采用.二二. 欧拉法欧拉法 欧拉法是选定一空间欧拉法是选定一空间, 观察不同时刻先后经过某空间点的流体质点的运动参观察不同时刻先后经过某空间点的流体质点的运动参数变化及同一时刻不同空间点下流体质点的运动参数变化数变化及同一时刻不同空间点下流体质点的运动参数变化,综合所有空间点综合所有空间点,用用以描述整个流体的运动以描述整个流体的运动. 在流体运动中在流体运动中, 辨认流场空间点比辨认流体本身的质点容易辨认流场空间点比辨认流体本身的质点容易, 所以所以,大多大多数运动的流体问题采用的是欧拉法数运动的流体问

3、题采用的是欧拉法.3欧拉法就是用空间场的观点研究流体运动的方法欧拉法就是用空间场的观点研究流体运动的方法. 流体作为一种连续介质流体作为一种连续介质, 其各种物理量的变化规律可通过空间场来描述其各种物理量的变化规律可通过空间场来描述.如如, 速度场、压力场、密度场等速度场、压力场、密度场等. 这些物理量场通称这些物理量场通称 “流场流场”. 同一界定的空间内不同的同一界定的空间内不同的 流体质点的速度构成了一速度场流体质点的速度构成了一速度场.这个速度场既这个速度场既是空间坐标是空间坐标(x、y、z)的函数的函数, (同一时刻同一时刻, 不同的空间点的运动参数是不同的不同的空间点的运动参数是不

4、同的) 同时同时,也是时间也是时间t的函数的函数( 不同时刻不同时刻, 同一空间点的运动参数也是不同的同一空间点的运动参数也是不同的).三个投影分量表示为三个投影分量表示为: tzyxuuxx, tzyxuuyy, tzyxuuzz, 用函数式表达速度场用函数式表达速度场(速度分布函数速度分布函数) tzyxuu, 加速度场加速度场(加速度分布函数加速度分布函数)tudtdzzudtdyyudtdxxudtduaxxxxxx tuzuuyuuxuuxxzxyxx 同理可有同理可有:tuzuuyuuxuuayyzyyyxy tuzuuyuuxuuazzzzyzxz 4tuzuuyuuxuuaxx

5、zxyxxx tuzuuyuuxuuayyzyyyxy tuzuuyuuxuuazzzzyzxz ix jy kzoaxayaza用矢量表示就是用矢量表示就是: tuuua kzjyix 矢量微分算子矢量微分算子上述式子表明上述式子表明: 流场中质点的运动加速度由两部分组成流场中质点的运动加速度由两部分组成. tu uu 表示流场中流体质点的速度随时间变化引起的加速度表示流场中流体质点的速度随时间变化引起的加速度, 称为称为 当地加速度当地加速度或或 时变加速度时变加速度.表示流场中的流体质点的速度随坐标变化引起的质点的表示流场中的流体质点的速度随坐标变化引起的质点的加速度加速度, 称为称为

6、迁移加速度迁移加速度或或 位变加速度位变加速度.5 图示容器中图示容器中, 若水位若水位h不随时间变化不随时间变化, 则管内各空间点则管内各空间点的流体质点的流速也不随时间变化的流体质点的流速也不随时间变化, 即时变加速度为零即时变加速度为零. 这时我们称流体为定常流动这时我们称流体为定常流动. 图示容器中图示容器中, 若水位若水位h随时间变化随时间变化, 则则管内各空间点的流体质点的流速也随时管内各空间点的流体质点的流速也随时间变化间变化, 即时变加速度不为零即时变加速度不为零. 这时我们这时我们称流体为非定常流动称流体为非定常流动. 不管容器水位是否变化不管容器水位是否变化, 图中图中c点

7、到点到d点及到管口的流速是逐渐加快的点及到管口的流速是逐渐加快的, 即流体的位变加速度不为零即流体的位变加速度不为零; 而而a、b、c各点的流速是相等的各点的流速是相等的,即位变加速即位变加速度为零度为零. habcd 控制体与控制面控制体与控制面欧拉法中所选取的固定空间称为欧拉法中所选取的固定空间称为 控制体控制体. 在运动过程中在运动过程中,控制体相对控制体相对于所选坐标系的位置是不变的于所选坐标系的位置是不变的.控制体的表面控制体的表面(即边界面即边界面)称为称为 控制面控制面. 在用欧拉法分析流体的流动时在用欧拉法分析流体的流动时,认为流体质点系可以按照自身运动的规认为流体质点系可以按

8、照自身运动的规律穿越控制面而自由出入控制体律穿越控制面而自由出入控制体.6例例1. 已知某流体的速度场已知某流体的速度场 ux = 2x, uy = -2y, uz = 0 , 试求流场的加速度及在流场试求流场的加速度及在流场(1、1)点的加速度点的加速度.tuzuuyuuxuuaxxzxyxxx tuzuuyuuxuuayyzyyyxy tuzuuyuuxuuazzzzyzxz 解解: xyx40000222 yyx40002202 00000202 yx流体质点的加速度流体质点的加速度或写成或写成jyi xa44 在流场在流场(1、1)点的加速度为点的加速度为4 xa4 ya0 zajia

9、44 或写成或写成jyi xkujuiuuzyx22 (稳流速度场稳流速度场)(加速度场加速度场)73 2 流体运动的若干基本概念流体运动的若干基本概念 定常流动定常流动: 如果流场中每一个空间点上的运动参数如果流场中每一个空间点上的运动参数( 速度、压力、速度、压力、密度等密度等)不随时间变化不随时间变化,这样的流动称为这样的流动称为 定常流动定常流动.前面提过前面提过, 表示所观测的空间上流体质点的速度对于时间的变化率表示所观测的空间上流体质点的速度对于时间的变化率, 称为称为 当地加速度当地加速度或时变加速度或时变加速度.tu 0 tux所以所以, 在定常流动中在定常流动中,0 tu即是

10、即是,0 tuy0 tuz 非定常流动非定常流动: 如果流场中空间点上的运动参数如果流场中空间点上的运动参数( 速度、压力、密度速度、压力、密度等等)随时间变化随时间变化, 这样的流动称为这样的流动称为 非定常流动非定常流动.一一. 定常流动和非定常流动定常流动和非定常流动二二. 一维流动、二维流动、三维流动一维流动、二维流动、三维流动 如果流场中的流动参数依赖于三个空间坐标如果流场中的流动参数依赖于三个空间坐标( x、y、z) , 则这样的流动称则这样的流动称为三维流动为三维流动, 或三元流动或三元流动; 如果依赖于两个坐标如果依赖于两个坐标, 则为二维流动则为二维流动,或二元流动或二元流动

11、; 如果仅依赖于一个坐标如果仅依赖于一个坐标, 则为一维流动或一元流动则为一维流动或一元流动. 8三三. 迹线与流线迹线与流线 流体质点运动的轨迹称为流体质点运动的轨迹称为 迹线迹线.它是同一质点在不同时刻位置所形成它是同一质点在不同时刻位置所形成的曲线的曲线,由迹线可看清楚流体质点的运动情况由迹线可看清楚流体质点的运动情况.迹线是拉格朗日法对流动的描绘迹线是拉格朗日法对流动的描绘. 迹线的微分方程迹线的微分方程 某流体的一质点在某流体的一质点在t 时刻位于时刻位于m1点点( x、y、z) , 在在t +dt时刻位于时刻位于m2 点点(x+dx、y+dy、z+dz) , 由速度的定义可知有由速

12、度的定义可知有 dzzdyydxxm ,2 zyxm,1tdtt rddtrdu dtdxux dtdyuy dtdzuz 迹线的微分方程迹线的微分方程:或将速度微分式积分后消去或将速度微分式积分后消去t ,便可得迹线方程便可得迹线方程( 轨迹方程轨迹方程)dtudzudyudxzyx (迹线微分方程积分时迹线微分方程积分时,t是自变量是自变量)9流线具有以下三个性质流线具有以下三个性质:(1). 在定常流动中在定常流动中, 迹线和流线重合迹线和流线重合. 定常流动的流线不随时间变化定常流动的流线不随时间变化. 因此因此, 任一个流体质点必沿某一确定的流线运动任一个流体质点必沿某一确定的流线运

13、动, 即流线与迹线重合即流线与迹线重合. 在非定常流在非定常流动中动中,流线在不同的时刻有不同的形状流线在不同的时刻有不同的形状,因此流线不一定始终与迹线重合因此流线不一定始终与迹线重合. (2) 一般情况下一般情况下, 流线是光滑曲线流线是光滑曲线. 流线不能相交和转折流线不能相交和转折.因为流场中因为流场中, 任何一任何一空间点处的流体质点只有一个流动方向空间点处的流体质点只有一个流动方向, 所以所以, 在任意时刻在任意时刻, 通过某一空间点通过某一空间点只能有一条流线只能有一条流线. 只有速度为零只有速度为零(驻点驻点)或为无穷大或为无穷大(奇点奇点)的点的点,流线才可以相流线才可以相交

14、交. 因为这些点上流体的流动方向无法确定因为这些点上流体的流动方向无法确定.(3) 在不可压缩的流体中在不可压缩的流体中, 流线族的疏密反映了该时刻流场中各点流速的大小流线族的疏密反映了该时刻流场中各点流速的大小. 流线密流线密,流速大流速大; 流线疏流线疏, 流速小流速小. 流线流线是某瞬时在流场中所作的一条空间曲线是某瞬时在流场中所作的一条空间曲线,它可以反映同一时刻不它可以反映同一时刻不同质点的流动方向同质点的流动方向. 该瞬时该瞬时,位于流线上的各点的流体质点的速度在该点与流位于流线上的各点的流体质点的速度在该点与流线相切线相切. 或者说或者说, 流线上各点的切线方向与此时流体质点的速

15、度方向一致流线上各点的切线方向与此时流体质点的速度方向一致.abcd 流线形象地给出了流场中流动的状态流线形象地给出了流场中流动的状态, 通过流线可以清楚地看出某时刻通过流线可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向流场中各点的速度方向,由流线的疏密程度可以比较各点的速度的大小由流线的疏密程度可以比较各点的速度的大小.流线流线的引入适合欧拉法对流动的描绘的引入适合欧拉法对流动的描绘.10 流线的微分方程流线的微分方程设流线上某点设流线上某点m(x、y、z) 处的速度为处的速度为 , 而而 为流线下为流线下m点的微元线矢点的微元线矢, usd由流线的定义由流线的定义, 该点的速度矢与该点曲线的弧微

16、分的方向是一致的该点的速度矢与该点曲线的弧微分的方向是一致的,即即0 sdu0 dzdydxuuukjizyx 0 kdxudyujdzudxuidyudzuyxxzzy0 dyudzuzy即即zyudzudy 同理有同理有:zxudzudx zyxudzudyudx 综合起来有综合起来有:11例例1.(书上例书上例3 1 ) 已知二维非恒定流场的速度分布函数为已知二维非恒定流场的速度分布函数为: txux tyuy 试求试求: (1) t = 0 和和t = 3 时时, 过点过点m ( 1 、1 ) 的流线方程的流线方程; (2) t = 0 , 过点过点m ( 1、1) 的迹线方程的迹线方

17、程.解解: (1)zyxudzudyudx 由流线微分方程由流线微分方程本题有本题有:tydytxdx cyx lnlnceyxc 由由m点坐标点坐标1 c1 xy(反比例曲线反比例曲线)3 t时有时有:33 ydyxdxcyx lnln积分得积分得: cyx 3ln3ln cyx 3ln3ln cyx 33ln0 tydyxdx 时有时有12 cyx 33ln cyx 33由由m点的坐标（点的坐标（ 1、1)8 c所以所以, 当当 t = 3时，时， m点的流线方程为点的流线方程为 833 yx对比对比t = 0 时时, m点的流线方程点的流线方程1 xy可知可知对于非恒定流场对于非恒定流场

18、, 流线形状随时间而变流线形状随时间而变.(2)对于迹线方程对于迹线方程:dtdxux dtdyuy 由由txdtdx tydtdy 对于一阶常系数对于一阶常系数非齐次微分方程非齐次微分方程txdtdx tydtdy 特解为特解为1 tx特解为特解为1 ty对应齐次解对应齐次解tecy 211 tecxt全解为全解为:12 tecyt对应齐次解对应齐次解tecx1 13由初始条件由初始条件:01 c02 c1 tx1 ty2 yx11 tecxt12 tecytt = 0 , 及及 (x = 1、y = 1)例例3.已知二维恒定流场的速度分布函数为已知二维恒定流场的速度分布函数为: xux y

19、uy 试求试求: (1) 过点过点m ( 1 、1 ) 的流线方程的流线方程; (2) 过点过点m ( 1、1) 的迹线方程的迹线方程.本题有本题有:ydyxdx 解解: (1)zyxudzudyudx 由流线微分方程由流线微分方程cyx lnlnceyxc 由由m点坐标点坐标1 c1 xy(反比例曲线反比例曲线)cyx lnln积分得积分得:流场在流场在m点的流线方程为点的流线方程为:142. 元流及流线元流及流线断面无限小的流束称为元流断面无限小的流束称为元流, 元流的极限就是流线元流的极限就是流线.3. 总流总流: 固定边界固定边界(如管道、渠道如管道、渠道)内流束的总和内流束的总和.四

20、四.流管、元流、总流、过流断面流管、元流、总流、过流断面1. 流管流管: 由流线构成的管状曲面由流线构成的管状曲面. 由流管的概念可知由流管的概念可知, 流体质点不能穿过流管表面流入和流出流体质点不能穿过流管表面流入和流出, 流体在流流体在流管中的流动犹如其在固定管道中流动一样管中的流动犹如其在固定管道中流动一样.(2)对于迹线方程对于迹线方程:dtdxux dtdyuy 由由xdtdx ydtdy dtxdx dtydy 1lnctx 2lncty tedx1 tedy 2消去消去t 可得可得dxy 由由m点的坐标（点的坐标（ 1、1)1 d流场在流场在m点处质点的迹线方程为点处质点的迹线方

21、程为:1 xy154. 过流断面过流断面 过流断面过流断面: 流束中流束中,与每一条流线相垂直与每一条流线相垂直的横截面称为该流束的过流断面或有效断面的横截面称为该流束的过流断面或有效断面.aabb平面平面曲面曲面五五. 流量、断面平均流速流量、断面平均流速1. 流量流量: 单位时间通过过流断面的流体量单位时间通过过流断面的流体量.体积流量体积流量: smq/3质量流量质量流量: skgqm/重量流量重量流量: snqg/显然显然, qqm gqqg 一般说来一般说来, 过流断面上各点的流速是不相等的过流断面上各点的流速是不相等的,比如比如, 设过流断面的流速设过流断面的流速u 是断面的位置函

22、数是断面的位置函数, 则体积流量为则体积流量为 audaq2. 断面平均流速断面平均流速对于断面流量对于断面流量, 假定假定vaudaqa 则则aqv 称为断面平均流速称为断面平均流速.16dauamaxu设管内流体速度分布如图示设管内流体速度分布如图示过流断面过流断面体积流量体积流量 audaqaqv 平均流速平均流速若管道的内直径为若管道的内直径为d, 则有则有:24dqv 断面平均流速的概念很重要断面平均流速的概念很重要, 它使得许多计算和分析大大简化它使得许多计算和分析大大简化.例例2. 空气在空气在350c和和250kpa 的绝对压力下以的绝对压力下以9m/s的平均流速过直径为的平均

23、流速过直径为250mm的的通风管道通风管道, 求空气的质量流量求空气的质量流量.解解:由由24dqv smvdq/441786. 04925. 04322 又又rtp 33/8282. 23527328710250mkgrtp qqm skg/24945. 1441786. 08282. 2 17六六. 均匀流与非均匀流均匀流与非均匀流 流速的大小及方向沿流线不变的稳定流为均匀流流速的大小及方向沿流线不变的稳定流为均匀流,或者说或者说, 流体质点为定常流体质点为定常直线流动直线流动, 均匀流的流线是互相平行的直线均匀流的流线是互相平行的直线.(不同流线上质点的流速大小可不同流线上质点的流速大小

24、可有不同有不同, 但必同一流动方向但必同一流动方向.) 反之反之, 流线上的速度矢随空间的位置而变化的稳流线上的速度矢随空间的位置而变化的稳定流动为非均匀流定流动为非均匀流, 非均匀流的流线不再是互相平行的直线非均匀流的流线不再是互相平行的直线.七七.缓变流和急变流缓变流和急变流对于非均匀流对于非均匀流, 按流线沿流向变化的缓急程度又分为缓变流和急变流按流线沿流向变化的缓急程度又分为缓变流和急变流, 流线的曲流线的曲率和流线间的夹角都很小的流动称为缓变流率和流线间的夹角都很小的流动称为缓变流, 缓变流在许多场合下可作均匀流缓变流在许多场合下可作均匀流动处理动处理. 反之反之, 流线的曲率或流线

25、间的夹角都较大的流动称为急变流流线的曲率或流线间的夹角都较大的流动称为急变流.(见书上见书上p47)183 3 连续性方程连续性方程 流体是呈连续状态的、没有任何间隙的连续体流体是呈连续状态的、没有任何间隙的连续体, 其质量也是连续分布的其质量也是连续分布的. 对对任意一流场任意一流场, 取一控制体考察取一控制体考察, 可以得知可以得知: 控制体内流体质量的对时间变化控制体内流体质量的对时间变化, 应应等于流经控制面的质量流量等于流经控制面的质量流量. 如果控制体内流体的质量随时间减少如果控制体内流体的质量随时间减少, 即质量对即质量对时间的变化率为负时间的变化率为负, 则经流整个控制面的流体

26、质量流量为正则经流整个控制面的流体质量流量为正. 反之亦然反之亦然.用数学式表达流体的连续性方程则为用数学式表达流体的连续性方程则为: vadvtadv 0 vadvtadv 即即如果是定常流动如果是定常流动(稳流稳流)或流体不可压缩或流体不可压缩则有则有0 vdvt 于是连续性方程为于是连续性方程为:0 adva 控制体内质量守恒控制体内质量守恒.对于一元对于一元(维维)流动流动0112212 davdavadvaaa (注意注意: 积分号内的密度及速度都是截面位置的函数积分号内的密度及速度都是截面位置的函数)设流经设流经a1、a2 断面时流体的密度分别为断面时流体的密度分别为 1和和 2

27、, 其断面的平均流速分别为其断面的平均流速分别为v1和和v2 , 则连续性方程可写为则连续性方程可写为:222111avav 19221111avav 这实际是质量守恒这实际是质量守恒, 即即: 当流动为定常或流体不可压缩时当流动为定常或流体不可压缩时, 质量流量处处相等质量流量处处相等.(1)即有即有mnnnqavavavav 333222111如果流体不可压缩如果流体不可压缩, 则密度在流经任意截面时均是不变的则密度在流经任意截面时均是不变的, 为常数为常数.在流经任意两截面时在流经任意两截面时2211avav 这实际是体积守恒这实际是体积守恒, 即即: 当流体不可压缩时当流体不可压缩时,

28、 体积流量亦处处相等体积流量亦处处相等.即有即有qavavavavnn 332211(2)上面的上面的(1) 、(2) 式称为一维流动的连续性方程式称为一维流动的连续性方程. 连续性方程实际是质量守恒定律在流体力学中的应用连续性方程实际是质量守恒定律在流体力学中的应用, 不满足连续性方程不满足连续性方程的流动是不存在的的流动是不存在的, 质量流量或体积流量的守恒适用于任何理想流体或黏性质量流量或体积流量的守恒适用于任何理想流体或黏性流体的流动流体的流动.对于有总流和支流的情况对于有总流和支流的情况, 不可压缩流体的连续性方程可表达为不可压缩流体的连续性方程可表达为mnnqavavavav 22

29、1120例例3. 如图所示的液流管段如图所示的液流管段, 其尺寸为其尺寸为: d1 = 2.5cm, d2 = 5cm, d3 = 10cm. 求求: (1) 当当q = 4l/s, 各段的平均流速各段的平均流速. (2) 旋动活门旋动活门,使流量减少至使流量减少至2l/s, 平均流平均流速如何变化速如何变化?1d2d3dvq解解:(1)由由qav qdv 42 smdqv/15. 8105 . 210444423211 smdqv/04. 2100 . 510444423222 smdqv/51. 0100 .1010444423233 (2)当流量减少至当流量减少至sl /2 smdqv/

30、08. 4105 . 210244423211 smdqv/02. 1100 . 510244423222 smdqv/26. 0100 .1010244423233 21 例例4. 水以水以2m/s 的速度分别在直径为的速度分别在直径为25mm和和50mm的管道内流动的管道内流动,如果这两根如果这两根管道接到直径为管道接到直径为75mm的第三根管道上构成三通管的第三根管道上构成三通管, 求水在第三根管内的流速求水在第三根管内的流速.解解: 6222110450252 avavq sm /1074.490836 smaqv/111. 1107541074.490862633 例例5. 图示氨气

31、压缩机用图示氨气压缩机用d1 = 76.2mm的管子吸入密度的管子吸入密度 1 = 4kg/m3 的氨气的氨气,经压经压缩后缩后,由由d2 = 38.1mm的管子以的管子以v2 = 10m/s的速度流出的速度流出,此时密度增至此时密度增至 2 = 20kg/m3. 求求(1)质量流量质量流量; (2)流入的流速流入的流速v1 .1v2v1d2d解解:由连续方程由连续方程mqav 222 skgqm/228. 04101 .38102062 (1)(2)由连续方程由连续方程222111avav smddvaavv/5 .12102 .764101 .38102062622112222112221

32、 vv3v22例例6. 断面为断面为(5050)cm2的送风管通过的送风管通过a、b、c、d 四个四个(4040)cm2的送风口向室的送风口向室内输送空气内输送空气.送风口气流平均速度均为送风口气流平均速度均为5m/s, 求通过送风管求通过送风管1 1, 2 2 , 3 3 各各个断面的流速和流量个断面的流速和流量.解解:3 3 断面断面dvaav 3 smavavd/2 . 31050501040405443 smavqd/8 . 01040405343 abcd112233qqqq0q3v2v1v2 2 断面断面dvaav22 smavavd/4 . 6105050104040522442

33、 smavqd/6 . 1104040522342 1 1 断面断面dvaav31 smavavd/6 . 9105050104040533441 smavqd/4 . 2104040533341 233 4 理想流体的运动微分方程及其积分理想流体的运动微分方程及其积分xy xyzodxdydzcba理想流体是没有黏性的理想流体是没有黏性的, 作用在流体微元上作用在流体微元上的力只有质量力和正应力的力只有质量力和正应力(法向压力法向压力) 如此受力特点与静力平衡相同如此受力特点与静力平衡相同,只不过只不过此刻受力后不平衡而是有运动加速度此刻受力后不平衡而是有运动加速度沿用平衡微分方程式的推导思

34、路沿用平衡微分方程式的推导思路, 列相应列相应的动力学方程的动力学方程.取静止流体中一微元六面体取静止流体中一微元六面体dxdydz令微元体中心点令微元体中心点a的压力为的压力为p在过六面体中点在过六面体中点a 平行于平行于y方向上方向上, 静水压力沿静水压力沿y轴方向连续变化轴方向连续变化.在左侧面的中点在左侧面的中点b压力为压力为dyypp21 在右侧面的中点在右侧面的中点c压力为压力为dyypp21 由动力学方程可得沿由动力学方程可得沿y轴方向有轴方向有:又设微元体单位质量力为又设微元体单位质量力为kzjyixf ymayyadxdydzdxdydzydxdzdyyppdxdzdyypp

35、 2121dtduypyy 1ya24xy xyzodxdydzcbaya ymayzaxa同理同理: xmax zmazdtduypyy 1dtduxpxx 1dtduzpzz 1( 3 28 )上式右边的运动加速度是拉格朗日法描述上式右边的运动加速度是拉格朗日法描述的的, 用欧拉法描述则为用欧拉法描述则为:tuzuuyuuxuuxxzxyxx xpx 1tuzuuyuuxuuyyzyyyx ypy 1tuzuuyuuxuuzzzzyzx zpz 1如果是恒定流动如果是恒定流动(定常流动定常流动) ,zyxuu 0 tututuzyx zyxpp, 则有则有:dzzpdyypdxxpdp 2

36、5将上三式两边分别乘将上三式两边分别乘dx、dy、dz 然后相加可得然后相加可得: dzzpdyypdxxpzdzydyxdx 1)(dtduypyy 1dtduxpxx 1dtduzpzz 1( 3 28 )考虑定常流动考虑定常流动,则流线与迹线重合则流线与迹线重合dtdxux 在某流线上亦有在某流线上亦有dtdyuy dtdzuz dzdtdudydtdudxdtduzyx 上式是动力学定律沿流线的微分关系上式是动力学定律沿流线的微分关系如果质量力是有势力如果质量力是有势力(保守力保守力),则则dwzdzydyxdx )( zyxww, 称为力函数称为力函数(或势函数或势函数)力函数与有势

37、力的关系为力函数与有势力的关系为:xwx ywy zwz 力函数与势能的关系为力函数与势能的关系为:uw dzdtdudydtdudxdtduzyx zzyyxxduuduuduu zyxdudtdzdudtdydudtdx 26 dzzpdyypdxxpzdzydyxdx 1)(dzdtdudydtdudxdtduzyx dwzdzydyxdx )(zzyyxxduuduuduu dpdzzpdyypdxxp dzdtdudydtdudxdtduzyx 221)(2122222udduuuudzyx022 uddpdw 022 upwd cupw 22 (3 34 ) 上式为理想流体运动微分

38、方程沿流线上式为理想流体运动微分方程沿流线(元流元流)的伯努利积分的伯努利积分.它表明它表明:不可压缩流体在保守力不可压缩流体在保守力(有势力有势力)作用下定常流动时作用下定常流动时, 在同一流线上在同一流线上各点的势能、压力及流速的综合指标是不变的各点的势能、压力及流速的综合指标是不变的.273 5 恒定流动的伯努里方程恒定流动的伯努里方程 伯努利方程又称能量方程伯努利方程又称能量方程, 是能量守恒转换定律在运动流体中的具体体现是能量守恒转换定律在运动流体中的具体体现, 方方程意义明确程意义明确,形式简单形式简单, 在解决实际的工程流体力学的问题中有不可替代的作用在解决实际的工程流体力学的问

39、题中有不可替代的作用.一一. 理想流体元流的伯努利方程理想流体元流的伯努利方程cupw 22 (3 34 ) 定常流动的流线上的伯努利积分定常流动的流线上的伯努利积分在地球表面的重力场在地球表面的重力场gzw 代入上式后整理可得代入上式后整理可得:cgugpz 22 (3 35 ) 任取同一流线上的两点任取同一流线上的两点1、2 可有可有:gugpzgugpz2222222111 (3 36)( 3 35 ) , ( 3 36 ) 式是重力场下定常流动不可压缩的理想流体元流的伯式是重力场下定常流动不可压缩的理想流体元流的伯努利方程努利方程, 它是流体力学动力学中最重要的方程之一它是流体力学动力

40、学中最重要的方程之一.28二二. 实际流体恒定元流的伯努利方程实际流体恒定元流的伯努利方程 对于实际流体对于实际流体, 由于粘性力的存在由于粘性力的存在, 流体内部会产生摩擦力流体内部会产生摩擦力, 流体的运流体的运动要克服摩擦阻力做功动要克服摩擦阻力做功, 从而消耗一些机械能从而消耗一些机械能.实际流体恒定元流伯努里方程的形式为实际流体恒定元流伯努里方程的形式为:对同一流线上的点对同一流线上的点1和点和点2lhgugpzgugpz 2222222111 为实际流体的元流单位重量流体从为实际流体的元流单位重量流体从1 1 过流断面流到过流断面流到2 2 过流过流断面的机械能损失断面的机械能损失

41、, 称为水头损失称为水头损失. 量纲为长度量纲为长度. lh cupgz 22 (单位质量单位质量)cupgz 22 (单位体积单位体积)cgugpz 22 (单位重量单位重量) 伯努利方程的各种形式伯努利方程的各种形式:伯努利方程是能量守恒定律在流体动力学中的重要表现伯努利方程是能量守恒定律在流体动力学中的重要表现, 重力作用下流体的静力学平衡方程是能量守恒定律在流体静力学中的重要表现重力作用下流体的静力学平衡方程是能量守恒定律在流体静力学中的重要表现cgpz 或或cgpzgpz 221129借用借用 “ 水头水头”这个词这个词, 前面提及过前面提及过:lhgugpzgugpz 222222

42、2111 cgpz 或或cgpzgpz 2211伯努利方程伯努利方程(动力学方程动力学方程):静力学方程静力学方程:gp z 是位置水头是位置水头, 是压力水头是压力水头gpz 称为测压管水头称为测压管水头gu22称为速度水头称为速度水头lh 称为水头损失称为水头损失, 在理想流体中在理想流体中. 0 lh30例例7. (皮托管测速原理皮托管测速原理) 图示两端开口的弯成图示两端开口的弯成900的玻璃管的玻璃管, 它的一端在水中迎它的一端在水中迎流放置流放置,另一端在水外垂直向上另一端在水外垂直向上.迎流端的中心迎流端的中心a的淹深为的淹深为h, 管内液面上升的管内液面上升的高度为高度为h.此

43、时此时,a点的流速为零点的流速为零, 压力为压力为pa ; 在同一流线上的前方未受干扰的在同一流线上的前方未受干扰的点点b,其流速为其流速为ub , 压力为压力为pb .gugpzgugpzbbbaaa2222 由伯努利方程由伯努利方程可得可得gugpgpbba22 22bbaupp babppu 22 hhgpa ghpb ghghpubab2222 hgub2 hhab31例例8 ( 书上例书上例3 4 ) 用水银比压计测量管中的水流速度用水银比压计测量管中的水流速度, 过流断面中点流速如图过流断面中点流速如图示示. 实测得实测得a点的比压计度数点的比压计度数 h = 60mmhg (不计

44、损失不计损失) 求求: (1) 该管中点的流速该管中点的流速; (2) 如果管中流体是密度为如果管中流体是密度为0.8kg/m3 的油的油, h 不变不变, 该点的流速又是多少该点的流速又是多少?解解: (1)a点速度为零点速度为零由管道水平及稳流由管道水平及稳流, a、b两点在同一流线上两点在同一流线上由伯努利方程由伯努利方程gugpzgugpzbbbaaa2222 gugpgpbba22 本题为本题为: babppu 22h uba由测量管的显示可知相关点处的压力关系由测量管的显示可知相关点处的压力关系: hh 1122 hhgppb 1ghppa 2hgpphg 12ghhgphg 1

45、hgpphgba 1222 hghgbhghgu32例例8 ( 书上例书上例3 4 ) 用水银比压计测量管中的水流速度用水银比压计测量管中的水流速度, 过流断面中点流速如图过流断面中点流速如图示示. 实测得实测得a点的比压计度数点的比压计度数 h = 60mmhg (不计损失不计损失) 求求: (1) 该管中点的流速该管中点的流速; (2) 如果管中流体是密度为如果管中流体是密度为800kg/m3 的油的油, h 不变不变, 该点的流速又是多少该点的流速又是多少?解解: (1)h ubahh 1122 1222 hghgbhghgu 12 hgbhgu sm/85. 3110001360006

46、. 08 . 92 (2)如果如果管中流体是密度为管中流体是密度为0.8kg/m3 的油的油 12 hgbhgu sm/337. 418001360006. 08 . 92 33 伯努利方程的物理意义与几何意义伯努利方程的物理意义与几何意义.若理想流体为一维定常流动若理想流体为一维定常流动,则同一流线上的点则同一流线上的点1和点和点2有有,cgugpzgugpz 2222222111 不可压缩理想流体在重力场下作定常流动时不可压缩理想流体在重力场下作定常流动时,同一流线上的各点的位置势能、同一流线上的各点的位置势能、压力势能及动能是守恒的压力势能及动能是守恒的.1z2zgp 1gu221gu2

47、22gp 2流线流线基准线基准线总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线伯努利方程反映的是流体的机械能守恒伯努利方程反映的是流体的机械能守恒, 我们可选我们可选z = 0 为基准面为基准面(零势面零势面)对同一流线上的各点的水头高度对同一流线上的各点的水头高度, 不同点上的位置水头、压力水头及速度水头不同点上的位置水头、压力水头及速度水头一般会各不相同一般会各不相同, 但总的水头高度应都是一样的但总的水头高度应都是一样的. 即流线的总水头线是一水平线即流线的总水头线是一水平线.34三三. 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程前面我们提及的伯努里方程是在某流线上成立的前面我们提及的伯努里方程

48、是在某流线上成立的. 实际上管内流动的流体是由无数流线组成实际上管内流动的流体是由无数流线组成, 对于均匀流动对于均匀流动( 流线互相平行流线互相平行)截面截面或缓变流动截面或缓变流动截面, 若总流的任意两个这样的截面平均流速分别为若总流的任意两个这样的截面平均流速分别为v1和和v2, 则伯努里则伯努里方程的表达式为方程的表达式为其中动能的修正系数其中动能的修正系数 与所取过流断面的速度分布有关与所取过流断面的速度分布有关,gvgpzgvgpz222222221111 gvgpzgvgpz2222222111 在实际工程中在实际工程中, 多数的管道流动都是处于湍流状态多数的管道流动都是处于湍流

49、状态, 其截面速度分布大体其截面速度分布大体是均匀的是均匀的, 于是于是, 这时方程的形式与一流线的形式相同这时方程的形式与一流线的形式相同.1. 理想流体恒定总流的伯努利方程理想流体恒定总流的伯努利方程工程实际中的分析已经得知工程实际中的分析已经得知, 在流体在圆形管内的流动中在流体在圆形管内的流动中, 如果是层流如果是层流(流速流速较低较低,流线分层流线分层) , = 2, 如果是湍流如果是湍流, (流速较大流速较大, 流线紊乱流线紊乱) = 1.05 1,1 352. 实际流体总流的伯努利方程实际流体总流的伯努利方程一一. 实际流体微元流束的伯努里方程实际流体微元流束的伯努里方程由于粘性

50、力的存在由于粘性力的存在, 流体内部会产生摩擦力流体内部会产生摩擦力, 流体的运动要克服摩擦阻流体的运动要克服摩擦阻力做功力做功, 从而消耗一些机械能从而消耗一些机械能.前面已经提及前面已经提及,实际流体伯努里方程的形式为实际流体伯努里方程的形式为: 对同一流线上的点对同一流线上的点1和点和点2有有,lhgugpzgugpz 2222222111 二二.实际总流的伯努利方程实际总流的伯努利方程式中式中, 为单位重量流体自断面为单位重量流体自断面1到断面到断面2所消耗的机械能所消耗的机械能.lh 借助于平均流速的概念借助于平均流速的概念, 实际总流的伯努利方程为实际总流的伯努利方程为:gvgpz

51、221111 lhgvgpz 222222 式中式中, 为单位重量流体自断面为单位重量流体自断面1到断面到断面2所消耗的平均机械能所消耗的平均机械能.lh对于多数的管道中的流体对于多数的管道中的流体 介于介于12 之间之间.36 均匀流断面上压力的分布规律均匀流断面上压力的分布规律dtduypyy 1dtduxpxx 1dtduzpzz 1由流体的动由流体的动力学方程力学方程若取若取x方向为直线流动方向方向为直线流动方向则过流断面是与则过流断面是与x方向垂直的平面方向垂直的平面, 于是在过流断面于是在过流断面(yz平面平面)上没有速度上没有速度分量分量, 而而x方向为恒速度方向为恒速度01 z

52、pz 01 ypy 下面三式成立下面三式成立这表示这表示: 过流断面上的流动参数满足静平衡过流断面上的流动参数满足静平衡方程方程, 压力的变化服从静力学的规律压力的变化服从静力学的规律如果流体只受重力的作用如果流体只受重力的作用, 则则, 在过流断面上有在过流断面上有均匀流过流断面上任何一点的测压管水头都相等均匀流过流断面上任何一点的测压管水头都相等cgpz ghp 和和xzy01 xpx uuu1p2p3p3p2p1p(与静止的流体不同的是与静止的流体不同的是: 不同的过流断面不同的过流断面,测压管水测压管水头的常数不同头的常数不同)373 6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用伯努利方程建立

53、了流动过程中两个断面之间的能量关系伯努利方程建立了流动过程中两个断面之间的能量关系, 与连与连续性方程续性方程qavavavavnn 332211可以确定任意断面处的速度及压力可以确定任意断面处的速度及压力. (1) 定常流动定常流动 , 即在流速场上任意一点流速不随时间变化即在流速场上任意一点流速不随时间变化; (2) 流体上的质量力只有重力流体上的质量力只有重力; (3) 流体不可压缩流体不可压缩,即即 为常数为常数; (4)总流束流量连续总流束流量连续(即满足连续性方程即满足连续性方程); (5) 列伯努利方程所取的过流断面必须是均匀流动或缓变流动列伯努利方程所取的过流断面必须是均匀流动

54、或缓变流动, 而两个断面间可以有急变流而两个断面间可以有急变流动动. 总流伯努利方程的使用条件是总流伯努利方程的使用条件是:38总流伯努里方程的在具体应用中需注意以下几点总流伯努里方程的在具体应用中需注意以下几点:1. 确定两个断面确定两个断面,一般以包含待求的未知数和尽可能多的已知条件一般以包含待求的未知数和尽可能多的已知条件的断面的断面,特别注意与其他断面相比面积较大的断面特别注意与其他断面相比面积较大的断面(如液体表面如液体表面), 其速度很小时一般可忽略其速度很小时一般可忽略.同时同时,自由液面或射流出口的压力等于自由液面或射流出口的压力等于大气压大气压, 此处液体受到的相对压力为零此

55、处液体受到的相对压力为零.2. 选择基准面选择基准面, 一般以流动的最低点或两个断面中位置较低的断面一般以流动的最低点或两个断面中位置较低的断面为基准面为基准面, 以便使以便使z值为正值为正. 同一方程必须采用同一基准面同一方程必须采用同一基准面, 不同的不同的方程可采用不同的基准面方程可采用不同的基准面.3. 相对压强和绝对压强均可出现的方程中相对压强和绝对压强均可出现的方程中, 但同一方程中必须采用但同一方程中必须采用同种压强同种压强.4. 过流断面上的计算点原则上可任选过流断面上的计算点原则上可任选, 这是因为在均匀流或缓变流这是因为在均匀流或缓变流断面上任意点的测压管水头都相等断面上任

56、意点的测压管水头都相等, 即即 . 为了简便为了简便, 管流管流的计算点常选在轴线上的计算点常选在轴线上, 明渠的计算点通常选在自由液面上明渠的计算点通常选在自由液面上.cgpz 39例例10.文丘里流量计文丘里流量计(文丘里管文丘里管) 图示文丘里管是一段两头粗中间细的管道图示文丘里管是一段两头粗中间细的管道,其中其中包括收缩段和扩散段包括收缩段和扩散段,两段交接处横截面最小两段交接处横截面最小,也称为也称为 喉部喉部.收缩段由截面积收缩段由截面积a1光滑地收缩到光滑地收缩到a2(喉部喉部),然后又逐渐地扩大然后又逐渐地扩大.把文丘里管串连在待测的管道中把文丘里管串连在待测的管道中,并附带有

57、并附带有u形管压差计形管压差计, 读出其液柱的高度读出其液柱的高度 h , 就可以确定管道内的体积流量就可以确定管道内的体积流量.h 121a1p2p2a1v2v 图示中截面图示中截面1和截面和截面2及附近的流线均平行于管轴及附近的流线均平行于管轴线线,因而是缓变流因而是缓变流,取两截面应用总流的伯努里方取两截面应用总流的伯努里方程程,并取动能修正系数并取动能修正系数 = 1, 于是于是22222211vpvp gvgpzgvgpz222222221111 由由得得由不可压缩的连续性方程由不可压缩的连续性方程2211avav 两式联立可得到两式联立可得到 1/22221211 aappv 又由

58、差压计可知又由差压计可知 hgpp 21 1/24442412121111 ddhgddvavq 1/2444241212121111 ddppddvavq h hgghphhgp 21 hgpp 2140式中式中 是流量系数是流量系数,和流和流体的粘性及测压管的制体的粘性及测压管的制造精度有关一般造精度有关一般 = 0.950.98.h 121a1p2p2a1v2v 又由差压计可知又由差压计可知 hgpp 21 1/24442412121111 ddhgddvavq h 1p2p12211v2v书上所示如下图中可知书上所示如下图中可知hgpp 21 1/2444241212121111 dd

59、ppddvavq 1/24442412121111 ddhgddvavq 1/24424121 ddhgd 令令1/24424121 ddgdk 流量流量hkq hkq 考虑修正系数考虑修正系数41例例11. 有一贮水装置如图示有一贮水装置如图示, 贮水池足够大贮水池足够大, 当阀门关闭时当阀门关闭时, 压强计的读数为压强计的读数为2.8at, 当阀门全开水从管中流出时当阀门全开水从管中流出时, 压强计的读数是压强计的读数是0.6at. 已知水管直径已知水管直径d = 12cm, 不计不计损失损失, 试求阀门全开时的体积流量试求阀门全开时的体积流量. 解解:1at 一个工程大气压一个工程大气压

60、 1at = 10mh2o 管道的静水压力管道的静水压力2.8at = 28mh2o所以所以, 水平管道到贮水池水平面高度水平管道到贮水池水平面高度mh28 h选过流断面选过流断面1 1 、 2 2 如图如图1122gvgpzgvgpz2222222111 由由gvgomhggh260200222 gv262822 2 .431226 .1922 v smv/765.202 smavq/235. 0412. 0765.203222 42例例12. 两段明渠宽度为两段明渠宽度为1m, 水定常流动水定常流动, 水深如图示水深如图示. 求水在各段的流量求水在各段的流量. 忽忽略能量损失略能量损失.解