311不定积分的定义

1、第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学(integral)(一一)目的与要求目的与要求v理解原函数、不定积分理解原函数、不定积分(indefinite integral)(indefinite integral)的概念的概念及及性质性质v熟练掌握熟练掌握1313个常用个常用积分公式积分公式v熟练熟练掌握不定积分的换元法掌握不定积分的换元法, ,分部积分法分部积分法v理解定理解定积分积分的概念及性质的概念及性质v熟练熟练掌握定积分掌握定积分(definite integral)(definite integral)的换元法的换元法, ,分部积分法分部积分法v熟练掌握用定积分计算平面曲线围成图

2、形的面熟练掌握用定积分计算平面曲线围成图形的面积及旋转体的体积积及旋转体的体积 第一节第一节 不定积分不定积分目的与要求目的与要求v理解原函数、不定积分的概念理解原函数、不定积分的概念v掌握不定积分的性质掌握不定积分的性质v掌握不定积分的基本公式掌握不定积分的基本公式, ,v掌握不定积分的两类换元积分法掌握不定积分的两类换元积分法, , 分部积分法分部积分法例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. )0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间), 0( 内的原函数内的原函数.如果在区间如果在区间i内，内，定义：定义：可可导导函函数数)(xf的的即即ix ，都都有有)()

3、(xfxf 或或dxxfxdf)()( ，那那么么函函数数)(xf就就称称为为)(xf导函数为导函数为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间i内内原原函函数数. .一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：原函数存在定理：如果函数如果函数)(xf在区间在区间i内连续，内连续，简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xcxcossin （ 为任意常数）为任意常数）c那那么么在在区区间间i内内存存在在可可导导函函数数)(xf，使使ix ，都有，都有)()(xfxf . .(2)

4、若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxf ccxf )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xf)(xg)(xf则则cxgxf )()(（ 为任意常数）为任意常数）c证证 )()()()(xgxfxgxf 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 为任意常数）为任意常数）c任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：在在区区间间i内内，cxfdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变

5、量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常数项的原函数常数项的原函数称称为为)(xf在在区区间间i内内的的不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(. .例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一个原函数的一

6、个原函数.,22 cxxdx,)(2cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 c所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.:.一一簇簇在在同同一一点点有有相相同同切切不不定定积积分分线线斜斜率率的的几几何何意意的的曲曲线线义义实例实例 xx 11.11cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 二、二、 基本积分表基本积分

7、表基基本本积积分分表表 kckxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 cxdxx;ln)3( cxxdx说明：说明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln cxxdx dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx xdxxtansec)10(;seccx xdxxcotcsc)11(;csccx dxex)12(;cex dxax

8、)13(;lncaax .:,在求可积函数的不定积分时 要想办法将在求可积函数的不定积分时 要想办法将其化为基本积分表中的某一对应形式其化为基本积分表中的某一对应形式注注 例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根据积分公式（根据积分公式（2）cxdxx 11 2).( )( )( )( ).f x dxf xcdf xf xccconst或或其中 为其中 为( )( )df x dxf x dx1). ( )( ) f x dxf x三、不定积分的性质三、不定积分的性质4).,(). uvwxu v w dxudxvdxwdx设设均

9、均为为 的的可可积积函函数数则则3).( )( )(0.)kf x dx k f x dx kconst且且为为例例5 5 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 c 例例6 6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctancxx 例例7 7 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1c

10、xx 例例8 8 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21cx 说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.24222x(x5)dxxdx1 x1 xdx1231 x课堂练习课堂练习课堂- +练习 +例例 9 9 已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的处的切线斜率为切线斜率为xxsinsec2 ，且此曲线与，且此曲线与y轴的交轴的交点为点为)5 , 0(，求此曲线的方程，求此曲线的方程.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costancxx , 5)0( y, 6 c所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy基本积分表