大学数学专业空间解析几何第一章向量代数

1、高等院校本科数学课程脚本编写：教案制作：月黑雁飞高，单于夜遁逃。欲将轻骑逐，大雪满弓刀。 塞下曲唐卢纶北方大雪时，群雁早南归。月黑天高处，怎得见雁飞。 教是为了不教,学然后会自学. 学会思考学会思考尝试研究性的学习方法：尝试研究性的学习方法：提出问题、研究问题、解决问题提出问题、研究问题、解决问题注重持续性学习：注重持续性学习：有计划地安排学习有计划地安排学习借鉴周围同学的学习方法借鉴周围同学的学习方法学习遇到困难怎么办？学习遇到困难怎么办？ 定义定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量，或称或称矢量矢量.向量向量( (矢量矢量) )既有大小又有方向的量既有大小

2、又有方向的量. .向量的几何表示：向量的几何表示：1.11.1 向量的概念向量的概念| a21mm| |向量的模长：向量的模长： 向量的大小向量的大小. .或或以以1m为起点，为起点，2m为终点的有向线段为终点的有向线段.a21mm或或两类量两类量: 数量数量(标量标量):可用一个数值来描述的量可用一个数值来描述的量;有向线段有向线段有向线段的方向表示有向线段的方向表示矢矢量的方向量的方向.有向线段的长度表示有向线段的长度表示矢矢量的大小量的大小,1m2m a, a模长为1的向量称为单位向量.模长为0的向量称为零向量， 它的方向可以看作是任意的.特别特别:e| a21mm| |向量的模长：向量

3、的模长： 向量的大小向量的大小. .或或1m2m a非负性0,00aaa3. 自由向量自由向量ab自由向量自由向量: 只有大小、方向, 而无特定起点的向量. 具有在空间中可以任意平移的性质. 定义定义1.1.21.1.2 如果两个向量的模长相等且方向如果两个向量的模长相等且方向相同，那么叫做相同，那么叫做相等向量相等向量. .记为记为.ba 所有的零矢量都相等所有的零矢量都相等. .ab 定义定义1.1.31.1.3 两个模长相等，方向相反的矢量两个模长相等，方向相反的矢量叫做互为叫做互为反向量反向量. .ba互为反矢量互为反矢量与与abaa 的的反反矢矢量量记记为为a aabcd abab

4、定义定义1.1.21.1.2 如果两个向量的模长相等且方向如果两个向量的模长相等且方向相同，那么叫做相同，那么叫做相等向量相等向量. .记为记为.ba 零矢量与任何共线的矢量组共线零矢量与任何共线的矢量组共线. . 定义定义1.1.41.1.4 平行于同一直线的一组矢量平行于同一直线的一组矢量叫做叫做共线矢量共线矢量. . 定义定义1.1.5 1.1.5 平行于同一平面的一组矢量平行于同一平面的一组矢量叫做叫做共面矢量共面矢量. .零矢量与任何共面的矢量组共面零矢量与任何共面的矢量组共面. .acd ba/ab1.21.2、向量的加法、向量的加法bacbacobbooabbabaoaoba 的

5、和，记做的和，记做与与叫做两矢量叫做两矢量的矢量的矢量到另一端点到另一端点，从折线的端点，从折线的端点得一折线得一折线，接连作矢量接连作矢量为始点为始点，以空间任意一点，以空间任意一点、设已知矢量设已知矢量定义定义,1 . 2 . 1oab这种求两个向量和的方法叫这种求两个向量和的方法叫三角形法则三角形法则. .三角不等式ababoboaab oabc这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2）. 0)( aaoboa、oboaoc 定理定理1.2.11.2.1 如果把两个向量如果把两个向量 为邻边为邻边组

6、成一个平行四边形组成一个平行四边形oacb，那么对角线向量，那么对角线向量 ababbaab（3 3）结合律：）结合律：cbacba )().(cba 定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2）. 0)( aabaabccbcba法则推广法则推广求和求和相加可由矢量的三角形相加可由矢量的三角形有限个矢量有限个矢量naaa,21.,12112121122111nnnnnnnnaaaaoaoaaaanaoaaaoaaaaaaaaoao 的的和和，即即个个矢矢量量就就是是于于是是矢矢量量由由此此得得一一折折线线开开始始，依依次次引引自自任任意意点点o

7、a1a2a3a4an-1an 这种求和的方法叫做多边形法则.noa aboab三角不等式1212nnaaaaaa abab向量减法向量减法)( baba abb b c()cab ba ba ab.2 . 2 . 1bacbacacbacb 的差，并记做的差，并记做与与叫做矢量叫做矢量时，我们把矢量时，我们把矢量，即，即的和等于矢量的和等于矢量与矢量与矢量当矢量当矢量定义定义三角不等式ababab（a） 平行四边形法则平行四边形法则.将 之一平移, 使起点重合, 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 为 ba、ba和.babaabbba（b）三角形法则）三角形法则.将 之一平移, 使起点重

8、合, 由 的终点向 的终点作一向量, 即为 ba、.baabbaab.,1它它们们的的和和是是零零矢矢量量条条件件是是而而成成一一个个三三角角形形的的充充要要它它们们的的终终点点与与始始点点相相连连，试试证证明明顺顺次次将将与与设设互互不不共共线线的的三三矢矢量量例例cba0, 0, cbaaacabcabccabbcaababccba即即，那那么么，即即有有构构成成三三角角形形可可以以，设设三三矢矢量量必必要要性性证证., 0,0abccbacacacccacbaacbbcaabcba可可构构成成一一个个三三角角形形，所所以以的的反反矢矢量量，因因此此是是从从而而所所以以那那么么，作作设设充

9、充分分性性 abc例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证ammc bmmd ad am mdmc bmbc ad与与 平行且相等平行且相等,bc结论得证结论得证.abcdmab同理可得，同理可得，平行且相等平行且相等,ab dc , 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 1.3 1.3 数量乘向量数量乘向量.00,1 . 3 . 1为数乘为数乘量与矢量的乘法，简称量与矢量的乘法，简称我们把这种运算叫做数我们把这种运算叫做数相反

10、相反时与时与相同，当相同，当时与时与的方向，当的方向，当；模是模是它的它的做做的乘积是一个矢量，记的乘积是一个矢量，记与矢量与矢量实数实数定义定义aaaaaaa 同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aea按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，aeaa| .|aaea 上式表明：一个非零向量除以它的模长的上式表明：一个非零向量除以它的模长的结果是一个与原向量同方向的单位向量结果是一个与原向量同方向的单位向量.aae0.ababa 设设向向量量，那那么么向向量量平平行行于于 的的充充分分必必要要条条件件是是：存存在在唯唯一一的的实实数数 ，使使定定理理

11、两个向量的平行关系两个向量的平行关系aa2a21 定理定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）第一分配律：）第一分配律：aaa )(aaa()aa aa定理定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）第一分配律：）第一分配律：aaa )(baba )(（3 3）第二分配律：）第二分配律：a1ab1babab简要证明：0时，例例1 证明证明:bap 515251)5351(ba252 ,54 ,5321

12、5 baqabbbap 设设./: qp试证明试证明21 ,21q ./qp a4()5b112333asabacabaq122333ababbq ab bt at例1 设 是 的中线,求证:amabc12amabac 例2 用向量法证明:联结三角形两边中点的线段平行与第三边且等于第三边的一半.作业 p 951. (1)(2) 4. 2. (1)(2) 3. 高等院校本科数学课程 脚本编写：教案制作：abab1.4 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解ba/平行四边形法则.,1 . 4 . 12122112121的的线线性性组组合合叫叫做做矢矢量量所所组组成成的的矢矢量

13、量与与数数量量由由矢矢量量定定义义nnnnnaaaaaaaaaa .,)44 . 1, 0,)1(2 . 4 . 12122112121关关的的矢矢量量叫叫做做线线性性无无关关性性相相叫叫做做线线性性相相关关，不不是是线线个个矢矢量量那那么么（使使得得个个数数在在不不全全为为零零的的，如如果果存存个个矢矢量量对对于于定定义义nnnnnaaanaaanaaann .,24 . 4 . 121组组合合矢矢量量是是其其余余矢矢量量的的线线性性充充要要条条件件是是其其中中有有一一个个线线性性相相关关的的时时，矢矢量量在在定定理理naaan .6 . 4 . 1是是它它们们线线性性相相关关两两矢矢量量共

14、共线线的的充充要要条条件件定定理理.,)44 . 1, 0,)1(2 . 4 . 12122112121关关的的矢矢量量叫叫做做线线性性无无关关性性相相叫叫做做线线性性相相关关，不不是是线线个个矢矢量量那那么么（使使得得个个数数在在不不全全为为零零的的，如如果果存存个个矢矢量量对对于于定定义义nnnnnaaanaaanaaann .7 . 4 . 1件件是是它它们们线线性性相相关关三三个个矢矢量量共共面面的的充充要要条条定定理理.,)44 . 1, 0,)1(2 . 4 . 12122112121关关的的矢矢量量叫叫做做线线性性无无关关性性相相叫叫做做线线性性相相关关，不不是是线线个个矢矢量量

15、那那么么（使使得得个个数数在在不不全全为为零零的的，如如果果存存个个矢矢量量对对于于定定义义nnnnnaaanaaanaaann .,24 . 1,2 . 4 . 1212121212121唯唯一一确确定定被被并并且且系系数数）（的的线线性性组组合合，即即可可以以分分解解成成或或者者说说矢矢量量线线性性表表示示，可可以以用用矢矢量量共共面面的的充充要要条条件件是是与与不不共共线线，那那么么矢矢量量如如果果矢矢量量定定理理reeyxeyexreereereeree .,21叫做平面上矢量的基底叫做平面上矢量的基底这时这时eer1xe2ye1e2e.,)34 . 1(,3 . 4 . 132132

16、1321321321唯唯一一确确定定被被并并且且其其中中系系数数的的线线性性组组合合，即即可可以以分分解解成成矢矢量量任任意意矢矢量量线线性性表表示示，或或说说空空间间可可以以由由矢矢量量任任意意矢矢量量不不共共面面，那那么么空空间间如如果果矢矢量量定定理理reeezyxezeyexreeereeereee .,321叫叫做做空空间间矢矢量量的的基基底底这这时时eeerr.8 . 4 . 1线线性性相相关关空空间间任任何何四四个个矢矢量量总总是是定定理理.,)44 . 1, 0,)1(2 . 4 . 12122112121关关的的矢矢量量叫叫做做线线性性无无关关性性相相叫叫做做线线性性相相关关

17、，不不是是线线个个矢矢量量那那么么（使使得得个个数数在在不不全全为为零零的的，如如果果存存个个矢矢量量对对于于定定义义nnnnnaaanaaanaaann .,)34 . 1(,3 . 4 . 1321321321321321唯唯一一确确定定被被并并且且其其中中系系数数的的线线性性组组合合，即即可可以以分分解解成成矢矢量量任任意意矢矢量量线线性性表表示示，或或说说空空间间可可以以由由矢矢量量任任意意矢矢量量不不共共面面，那那么么空空间间如如果果矢矢量量定定理理reeezyxezeyexreeereeereee 例例1 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.abcdefp1e1e2e3.

18、,.,3211321321321关关系系式式线线性性表表示示的的，用用先先求求取取不不共共面面的的三三矢矢量量就就可可以以了了三三点点重重合合下下只只需需证证两两组组对对边边中中点点分分别别为为其其余余它它的的中中点点为为线线为为的的连连的的中中点点对对边边一一组组设设四四面面体体证证eeeapeadeaceabppppppeffecdababcd ),(211afaeap 连接连接af，因为，因为ap1是是aef aef 的中线，所以有的中线，所以有又因为又因为af是是acd acd 的中线，所以又有的中线，所以又有),(21)(2132eeadacaf ,21211eabae 而而1123

19、1231 11()2 221(),4apeeeeee 得)3 , 2(),(41321 ieeeapi同理可得同理可得123,apapap .,321三点重合，命题得证三点重合，命题得证从而知从而知pppbcdefp1e1e2e3a例例3 3 试用向量方法证明：空间四边形相邻各试用向量方法证明：空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形边中点的连线构成平行四边形.证证: 只要证只要证 hgef abcdefgh111222efebbfabbcac hgef 111222hghddgaddcac 例3 设1,2,3 ,iiopr i试证123,p p p三点共线的充要条件是存在不全为零的实数12

20、3, 使得1 12 23 30,rrr且1230.作业 p956. 7. 10. 12. 高等院校本科数学课程 脚本编写：教案制作：1.5 标架与坐标x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(o),(zyxm xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb( ,0,

21、)c xz坐标轴上的点坐标轴上的点,p,q,r坐标面上的点坐标面上的点,a,b,c二、点的直角坐标二、点的直角坐标 (称为称为点点 m 的坐标的坐标)xyz坐标轴坐标轴 : : x轴轴00yz 00zx y轴轴z轴轴00 xy 坐标面坐标面 : :xoy面面0z0yozx面面zox面面0yxyzo在各卦限中点的坐标的符号在各卦限中点的坐标的符号?二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离 因为 |m1m2|2|m1q|2+|m2q|2|m1p|2+|pq|2+|m2q|2 ，m1所以|m2q|z2z1|。| pq |y2y1|， 设m1(x1, y1, z1)、m2(x2, y2, z2)为空间

22、两点，求两点间的距离d。|m1p|x2x1|， 作一个以 m1和 m2 为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面。o x y z m2x2x1 y1 y2pqz1z2d | m1m2|注意： | m1m2|212212212)()()(zzyyxx。 xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr),(zyxm xyzoijk以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.romr kzj yi xr 称为向量称为向量 的的坐标分解式坐标分解式.rn.,kzorj yoqi xop 设设nmpnoporoqopxyz, ,om

23、xiy jzkx y z 显然，显然，omr kzj yi x ( , , )x y z向量的坐标向量的坐标：,zyx),(zyxr 记为记为.),(ommzyx，又又表表示示向向量量既既表表示示点点,rom 向径：向径：.,kzj yi x在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：rxyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr),(zyxm rnm (x, y, z)起点在坐标原点的向量起点在坐标原点的向量. . (3). 运算性质设 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 则 a b = (ax bx , ay by , a

24、z bz )证明: a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz )四、利用坐标作向量的线性运算向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbabababa ),(

25、zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx xyzo 1mpnqr 2m 1111,mxy z 2222,mxyz1111,omx iy jz k 2222omx iy jz k ,12121221zzyyxxmm 特殊地：特殊地：,zyxom 1221mmomom 212121()()()xx iyy jzz k 1231231.4.3,:,e e errxeyeze 定理如果矢量不共面，那么任意矢量rr.,;),(,321321321轴轴轴轴、轴轴、为为它它们们所所在在的的直直线线分分别别称称

26、为为基基或或基基本本向向量量为为原原点点，称称称称点点记记作作坐坐标标系系，就就构构成成了了空空间间的的仿仿射射向向量量及及三三个个有有次次序序的的不不共共面面在在空空间间取取定定一一点点zyxeeeoeeeosystemcoordinateaffineeeeo定义定义 称称 是向量是向量 在仿射在仿射坐标系坐标系 下的下的坐标坐标. .r, ,x y z123 ;,o e e e(4) 两向量平行的充要条件.设非零向量 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 因此ax =bx, ay =by, az =bz,于是注: 在(*) 式中, 规定若某个分母为零相

27、应的分子也为零. a / bzzyyxxbababa(*) a / b a = b则(为常数)例如：(4, 0, 6) / (2, 0, 3) 即 (ax , ay , az) =(bx , by , bz), 解解111(,)amomoaxxyyzz 222(,)mbobomxxyyzz 设设),(zyxm为直线上的点，为直线上的点，abmxyzo由题意知：由题意知：mbam ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 由题意知：由题意知：mbam ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121

28、 yyy,121 zzzm为为有有向向线线段段ab的的定定比比分分点点.m为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz abmxyzo111222333,a x y zb xyzc xy z四四. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影1. 点在轴上投影点在轴上投影设有空间一点 a 及轴 u, 过 a 作 u 轴的垂直平面 ,平面 与 u 轴的交点a 叫做点 a 在轴 u 上的投影.aau2. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影.设有向线段ab的起点a和终点b在轴u上的投影分别为点a 和b . 定义定义1.3:bbaau向量ab在轴u上的投影向量或射影向量.称有向线段a b 为如

29、果向量e为与轴u的正方向的单位向量，xeba则称 x 为向量 ab 在轴u上的投影，记作abuojpr 即则向量 ab 的投影向量 ab 有：bbaauexabuojpr3. 两向量的夹角两向量的夹角设有非零向量ba,(起点同).b) ,(baa规定：正向间位于0到之间的那个夹角为 的夹角,记为 或) ,(ba) ,(abba,ba,(1) 若 同向，则ba ,0) ,(ba(2) 若 反向，则ba ,) ,(ba(3) 若 不平行，则ba ,), 0() ,(ba说明：说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc 0)1(,2 2)2(, )3(,2 bbaau

30、e定理定理1.2. (投影定理) 设向量ab与轴u的夹角为则 projuab = | ab |cos bbaaub1bbaauexebaxabuojpr定理定理1.3 两个向量的和在轴u上的投影等于两上向量在该轴上的投影的和。推论推论:nuuunuaaaaaajojprojprojpr)(pr2121bbaaucc1a2a21aa2121ojprproj)(projaaaauuu即aauuojpr)(ojpr即定理定理1.4: 实数与向量 的乘积在轴u上的投影，等于乘以向量 在该轴上的投影。aa定理定理1.2. (投影定理) 设向量ab与轴u的夹角为则 projuab = | ab |cos

31、zijkmoxycabzyxnomxiyjzk proj (),iomx proj (),jomy proj ().komz xyzo 1mpnqr 2m以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxmm)()()(12121221 作业 p9513. 14. 15 高等院校本科数学课程脚本编写：教案制作： 一一物物体体在在常常力力f作作用用下下沿沿直直线线从从点点1m

32、移移动动到到点点2m，以以s表表示示位位移移，则则力力f所所作作的的功功为为 cos|sfw (其中其中 为为f与与s的夹角的夹角)启示启示:实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.1.7 两向量的数量积fm1m2sab ,prcos|bjba ,prcos|ajab ajbbabpr| .pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模长两向量的数量积等于其中一个向量的模长和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. . cos|baba 定义定义关于数

33、量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2 ,2 )0, 0( baab 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数： ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba cos|baba ab |prba bbj a.pr|bjaa （2 2）分配律）分配律：;)(c

34、bcacba ababaabbaba aa bb ab b （1 1）交换律）交换律：;abba a ab b 22ab2ab 222aa bb 23423812abcda cb ca db d 2xy 例. 用向量法证明余弦定理. .cos2222cabbacbabbaababaccbacbacabc2)()(.cos2222cabbacabcabc故故证明证明: 如图所示，如图所示，,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐

35、标表达式数量积的坐标表达式ijk cos|baba ab 2xxyyzzaa aa aa aa a 例如._),1 , 1, 1( ),3, 2 , 1( baba则则已已知知6 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为：由此可知两向量垂直的充要条件为：ab ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx 0a b解解例例1 1已已知知三三点点)2 , 1 , 2(),1 , 2 , 2(),1 , 1 , 1

36、(bam, ,求求amb . . 1 , 0 , 1 mb, 2 ma, 2 mb, mbmambma cos 21221 , 所所以以 3 . 1,1,0 , ma 110101ijkijk1 11 00 11 mbma .,的的夹夹角角与与就就是是向向量量作作向向量量mbmaambmbma abm|cosa ba b解 ba)1(2)4()2(111 . 9 |cos)2(baba 2222222)2(1)4(119 )3( abprj .43 例3.,),2 , 2, 1( ),4, 1 , 1( 上的投影上的投影在在的夹角的夹角与与求求已知已知babababa ,21 3239 )21

37、arccos( |bba . 3 39 例例 2 2 证证明明向向量量c与与向向量量acbbca)()( 垂垂直直.证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()( cos|baba ab 例 证明三角形的三条高交于一点。 abccba,0)(bcaabcbcoa即,abcabco以上两式相加，可得 。所以 中bc边上的高通过o点。这就证明了三高相交于一点。, 0)(, 0)(,acbacbobacbaco得由得由 证明: 设 边ab,ca上的高交于o点，以o为始点，以a,b,c为终点的向量分别记为 。zijkmoxycabzyxn由于：22

38、|nmonom222zyx从而：222|ocoboa2xxyyzzaa aa aa aa a omxiy jzk 此即向量此即向量模的坐标表示模的坐标表示. . 222,romxyzxyzo),(222zyxb),(111zyxa),(111zyxa设设),(222zyxb为空间两点为空间两点. . ? abdoaobab 由由),(),(111222zyxzyx ),(121212zzyyxx 212212212zzyyxxab 空间两点间距离公式空间两点间距离公式abd 2xxyyzzaa aa aa aa a 解解 221mm,14)12()31()47(222 232mm, 6)23(

39、)12()75(222 213mm, 6)31()23()54(222 32mm,13mm 原结论成立原结论成立. 212212212zzyyxxab 在在 z 轴上求与两点轴上求与两点 a( 4, 1, 7) 和和b(3, 5, 2)等距离的点等距离的点.设该点为设该点为m(0, 0, z) , ,由题设由题设 ,即即222222)2()05()03()7()01()04( zz 解得解得，914 z即所求点为即所求点为.)914, 0, 0(m例例4 4解解mamb xyzo m 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为称为方向角方向角. . ，,zyxomr

40、设设由图分析可知由图分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示方向余弦通常用来表示向量的方向向量的方向. .,kajaiaazyx 设设a i )(kajaiazyx i | | |cos,a ba ba b ab xaa j)(kajaiazyx j yaa k)(kajaiazyx k za故有 ax =| a | cos ay =| a | cos az =| a | cosxyzoa三、向量的模长与方向余弦的坐标表示式三、向量的模长与方向余弦的坐标表示式.1. 方向角方向角: 非零向量a 与x, y, z 轴正向夹角, , ,

41、称为a 的方向角.2. 方向余弦方向余弦: 方向角的余弦 cos, cos, cos, 称为方向余弦.3. 向量的模与方向余弦的坐标表达式向量的模与方向余弦的坐标表达式有 ax =| a | cos ay =| a | cos az =| a | cosayzx0设a =(ax, ay, az)又：222|zyxaaaa222222222cos,cos,coszyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa ax =| a | cos ay =| a | cos az =| a | coscos2 +cos2 +cos2 = 1设e是与a同向的单位向量e|aa222222222,zyxzzyx

42、yzyxxaaaaaaaaaaaa= (cos , cos , cos )222222222cos,cos,coszyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaaayzx0例例2.1. 已知两点m1(2, 2, )和m2(1, 3, 0). 计算向量m1 m2的模, 方向余弦和方向角.2 解: m1 m2 = (1, 1, )2|m1 m2 | =; 24)2(1) 1(222;22cos ,21cos ,21cos43 ,3 ,32222222222cos,cos,coszyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa解解设向量设向量21pp的方向角为的方向角为 、 、 ,3 ,4 , 1c

43、oscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 设设2p的坐标为的坐标为),(zyx,1cos x 21pp21 x21 , 2 x.32,3 12103(,)ppxyz .32,3 1cos x 21pp21 x21 , 2 x0cos y 21pp20 y22 , 2 y3cos z 21pp23 z, 2, 4 zz2p的坐标为的坐标为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 )3, 0, 1(21 zyxpp233322111iiiiiiiabab33322111iiiiiiiabab 设设o为为 一一 根根 杠杠 杆杆l的的 支支 点点 ， 有有 一一 力力

44、f作作 用用于于 这这 杠杠 杆杆 上上p点点 处处 力力f与与op的的 夹夹 角角 为为 ， 力力f对对 支支 点点o的的 力力 矩矩 是是 一一 向向 量量m， 它它 的的 模模|foqm sin|fop m的的方方向向垂垂直直于于op与与f所所决决定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.实例实例1.8 两向量的向量积m qpf向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac sin|baba (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义c的方向既垂直于的方向既垂直于 a，又垂直于，又垂直于 b，指向，指向符合右手规则符合右手规则. . 向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”,“外积

45、外积”.abbac 关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin 0, 或)(0sin . 0sin| baba证证/abba/或或0 0 ba sin|baba 向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac abbac 向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1） .abbaba （2）若若 为数：为数： ).()()(bababa abba ab b sin|baba 向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac abbac 引理引理 caca1a将矢量将矢量a

46、一投一转（转一投一转（转900），），证明证明 sin| a引入引入 证毕证毕(a+b) c=(a c)+(b c)2cos(| a0ca c03.3. : 两矢方向两矢方向: 一致一致；a2|a2|= |a1|a2得得a2(a+b) c=(a c)+(b c)c0ca baa+b1b11ba 0cb 0)(cba 由矢量和的平行四边形法则，由矢量和的平行四边形法则，1a11ba 1a1bc03.3. : .将平行四边形一投一转将平行四边形一投一转0ca 0()abc0bc (a+b) c=(a c)+(b c)c0ca baa+b1b11ba 0cb 0)(cba (a+b) ca c由矢量

47、和的平行四边形法则，由矢量和的平行四边形法则，1a得证得证c03.3. : .b c将平行四边形一投一转将平行四边形一投一转(a+b) c=(a c)+(b c)0ca 0()abc0bc 作业 p9622.(2)(3) 29. 30. 32. 33. 高等院校本科数学课程脚本编写：教案制作：向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1） .abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa .)(bcacbac 关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba si

48、n|baba 向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac abbac ,ijk0,iijjkk, jik , ikj ,kij . jki , ijk 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式ijko关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( sin|baba 向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac abbac ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx )()()()()()()()()(kkbajkbaikbakjbajjbaijbakibajibaiibazzyzxzzyyyxyzxyxxx ijk

49、okj k ii jkbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式),(xyyxzxxzyzzybabababababa ba 向量积向量积还可用还可用行列式表示行列式表示xyzxyzijkabaaabbb,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设yzxyxzyzxyxzaaaaaaijkbbbbbb (,)yzzyzxxzxyyxa ba ba ba ba ba b(,)yzzyzxxzxyyxaba ba ba ba ba ba b kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的助记符向量积的助

50、记符-行列式表示行列式表示: :向量积模长的几何意义向量积模长的几何意义|ba 表表 示示 以以a和和b为为 邻邻 边边的的 平平 行行四四 边边形形 的的面面 积积 . sin|baba 1|2oababs向量积的应用：向量积的应用：（2）方向）方向.（1）模）模;例例1.)1 , 2 , 0()2 , 1, 1(均垂直的向量均垂直的向量和和求一个与求一个与 ba解解,均均垂垂直直的的向向量量和和就就是是一一个个与与baba ba112021ijk5i j 2k).2 , 1, 5( 例例3.1求以 = (2, 1, 1), =(1, 1, 2)为两边的平行四边形的面积.解：解：s| |.s

51、=而s=| |21 11 12k jikji11 1221 1221 11= i5j 3k = (1, 5, 3),.35)3()5(1222=| |.s例例3.1求以 = (2, 1, 1), =(1, 1, 2)为两边的平行四边形的面积.例例4. 已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(cba角形 abc 的面积. 解解: 如图所示,abcsabc21kji222124)(21,4,622222)6(4211421abac求三xyzxyzijkabaaabbb解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|cce

52、.5152 kjabc解解d3, 4 , 0 ac0 , 5, 4 ab三角形三角形abc的面积为的面积为|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |21bds | ac|521225bd . 5| bd2. 用向量方法证明正弦定理:ccbbaasinsinsinbabcac证证: 由三角形面积公式acbsinbacsinbbaasinsin所以ccsincbasin因abacsabc21bcba21cacb21abacbcbacacb定义定义 设设已已知知三三个个向向量量a、b、c，数数量量cba )(称称为为这这三三个个向向量量的的混混合合积积，记记为

53、为cba. .cbacba )(,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 1.9 向量的混合积解解),sin(|nmnmnm , 8124 (,)0mnp pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，mnp 设向量 (ax, ay, az), zyxzyxbbbaaakjiibbaazyzy则有 = (cx, cy, cz), (bx, by, bz),jbbaazxzx, kbbaayxyx)(xzyzycbbaayzxzxcbbaa.zyxyxcbbaazzyyxxbabababa )(记xzyzycbbaa)(.zyxzyxzyxcccbbbaaa(3.9)式 (3.9) 称为混合积 ( ) 的坐标表示。 yzxzxcbbaa.zyxyxcbbaa设向量 (ax, ay, az), = (cx, cy, cz), (bx, by, bz